Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 (GG) Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Matrizenrechnung 2. Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage • entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2015 1. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Algebra/Analytische Geometrie • Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung • Übergangsmatrizen • Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen 2. Medien/Materialien • entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 6. M GK HT 4 (GG) Seite 2 von 8 Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) Von 65 Welpen im Jahr 2013 entwickeln sich im folgenden Jahr 26 zu jungen Fähen, also ist b = 0, 4 . (2) Von den jungen Fähen erreichen 50 % das dritte Lebensjahr und von den ausgewach- senen Fähen erreichen 60 % das nächste Lebensjahr. Eine junge Fähe bringt im Durch- schnitt 1,5 Welpen zur Welt und eine ausgewachsene Fähe durchschnittlich zwei Welpen. Teilaufgabe b)  0 1,5 2   71   76,4   0 1,5 2   52   71              (1)  0,4 0 0  ⋅  20,8  =  28,4  . 0  ⋅  26  =  20,8  und  0,4 0  0 0,5 0,6   22,6   23,96   0 0,5 0,6   16   22,6              Im Jahr 2015 sind 71 Welpen, 21 junge Fähen und 23 ausgewachsene Fähen zu erwarten und im Jahr 2016 sind 76 Welpen, 28 junge Fähen und 24 ausgewachsene Fähen zu erwarten. 1,5 ⋅= j + 2⋅a 65 0,2 = ⋅a 5= w 20  0 1,5 2   w   65  . (2)  0, 4 0 0  ⋅  j  = 8  ⇔ 0, 4 w 8 0, 4 w 8 j 10 ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =        0 0,5 0,6   a   20  0,5 ⋅ j= 20 0,5 ⋅ j= 20= a 25 + 0,6 ⋅ a + 0,6 ⋅ a       Für das Jahr 2012 hätte sich eine Verteilung von 20 Welpen, 10 jungen und 25 aus- gewachsenen Fähen ergeben.  0 1,5 2   w      (3)  0,4 0 0 ⋅ j  =  0 0,5 0,6   a      1,5 ⋅ j + 2 ⋅ a = 20  20   10  ⇔ . ⋅ = 0,4 w 10    25  0,5 j 0,6 a 25 ⋅ + ⋅ =   Aus der ersten und dritten Zeile erhält man: 0,2 ⋅ a =−55 (Widerspruch, da es keine negativen Anzahlen gibt). Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 8 (4) Der Anteil q der Welpen, die mindesten drei Jahre alt werden, beträgt q = 0,4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,6 = 0,12 = 12 % < 15 % . Damit ergibt sich die Behauptung des Biologen aus der Modellierung. Teilaufgabe c) (1) Die Überlebensrate für die jungen Fähen steigt von 0,5 auf 0,75 und ihre Fortpflanzungs- rate fällt von 1,5 auf 1. 1 0,1   w   w  j + 0,1 ⋅ a =  0       (2)  0,8 0 0  ⋅  j =  j  ⇔ 0,8 ⋅ w =  0 0,75 0,7   a   a  ⋅ = + ⋅ j 0,7 a 0,75       −w + j + 0,1 ⋅= a 0 j ⇔ 0,8 ⋅ w − j = a 0,75 ⋅ = j − 0,3 ⋅ a 0 0 w −w + j + 0,1 ⋅ a = 0 ⇔ −0,2 ⋅ j + 0,08 ⋅ a = 0 . 0 = 0  0,5 ⋅ a     Jede Lösung des Gleichungssystems ist von der Form v  0, 4 ⋅ a  , a ∈ IR . =  a    5    (3) Die kleinstmögliche Population mit natürlichen Zahlen ergibt sich aus n =  4  mit  10    19 Tieren. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 (GG) Seite 4 von 8 Teilaufgabe d)  0 g   11  (1) Der Ansatz  ⋅ =     0,8 h   8  8⋅g = 11  11  ⇔ 8 8,8 + 8 ⋅ h = 8   führt zu h = − 0,1 < 0 , was im Widerspruch zum Sachzusammenhang ( h ≥ 0 ) steht. 5    5 5  0     14   (2) Es ist ⋅  =  .   5       14   14   0,8 7   2 5  0 5      9 18   ⋅   =   . Also stellt sich langfristig wieder die stationäre Verteilung (3) Es ist  28 7        18   14    45 9  aus 5 Welpen und 14 Fähen ein. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 7. Seite 5 von 8 Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet mit den Daten aus der Tabelle, dass b = 0, 4 gilt. 3 2 (2) interpretiert die weiteren von Null verschiedenen Ein- träge in der Matrix A im Sachzusammenhang. 4 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (7) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 7 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet die Verteilungen, die nach diesem Modell in den Jahren 2015 und 2016 zu erwarten sind. 4 2 (2) bestimmt die Verteilung, die nach diesem Modell im Jahr 2012 vorgelegen hätte. 5 3 (3) zeigt, dass man die Population von 2011 in diesem Modell nicht bestimmen kann. 3 4 (4) prüft, ob nach der Modellierung durch die Matrix A die Behauptung des Biologen zutrifft. 