M LK HT 2 Seite 3 von 4 Name: _______________________ c) (1) Zeigen Sie, dass alle Sprungschanzen, deren Profil durch eine der Funktionen fa gegeben ist, im Absprungpunkt A dieselbe Steigung haben. (2) Ein BMX-Fahrer macht nach dem Abheben von der Sprungschanze im Punkt A einen 4 Meter weiten Sprung. Seine zwischen den Punkten A und B  4 | 0  parabelförmig verlaufende Flugbahn soll durch den Graphen einer quadratischen Funktion q beschrieben werden, der im Punkt A ohne Knick an die Profillinie der Sprung- 2 schanze anschließt (siehe Abbildung 2, gestrichelte Linie). Leiten Sie eine Gleichung dieser quadratischen Funktion q her. 3 2 3 [Zur Kontrolle: q  x    x  x , 0  x  4 ] 16 4 (3) Rechts vom Punkt A soll ein Aufsprunghügel angelegt werden, dessen seitliches Profil durch den Graphen der Funktion h mit der Gleichung 3 3 3 2 3 h( x )  x  x  x , 0  x  5 , beschrieben wird (siehe Abbildung 2). 100 10 4 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C, in dem der BMX-Fahrer aus (2) den größten vertikalen Abstand vom geplanten Aufsprunghügel hätte. (15 Punkte) y q x h A B Abbildung 2 2 In dieser vereinfachten Modellierung wird die räumliche Ausdehnung von Fahrer und BMX-Rad vernachlässigt. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 2 Seite 4 von 4 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2013 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen, Exponentialfunktionen einschließlich Funktionenscharen und Logarithmusfunktionen sowie notwendiger Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Für  8  x  0 und 3,2  a  4 gilt: fa ( x )  0  1 2 3  x   2 x    0 4  4a 1 2 3 2 2  x  0   2 x   0  x  0  0  x  3a   3  a  x  0. 4a 4 Somit ist die Aussage aus der Aufgabenstellung nachgewiesen. 3 2 3 3 (2) Es gilt: fa( x )   2 x  , fa( x )   2 x ,  8  x  0 , 3,2  a  4 . 4a 4 2a 3 2 3 fa( xT )  0   2 xT   0  xT   a . [  3  a  xT  0 ist erfüllt.] 4a 4 Da zusätzlich aus  8  x  0 folgt fa x   0 , ist xT lokale und zugleich globale Minimalstelle von fa . 1 3 1 3 1 3 fa  xT    2    a      a   a  a   a . 4a 4 4 4 2 1   Der tiefste Punkt des Sprungschanzen-Profils ist Ta   a  a  . 2   1 1 (3) xT   a  yT   a  yT  xT . 2 2 1 Die gesuchte Funktion hat die Gleichung k  x   x [für  4  x  3,2 ]. 2 Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Modelllösung b) 3 2 3 (1) Sei 3,2  a  4 . Es gilt fa( x )   2 x  (vgl. a)). 4a 4 3 3 8 5 2  3,58 . fa( 8)   3   2   8     3  a  4a 4 5 Der Parameterwert, für den die Sprungschanze im Punkt Sa die Steigung  3 hat, ist 8 5 . a 5 1 3 3 f 8 5 ( 8)    8    8  4 .  64 4 5 4 5 Der Startpunkt der Sprungschanze liegt 4 Meter über dem Erdboden. (2) Die durchschnittliche Steigung des Funktionsgraphen von fa zwischen dem Punkt Sa und dem Punkt A ist die Steigung der Intervallsekante. y A  y Sa 04 1 8 5   . ergibt sich: Für a  x A  xSa 0   8  2 5 Die Angabe der Firma ist korrekt. Das negative Vorzeichen des angegebenen Wertes sagt lediglich aus, dass der Punkt A tiefer liegt als der Punkt Sa . Über sonstige Eigenschaften des Verlaufs der Sprungschanze wie minimale oder maximale Steigung bzw. das Krümmungsverhalten enthält diese Angabe der Firma keine Information. [Auch andere Eigenschaften können genannt werden.] (3) Der Flächeninhalt des zwischen dem Graphen von fa und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks beträgt 0 0  1 3 3   1 4 3 2 x x dx x x        4a2 4   16a2  8  a a 3 3 9 2 9 2 9 2 2 a  a  a [m ] .  16 8 16 8 5 ein Erdvolumen von Da die Sprungschanze 2 Meter breit ist, ergibt sich für a  5 9 2 72 3 a   14, 4 [m ] . 