M LK HT 7 Seite 9 von 10 Name: _______________________ Tabelle 6: Kumulierte Binomialverteilung für n = 400 F (n; p; k )  B n ; p;0  ...  B n ; p;k    n    p 0  0 1  p  n0  n  k  ...    p k  1  p  nk p n 400 n k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 0,01 0,0180 0,0905 0,2366 0,4325 0,6288 0,7859 0,8904 0,9498 0,9792 0,9922 0,9973 0,9992 0,9998 0,9999 0,02 0,0003 0,0028 0,0131 0,0410 0,0973 0,1885 0,3109 0,4515 0,5926 0,7179 0,8179 0,8903 0,9381 0,9673 0,9838 0,9924 0,9966 0,9986 0,9994 0,9998 0,9999 0,05 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0017 0,0042 0,0094 0,0190 0,0355 0,0614 0,0990 0,1499 0,2145 0,2912 0,3771 0,4680 0,5591 0,6459 0,7246 0,7927 0,8490 0,8935 0,9274 0,9520 0,9693 0,9810 0,9886 0,9933 0,9962 0,9979 0,9989 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dezimalen) 1,0000 0,99 0,98 0,95 0,1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0009 0,0017 0,0031 0,0054 0,0092 0,0149 0,0235 0,0357 0,0524 0,0746 0,1030 0,1382 0,1805 0,2296 0,2849 0,3453 0,4095 0,4756 0,5420 0,6067 0,6682 0,7251 0,7763 0,8214 0,8600 0,8924 0,9188 0,9399 0,9564 0,9689 0,9783 0,9851 0,9900 0,9934 0,9957 0,9973 0,9983 0,9989 0,9994 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 0,9 p Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p  0,5 gilt: F ( n; p; k )  1  abgelesener Wert Nur für den Dienstgebrauch! n 399 398 397 396 395 394 393 392 391 390 389 388 387 386 385 384 383 382 381 380 379 378 377 376 375 374 373 372 371 370 369 368 367 366 365 364 363 362 361 360 359 358 357 356 355 354 353 352 351 350 349 348 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338 337 336 335 k 400 n

M LK HT 7 Seite 10 von 10 Name: _______________________ Tabelle 7: Normalverteilung   z   0,...  z   1    z  z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 0 5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 9981 9987 9990 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 1 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 9991 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 2 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 9991 9994 9995 9997 9998 9999 9999 9999 3 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 9991 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 4 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 5 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9989 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 6 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9989 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 7 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9989 9992 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 Beispiele für den Gebrauch:   2,32   0,9898   0,9   1    0,9   0,1841   z   0,994  z  2,51 Nur für den Dienstgebrauch! 8 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 9 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 9999

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Stochastik mit Alternative 1 (ein- und zweiseitiger Hypothesentest) 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2013 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit  Binomialverteilung und Normalverteilung einschließlich Erwartungswert und Stan- dardabweichung Alternative 1:  Ein- und zweiseitiger Hypothesentest 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 9 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der regelmäßigen Fahrradnutzer unter den 2 100 befragten Personen. X sei binomialverteilt mit n  100 und p  . 3 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt: 70 30  100   2   1  P( E1 )  P  X  70            0,0673 .  70   3   3  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt: Tabelle P( E2 )  P  X  70   1  P  X  69   1  1  0,2766   0,2766 . Mit den obigen Festlegungen gilt: P( E3 )  P  60  X  70   P  X  70   P  X  59  Tabelle  1  0,2093   1  0,9341  0,7248. [Der auf 4 Nachkommastellen genaue Wert ist 0,7249.] Modelllösung b) X: Anzahl der Fahrräder mit Mängeln; X ist Bn, 1 -verteilt. 6 n n ln 0,1 5 5 P( X  1)  0,9  1  P( X  0)  0,9  1     0,9     0,1  n  5 ln 6 6 6 ln 0,1 Aus erhält man: Es müssen mindestens 13 Fahrräder von der Polizei kontrol-  12,63 5 ln 6 n 5 liert werden. [Die Ungleichung    0,1 kann auch durch Probieren gelöst werden, da 6 der Wert der linken Seite der Ungleichung für wachsende n monoton fällt.] Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 3 von 9 Modelllösung c) (1) P" Großstadt und regelm. Nutzung"   0,306  0,43  0,13 (2) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt (mit der Setzung nr: nicht regelmäßige Nut- zung): P(" nr und mehr als 100000") Pnr (" mehr als 100000")  P(nr ) 0,306  0,57 Pnr (" mehr als 100000")  0,404  0,63  0,290  0,58  0,306  0,57 Pnr (" mehr als 100000")  0,2921. Modelllösung d) Es bezeichne die Zufallsgröße X die Anzahl der im Zeitlimit ankommenden Fahrer. Dann nimmt der Veranstalter X als binomialverteilt an mit p = 0,25 und n = 200. Da wegen   200  0,25  0,75  3 die Laplace-Bedingung erfüllt ist, kann die gesuchte Antrittsgebühr näherungsweise mit folgendem Ansatz bestimmt werden: 200  0,25  1,64  200  0,25  0,75   20  200  x  x   200  0,25  1,64  200  0,25  0,75   20 : 200  6,00429 . Also muss der Antrittsbetrag mindestens 6 € (eigentlich sogar: 6,01 €) gewesen sein. Modelllösung e) (1) Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrrad Mängel hat. Getestet wird H 0 : p  0,1 gegen H1 : p  0,1 (linksseitiger Hypothesentest). Fehler 1. Art: In Wahrheit sind mindestens 10 % der Fahrräder defekt. Es werden aber in der Stichprobe höchstens 12 Fahrräder mit Mängeln gefunden, was zu einer irrtüm- lichen Reduktion der Zahl der Kontrollen führt. Zu dieser Wahl passt die Intention, den Fehler zu vermeiden, dass die Anzahl der Kon- trollen verringert wird, obwohl der Anteil der Fahrräder mit Mängeln in Wirklichkeit nicht gesunken ist (Fehler 1. Art). Daraus ergibt sich die Wahl der H0-Hypothese H 0 : p  0,1 . Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 4 von 9 (2) Die Zufallsgröße X400 : „Anzahl der mängelbehafteten Fahrräder in der Stichprobe“ kann (bei Gültigkeit der Hypothese H0) als binomialverteilt angenommen werden mit n = 400 und p = 0,1. Dann bestimmt man als Fehler 1. Art mit Hilfe des TR oder der Tabelle: Pp0,1 ( X 400  25)  0,0054 . Dieser Wert ist lediglich ca. ein Sechstel der ursprünglichen Fehlerwahrscheinlichkeit und damit erheblich kleiner. (3) Es gilt:  200  200  p  (1  p) , also:  400  400  p  (1  p)  2  200  p  (1  p)  2   200 . Die Grenze k200 des Ablehnungsbereichs für n = 200 bestimmt man näherungsweise mit der Formel k200  200  1,64   200 . Die Grenze k 400 des Ablehnungsbereichs für n = 400 wird analog bestimmt durch k400  400  1,64   400  2  200  1,64  2   200 . Dies ist aber nicht gleich 2  k200  2  200  1,64  2   200 . D. h., die von den Polizisten durch Verdoppelung ermittelte Grenze ist zu niedrig. Formal weniger detaillierte Erklärungen, die aber den wesentlichen Punkt beinhalten, dass statt der Verdoppelung des Radius um den Erwartungswert eine Multiplikation des Radius mit dem Faktor 2 durchgeführt werden muss, können ebenfalls mit voller Punktzahl bewertet werden. 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E1. 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2. 2 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E3. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 5 von 9 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz. 2 2 bestimmt die Anzahl der Fahrräder, die mindestens kontrolliert werden müssen. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 2 (2) bestimmt die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 bestimmt einen Ansatz für das gesuchte x. 6 2 berechnet die gesuchte Antrittsgebühr. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe e) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) beschreibt den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang. 2 3 (1) begründet die Wahl der Hypothesen aus Sicht der Polizei. 3 4 (2) zeigt, dass der Fehler 1. Art für n  400 erheblich kleiner ist als für n  200 . 4 5 (3) zeigt, dass  400  2   200 gilt. 2 6 (3) erläutert die Auswirkung. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 9 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (6) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 6 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz … 2 2 bestimmt die Anzahl … 4 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (6) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die gesuchte … 3 2 (2) bestimmt die gesuchte … 6 sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 2 9 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 9 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 bestimmt einen Ansatz … 6 2 berechnet die gesuchte … 3 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 9 Teilaufgabe e) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) beschreibt den Fehler … 2 3 (1) begründet die Wahl … 3 4 (2) zeigt, dass der … 4 5 (3) zeigt, dass  400  6 (3) erläutert die Auswirkung. 2   200 … 2 5 sachlich richtige Alternativen: (20) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe e) 20 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 9 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 150 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!