M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 8 Teilaufgabe b) (1) Gleichung der Geraden durch A und B:  9  −12           ( r ∈ IR); es gilt: h : x= OA + r ⋅ AB=  12  + r ⋅  9   0  0     5    15 =   0    1 r= 3  9 − 12r  1   12 + 9 r ⇔ r = .   3  0    0=0 Wegen 0 ≤ r ≤ 1 liegt R auf der Strecke AB . (2) Die Strecke OR teilt die Grundfläche der Pyramide in ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten OA und AR und ein „Restviereck“ [Trapez]. 1 1 Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: D =⋅ OA ⋅ AR = ⋅ 15 ⋅ 5 = 37,5 [FE] , 2 2 also beträgt das Verhältnis (Fläche „Restviereck“): D = (225 − 37,5) : 37,5 = 5 :1 [analog ist D: (Fläche „Restviereck“) = 1:5]. Alternativ kann beispielsweise das Verhältnis der Flächeninhalte über eine geometrische Zerlegung der Grundfläche erhalten werden. (3) Für eine Gleichung der Ebene E in Parameterform ergibt sich: 1   5         ( s, t ∈IR ). E : x = s ⋅ OQ + t ⋅ OR = s ⋅  1  + t ⋅  15  2  0     x1 = s + 5t 1   5      x = s ⋅  1  + t ⋅  15  ⇔ x2 = s + 15t . 2  0 x 3 = 2s     Durch Elimination der Parameter s und t erhält man eine Koordinatenform von E: E : 3 x1 − x2 − x3 = 0. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 (GG) Seite 4 von 8 Teilaufgabe c)  9  −10,5       (1) Gleichung der Geraden durch A und S: g := x  12  + t ⋅  − 1,5  ( t ∈ IR ) bzw.  0  15       9  −7       g := x  12  + r ⋅  − 1  ( r ∈ IR ).  0  10      Für den zum Schnittpunkt P von g und E gehörigen Parameter r gilt: 0,5 . 3 ⋅ (9 − 7r ) − (12 − r ) − 10r = 0 ⇔r= Durch Einsetzen in die Gleichung von g erhält man den Schnittpunkt P(5, 5 | 11, 5 | 5) .  (2) Da für den Richtungsvektor a von g gilt:  5,5   − 7   8,5   − 7  ggg gg  ggg  gg         OP= ⋅ ag  11,5  ⋅  −= 1  0 und BP ⋅ ag = −9,5  ⋅  − 1  = 0 , sind OP und BP  5   10   5   10          senkrecht zur Geraden g. (Eine der beiden Rechnungen könnte beispielsweise auch durch den Hinweis auf die Symmetrie der Pyramide ersetzt werden.) (3) Wenn man über die Kante AS geht, ist der kürzeste Weg von O zur Geraden g das Lot von O auf g. Entsprechendes gilt für den kürzesten Weg von B zur Geraden g. Da P nach c (1) und c (2) Fußpunkt des Lotes von O auf g und Fußpunkt des Lotes von B auf g ist, ist der Streckenzug OPB der kürzeste Weg von A nach C über die Dreiecksflächen OAS und ABS der Pyramide. Da die Ebene H, die durch O, B und S bestimmt ist, eine Sym- metrieebene der Pyramide ist, gibt es keinen kürzeren Weg über die Dreiecksflächen OCS und CBS.   OP + BP = 2 ⋅ 187,5 = 27,386... ≈ 27,39[LE] . Länge des kürzesten Weges: l = Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 (GG) Seite 5 von 8 (4) Da die Ebene H (siehe c (3)) eine Symmetrieebene der Pyramide ist, ist ein zu OPB entsprechender Streckenzug ONB „über“ die Kante CS ebenso lang wie der Strecken- zug OPB und damit auch ein kürzester Weg von O nach B über den Mantel der Pyra- mide. Der Punkt N kann beispielsweise als Bildpunkt der Spiegelung von P an der Ebene H erhalten werden. [Alternative: Die Ebene H ist orthogonal zur x1 x2 -Ebene. Also liegt der Punkt N (t1 | t2 | t3 ) in „gleicher Höhe über der Grundfläche“ wie der Punkt P. Deshalb ist N auch der Schnittpunkt der Geraden durch C und S mit der Ebene mit der Gleichung x3 = 5 .] Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 7. Seite 6 von 8 Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass das Viereck OABC ein Quadrat ist. 6 2 (2) berechnet das Volumen der Pyramide OABCS. 3 3 (2) berechnet die Oberfläche der Pyramide OABCS. 5 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 14 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling 1 maximal erreichbare Punktzahl (1) zeigt, dass der Punkt R auf der Strecke AB liegt. 3 2 (2) zeigt, dass die Strecke OR die Grundfläche der Pyra- mide im Verhältnis 5:1 bzw. 1:5 teilt. 5 3 (3) leitet eine Parametergleichung der Ebene E her. 3 4 (3) leitet eine Koordinatengleichung der Ebene E her. 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (15) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 15 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes P der Geraden g durch S und A mit der Ebene E. 6 2 (2) weist nach, dass die Strecken OP und BP senkrecht zur Geraden g verlaufen. 