8 5 Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 4 von 7 Modelllösung c) 3 (1) fa(0)  unabhängig von a. 4 (2) Sei q  x   b  x  c  x  d und q  x   2b  x  c . Folgende Bedingungen sind zu erfüllen: 2 3 3 q  0   fa  0   0 , q  0   fa  0   sowie q  4   0 . Daraus ergibt sich d  0 , c  4 4 3 3 2 3 und b   , schließlich q  x    x  x . 16 16 4 (3) Gesucht ist das [absolute] Maximum der Funktion d, mit der Gleichung 3 3 9 2 d x  qx  hx   x  x , 0 x4. 100 80 9 2 9 5 x  x  0 hat die Lösungen x1  0 und x2  . Die Gleichung d  x   0   100 40 2 15  0,23 und d  4    0,12 ist d  x2  Wegen d  0   d  x1   0 , d  x2   64 [lokales und absolutes] Maximum der Funktion d. Der gesuchte Punkt, in dem der BMX-Fahrer den größten vertikalen Abstand vom  5 45   C 2,5 0,7031 . geplanten Aufsprunghügel hätte, ist C      2 64  Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 5 von 7 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) weist nach, dass die durch die Funktion fa beschriebene Profillinie der Sprung- 5 schanze im Bereich  3a  x  0 unterhalb des Niveaus des Erdbodens verläuft. 2 (2) bestimmt in Abhängigkeit von a die globale Minimalstelle der Funktion fa . 7 3 (2) berechnet die y-Koordinate des Punktes Ta . 2 4 (3) gibt eine Gleichung der Funktion k an. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe b) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) berechnet den Wert von a, für den die Sprungschanze im Punkt Sa die Steigung  3 hat. 3 2 (1) berechnet die Höhe, in der sich bei dieser Sprungschanze der Startpunkt Sa befindet. 2 3 (2) prüft die Angabe der Firma. 3 4 (2) beurteilt ihre Aussagekraft. 3 5 (3) berechnet das Erdvolumen. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeigt, dass alle Sprungschanzen im Punkt A dieselbe Steigung haben. 2 2 (2) leitet eine Gleichung der quadratischen Funktion q her. 6 3 (3) berechnet die Koordinaten des Punktes C, in dem der BMX-Fahrer den größten vertikalen Abstand vom geplanten Aufsprunghügel hätte. 7 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) weist nach, dass … 5 2 (2) bestimmt in Abhängigkeit … 7 3 (2) berechnet die y-Koordinate … 2 4 (3) gibt eine Gleichung … 4 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (18) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 18 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet den Wert … 3 2 (1) berechnet die Höhe … 2 3 (2) prüft die Angabe … 3 4 (2) beurteilt ihre Aussagekraft. 3 5 (3) berechnet das Erdvolumen. 6 sachlich richtige Alternativen: (17) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 17 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 2 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass alle … 2 2 (2) leitet eine Gleichung … 6 3 (3) berechnet die Koordinaten … 7 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (15) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 15 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M LK HT 3 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Gegeben ist eine Schar von Funktionen fa mit der Gleichung fa  x    a x  a   e 2  ax , x  IR , wobei a eine positive reelle Zahl ist. Der Graph der Funktion f1 wird in der Abbildung auf Seite 2 dargestellt. a) (1) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion fa mit den Koordinatenachsen. (2) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion fa . [Zur Kontrolle: fa  x   a xe 3  ax ; fa x   a e 3  ax  ax  1 ] (3) Begründen Sie, dass die Funktion fa ein globales Maximum besitzt. (17 Punkte)  1 2a  f . b) In a) (2) ergibt sich der Wendepunkt Wa  für die Funktion a  a e  Weisen Sie nach, dass die Wendetangente ga im Punkt Wa mit den positiven Koordinaten- achsen eine Fläche einschließt, deren Inhalt unabhängig vom Parameter a ist. 2 a 3a [Zur Kontrolle: ga besitzt die Gleichung ga ( x )   x  , x  IR .] e e (7 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!