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (16) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 16 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 8 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) beschreibt im Sachzusammenhang die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix B im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Spalte der Matrix A. 2 2 0   (2) zeigt, dass eine von  0  verschiedene stationäre 0   7 EK ZK DK Verteilung existiert. 3 (3) ermittelt die kleinstmögliche Gesamtpopulation mit  n1   0       stationärer Verteilung n =  n2  ≠  0  mit natürlichen n  0  3   4 Zahlen n1 , n2 und n3 . Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 13 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass in dem neuen Modell eine stationäre Vertei- lung mit 11 Welpen nicht vorkommen kann. 7 2 5 5 (2) zeigt, dass sich für g = und h = eine stationäre 14 7 Verteilung mit 5 Welpen und 14 Fähen ergibt. 2 3 (3) ermittelt die langfristige Entwicklung der neuen Popu- lation. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (14) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 14 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 8 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 8 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 40 mangelhaft plus 3 39 – 34 mangelhaft 2 33 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 (GG) Seite 1 von 6 Name: _______________________ Abiturprüfung 2015 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung Eine Firma stellt Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,2 „2. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“), unabhängig von allen anderen Fliesen. Jede Packung enthält 20 Fliesen. a) (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung genau vier „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind. (2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mindestens 90 % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben. (3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen höchstens um 2 von der erwarteten Anzahl abweicht. (2 + 3 + 4 Punkte) b) Die 20 Fliesen einer Packung wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt. (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis p = 0,32768 ] (2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. (3) In einer Reihe wurden sogar genau zwei Fliesen der Qualität „2. Wahl“ verlegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fliesen direkt nebeneinander liegen. (2 + 5 + 6 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 (GG) Seite 2 von 6 Name: _______________________ c) Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert: Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert. (1) Stellen Sie die Situation graphisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baum- diagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert). (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist. (8 + 4 Punkte) d) Die Maschine, mit der die Fliesen hergestellt werden, wird neu eingestellt, da die „2. Wahl“-Wahrscheinlichkeit von p = 0,2 zu groß ist. Der Produktionsleiter möchte mit einem Test überprüfen, ob die neue Einstellung tatsächlich zu einer Verringerung des Ausschussanteils geführt hat. Er entnimmt daher der Tagesproduktion der neu eingestell- ten Maschine zufällig 100 Fliesen und lässt die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe bestimmen. (1) Ermitteln Sie einen geeigneten Hypothesentest (geben Sie geeignete Hypothesen an, begründen Sie die Wahl von H 0 und ermitteln Sie eine Entscheidungsregel) für die genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %. (2) Die Wahrscheinlichkeit für „2. Wahl“-Fliesen wurde durch die neue Einstellung tat- sächlich auf p = 0,15 gesenkt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ihre Entscheidungsregel aus (1) zu einer Fehlentscheidung führt. (11 + 5 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!