M GK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 10 Modelllösung c) (1) regelmäßig 0,1495 0,63 nicht regelmäßig 0,2545 0,42 regelmäßig 0,1218 0,58 nicht regelmäßig 0,1682 0,43 regelmäßig 0,1316 0,57 nicht regelmäßig 0,1744 0,37 unter 20 000 Einwohner 0,404 0,290 20 000 bis 100 000 Einwohner 0,306 über 100 000 Einwohner (2) P "regelm. Nutzung"   0, 404  0,37  0,290  0, 42  0,306  0, 43  0, 40286 Modelllösung d) Zur Veranschaulichung der Situation kann folgende Tabelle helfen: mit Helm ohne Helm 10 bis 15 Jahre x 4x 20 bis 40 Jahre 0,55x 2,2x Das gesuchte Verhältnis beträgt also: 4 x : (0,55 x )  7,27 . Damit ist das Verletzungsrisiko auf das ca. 7,27-Fache erhöht, es ist um ca. 627 % höher als bei einem älteren Fahrradfahrer, der einen Helm trägt. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 7 Seite 4 von 10 Modelllösung e) (1) Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrrad Mängel hat. Getestet wird H 0 : p  0,1 gegen H 1 : p < 0,1. Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest mit dem Signifikanzniveau   0,05 , d. h., die 1,64 -Regel ist anzuwenden, falls   3 . Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Fahrräder mit Mängeln in einer Stichprobe von n = 200 kontrollierten Fahrrädern an. Bei Annahme der Gültigkeit von H0 ist X im Extremfall (p = 0,1) B200;0,1 -verteilt.   n  p  200  0,1  20 ,   n  p  (1  p )  200  0,1  0,9  18  3 . Mit   1,64    20  1,64  18  13,04  13 ergibt sich als Annahmebereich A  [13;200] . Anmerkungen: 1. Streng genommen ist die Laplace-Bedingung für p  0,953 nicht mehr erfüllt, für dieses p ist aber der Annahmebereich auf Grund der Eigenschaften der Binomial- verteilung sowieso geeignet. 2. Statt mit einer  -Regel kann der Ablehnungsbereich A auch mit dem Ansatz P( X  k )  0,05 und der Tabelle „Kumulierte Binomialverteilung für n = 200“ bestimmt werden. Entscheidungsregel: Wenn bei 200 kontrollierten Fahrrädern höchstens 12 Fahrräder Mängel aufweisen, kann von einer geringeren Mängelwahrscheinlichkeit als 0,1 ausgegangen werden und die Kontrollen können reduziert werden. Sind es mehr als 12, wird die Hypothese H0 nicht verworfen. Bei der Wahl der Hypothesen besteht die Intention, den Fehler zu vermeiden, dass die Anzahl der Kontrollen verringert wird, obwohl der Anteil der Fahrräder mit Mängeln in Wirklichkeit nicht gesunken ist (Fehler 1. Art). Daraus ergibt sich die Wahl der H0-Hypothese als H 0 : p  0,1 und die H1-Hypothese als ihre Alternative. (2) 16 liegt nicht im Ablehnungsbereich, das heißt, die Hypothese wird nicht verworfen. Man kann also nicht signifikant davon ausgehen, dass weniger als 10 % der Fahrräder Mängel aufweisen. (3) H1 ist wahr, d. h., es sind tatsächlich weniger als 10 % der Fahrräder mängelbehaftet. Ein Fehler 2. Art liegt dann vor, wenn man aufgrund des Stichprobenergebnisses die Hypothese H0 nicht ablehnt. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 7 Seite 5 von 10 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E1. 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2. 3 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E3. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz. 2 2 bestimmt die Anzahl der Fahrräder, die mindestens kontrolliert werden müssen. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) stellt den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. 4 2 (1) berechnet alle resultierenden Pfadwahrscheinlichkeiten. 6 3 (2) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling 1 bestimmt den gesuchten Prozentsatz. Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch! maximal erreichbare Punktzahl 5

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 7 Seite 6 von 10 Teilaufgabe e) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) ermittelt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) ermittelt eine Entscheidungsregel. 6 3 (1) begründet die Wahl der Hypothesen. 3 4 (2) gibt eine begründete Entscheidung im Sachzusammenhang an. 2 5 (3) beschreibt den Fehler 2. Art. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 10 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 3 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 3 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (8) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 8 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz. 2 2 bestimmt die Anzahl … 4 sachlich richtige Alternativen: (6) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 6 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 10 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) stellt den Sachverhalt … 4 2 (1) berechnet alle resultierenden … 6 3 (2) bestimmt die gesuchte … 3 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (13) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 13 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 bestimmt den gesuchten … maximal erreichbare Punktzahl EK ZK DK 5 sachlich richtige Alternativen: (5) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 5 Teilaufgabe e) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) ermittelt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) ermittelt eine Entscheidungsregel. 6 3 (1) begründet die Wahl … 3 4 (2) gibt eine begründete … 2 5 (3) beschreibt den Fehler … 3 sachlich richtige Alternativen: (18) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe e) 18 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 9 von 10 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 10 von 10 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 39 mangelhaft plus 3 38 – 33 mangelhaft 2 32 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 8 Seite 1 von 10 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Gen-Mais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Gen-Mais in Deutsch- land weiterhin verboten bleiben?“ Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder: Altersgruppe 14 bis 29 Jahre 30 bis 39 Jahre 40 bis 49 Jahre 50 bis 59 Jahre 60 Jahre und älter „Ja“ 166 112 153 129 232 „Nein“ 33 24 30 19 45 keine Angabe 12 14 8 4 24 Anzahl der Befragten 211 150 191 152 301 Antwort a) (1) Eine Person wird zufällig aus den 1005 Teilnehmern der Umfrage ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat. (2) Unter den Befragten der Altersgruppe 14 bis 29 befanden sich 57 Schüler. Von diesen 2 antworteten mit „Ja“. 3 Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben. (8 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 8 Seite 2 von 10 Name: _______________________ b) Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet: Herkunft Antwort „Ja“ „Nein“ keine Angabe West Ost 643 112 52 149 39 10 (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teil- nehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt. (2) Aus den Teilnehmern der Umfrage werden zwei Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die erste (Ost bzw. West). (10 Punkte) Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufig- keiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden. c) Eine weitere Umfrage unter n zufällig ausgewählten Personen wird mit derselben Frage- stellung durchgeführt. (1) Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe 50 bis 59 befragt. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X: „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“ als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, 1 dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit p  beträgt. 8 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (2) unter 40 zufällig in der Altersgruppe 50 bis 59 ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht, Nur für den Dienstgebrauch!