4 3 (3) begründet, dass der Streckenzug OPB ein kürzester Weg von O nach B über den Mantel der Pyramide ist. 4 4 (3) berechnet die Länge des Streckenzuges. 2 5 (4) begründet die Aussage. 3 6 (4) beschreibt die Lage des Punktes N. 2 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (21) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 21 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 40 mangelhaft plus 3 39 – 34 mangelhaft 2 33 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung von Wolfspopulationen. Dabei beschränken wir uns ausschließlich auf die weiblichen Mitglieder einer Population, die aus Welpen (w), jungen Fähen (j) sowie ausgewachsenen Fähen (a) bestehen soll. Alle Fähen sind vermeh- rungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jahr nach der Geburt zu jungen Fähen und ein Jahr später zu ausgewachsenen Fähen. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Population für die Jahre 2013 und 2014: 2013 65 8 20 w j a 2014 52 26 16 Tabelle Modellhaft lässt sich die Entwicklung mit der Matrix A beschreiben: von : w j a nach : w j a  0 1,5 2    A = b 0 0   0 0,5 0,6    a) (1) Begründen Sie mit den Daten aus der Tabelle, dass b = 0, 4 gilt. (2) Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Matrix A im Sachzusammenhang. (3 + 4 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 2 von 4 Name: _______________________ b) (1) Berechnen Sie die Verteilungen, die nach diesem Modell in den Jahren 2015 und 2016 zu erwarten sind. (2) Bestimmen Sie die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte. (3) Zeigen Sie, dass sich in diesem Modell die Population aus 2011 nicht bestimmen lässt. (4) Ein Biologe behauptet, dass weniger als 15 % aller Welpen mindestens ein Alter von drei Jahren erreichen. Prüfen Sie, ob nach der obigen Modellierung mit der Matrix A die Behauptung des Biologen zutrifft. (4 + 5 + 3 + 4 Punkte) c) Wölfe, die in einem Tierpark leben, haben andere Überlebens- und Fortpflanzungsraten. Für einen Tierpark kann die Entwicklung seiner Wolfspopulation durch die folgende Matrix B modelliert werden: 1 0,1   0   B =  0,8 0 0   0 0,75 0,7    (1) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix B im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix A. (2) Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierparkleitung die Gesamtzahl der Wölfe konstant halten. Das soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden. 0   Zeigen Sie, dass eine von  0  verschiedene stationäre Verteilung existiert, d. h. 0   eine Verteilung, die sich innerhalb eines Jahres nicht ändert. (3) Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit stationärer Verteilung  n1   0       n =  n2  ≠  0  mit natürlichen Zahlen n1 , n2 und n3 . n  0  3   (2 + 7 + 4 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 3 von 4 Name: _______________________ d) Für die Population in dem obigen Tierpark wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrate von 80 % beibehalten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und ausgewachsenen Fähen werden zu einer Stufe zusammengefasst. Die neue Modellierung soll durch die Matrix  0 g  C =   0,8 h  mit g > 0 und 0 ≤ h < 1 dargestellt werden. Die Population der Welpen und Fähen soll mit insgesamt 19 Tieren konstant bleiben. (1) Zeigen Sie, dass in dem neuen Modell eine stationäre Verteilung mit 11 Welpen nicht vorkommen kann. 5 5 (2) Zeigen Sie, dass sich für g = und h = eine stationäre Verteilung mit 5 Welpen 14 7 und 14 Fähen ergibt. 5     0 14   (3) Mit den Werten aus (2) ist C = . Ein Taschenrechner liefert z. B.   5   0,8 7   0 , 2222222218 0 , 2777777779   17  . C =   0,6222222226 0,7777777777  Die Potenzen C der Matrix C streben mit wachsendem n gegen die Matrix n  2  9  G=  28   45 5   18  .  7  9 Mit Hilfe der Matrix G lässt sich die langfristige Entwicklung einer Population ermitteln. Leider fallen in einem Jahr alle fünf Welpen der Population einer Infektionskrankheit zum Opfer. Daraufhin beschließt die Tierparkleitung die Anschaffung von vier zusätz- lichen Fähen. Ermitteln Sie die langfristige Entwicklung der neuen Population. (7 + 2 + 5 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 4 von 4 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel: • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!