Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 3 von 9 Modelllösung c) (1) P" Großstadt und regelm. Nutzung"   0,306  0,43  0,13 (2) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt (mit der Setzung nr: nicht regelmäßige Nut- zung): P(" nr und mehr als 100000") Pnr (" mehr als 100000")  P(nr ) 0,306  0,57 Pnr (" mehr als 100000")  0,404  0,63  0,290  0,58  0,306  0,57 Pnr (" mehr als 100000")  0,2921. Modelllösung d) Es bezeichne die Zufallsgröße X die Anzahl der im Zeitlimit ankommenden Fahrer. Dann nimmt der Veranstalter X als binomialverteilt an mit p = 0,25 und n = 200. Da wegen   200  0,25  0,75  3 die Laplace-Bedingung erfüllt ist, kann die gesuchte Antrittsgebühr näherungsweise mit folgendem Ansatz bestimmt werden: 200  0,25  1,64  200  0,25  0,75   20  200  x  x   200  0,25  1,64  200  0,25  0,75   20 : 200  6,00429 . Also muss der Antrittsbetrag mindestens 6 € (eigentlich sogar: 6,01 €) gewesen sein. Modelllösung e) (1) Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrrad Mängel hat. Getestet wird H 0 : p  0,1 gegen H1 : p  0,1 (linksseitiger Hypothesentest). Fehler 1. Art: In Wahrheit sind mindestens 10 % der Fahrräder defekt. Es werden aber in der Stichprobe höchstens 12 Fahrräder mit Mängeln gefunden, was zu einer irrtüm- lichen Reduktion der Zahl der Kontrollen führt. Zu dieser Wahl passt die Intention, den Fehler zu vermeiden, dass die Anzahl der Kon- trollen verringert wird, obwohl der Anteil der Fahrräder mit Mängeln in Wirklichkeit nicht gesunken ist (Fehler 1. Art). Daraus ergibt sich die Wahl der H0-Hypothese H 0 : p  0,1 . Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 4 von 9 (2) Die Zufallsgröße X400 : „Anzahl der mängelbehafteten Fahrräder in der Stichprobe“ kann (bei Gültigkeit der Hypothese H0) als binomialverteilt angenommen werden mit n = 400 und p = 0,1. Dann bestimmt man als Fehler 1. Art mit Hilfe des TR oder der Tabelle: Pp0,1 ( X 400  25)  0,0054 . Dieser Wert ist lediglich ca. ein Sechstel der ursprünglichen Fehlerwahrscheinlichkeit und damit erheblich kleiner. (3) Es gilt:  200  200  p  (1  p) , also:  400  400  p  (1  p)  2  200  p  (1  p)  2   200 . Die Grenze k200 des Ablehnungsbereichs für n = 200 bestimmt man näherungsweise mit der Formel k200  200  1,64   200 . Die Grenze k 400 des Ablehnungsbereichs für n = 400 wird analog bestimmt durch k400  400  1,64   400  2  200  1,64  2   200 . Dies ist aber nicht gleich 2  k200  2  200  1,64  2   200 . D. h., die von den Polizisten durch Verdoppelung ermittelte Grenze ist zu niedrig. Formal weniger detaillierte Erklärungen, die aber den wesentlichen Punkt beinhalten, dass statt der Verdoppelung des Radius um den Erwartungswert eine Multiplikation des Radius mit dem Faktor 2 durchgeführt werden muss, können ebenfalls mit voller Punktzahl bewertet werden. 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E1. 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E2. 2 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E3. 2 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 7 Seite 5 von 9 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz. 2 2 bestimmt die Anzahl der Fahrräder, die mindestens kontrolliert werden müssen. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) bestimmt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 3 2 (2) bestimmt die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 bestimmt einen Ansatz für das gesuchte x. 6 2 berechnet die gesuchte Antrittsgebühr. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe e) Anforderungen Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) beschreibt den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang. 2 3 (1) begründet die Wahl der Hypothesen aus Sicht der Polizei. 3 4 (2) zeigt, dass der Fehler 1. Art für n  400 erheblich kleiner ist als für n  200 . 4 5 (3) zeigt, dass  400  2   200 gilt. 2 6 (3) erläutert die Auswirkung. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 9 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 2 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 3 berechnet die Wahrscheinlichkeit … 2 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (6) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 6 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 ermittelt einen Ansatz … 2 2 bestimmt die Anzahl … 4 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (6) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 6 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt die gesuchte … 3 2 (2) bestimmt die gesuchte … 6 sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 2 9 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 9 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 bestimmt einen Ansatz … 6 2 berechnet die gesuchte … 3 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (9) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 9 Teilaufgabe e) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt geeignete Hypothesen. 4 2 (1) beschreibt den Fehler … 2 3 (1) begründet die Wahl … 3 4 (2) zeigt, dass der … 4 5 (3) zeigt, dass  400  6 (3) erläutert die Auswirkung. 2   200 … 2 5 sachlich richtige Alternativen: (20) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe e) 20 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 8 von 9 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der dritten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 150 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ___________ ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: _____________ Die Klausur wird abschließend mit der Note: ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 7 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 9 von 9 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 150 – 143 sehr gut 14 142 – 135 sehr gut minus 13 134 – 128 gut plus 12 127 – 120 gut 11 119 – 113 gut minus 10 112 – 105 befriedigend plus 9 104 – 98 befriedigend 8 97 – 90 befriedigend minus 7 89 – 83 ausreichend plus 6 82 – 75 ausreichend 5 74 – 68 ausreichend minus 4 67 – 58 mangelhaft plus 3 57 – 49 mangelhaft 2 48 – 40 mangelhaft minus 1 39 – 30 ungenügend 0 29 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 8 Seite 1 von 11 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: Bundeslandwirtschaftsministerin Ilse Aigner hat im April 2009 den Anbau von Gen-Mais in Deutschland verboten, da ihrer Ansicht nach Risiken für die Umwelt nicht ausgeschlossen werden konnten. Im Januar 2010 fand eine repräsentative Umfrage unter der deutschen Bevölkerung mit folgender Fragestellung statt: „Sollte der Anbau von Gen-Mais in Deutsch- land weiterhin verboten bleiben?“ Die Tabelle gibt die Ergebnisse der Umfrage nach Altersgruppen aufgeschlüsselt wieder: Altersgruppe 14 bis 29 Jahre 30 bis 39 Jahre 40 bis 49 Jahre 50 bis 59 Jahre 60 Jahre und älter „Ja“ 166 112 153 129 232 „Nein“ 33 24 30 19 45 keine Angabe 12 14 8 4 24 Anzahl der Befragten 211 150 191 152 301 Antwort a) (1) Eine Person wird zufällig aus den 1005 Teilnehmern der Umfrage ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keine Angabe gemacht hat. (2) Aus den Teilnehmern der Umfrage werden 3 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede dieser 3 Personen mindestens 50 Jahre alt ist und mit „Ja“ geantwortet hat. (3) Unter den Befragten der Altersgruppe 14 bis 29 befanden sich 57 Schüler. Von diesen 2 antworteten mit „Ja“. 3 Bestimmen Sie den Anteil der Nicht-Schüler unter den 14- bis 29-Jährigen, die mit „Ja“ geantwortet haben. (11 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 8 Seite 2 von 11 Name: _______________________ b) Die Befragten der Altersgruppe 14 bis 29 Jahre setzen sich aus Schülern und Nicht-Schülern zusammen. 2 Genau der Schüler haben mit „Ja“ geantwortet, während der Anteil der Nicht-Schüler, 3 die mit „Ja“ geantwortet haben, r  83,1 % beträgt. Die Anzahl x der Schüler in der Altersgruppe 14 bis 29 Jahre kann nun mit Hilfe der Gleichung 2  x  r   211  x   166 3 bestimmt werden. (1) Begründen Sie die Gültigkeit dieser Gleichung. (2) Ermitteln Sie die gesuchte Anzahl x der Schüler. (6 Punkte) c) Die Umfrage wurde auch nach Herkunft der Teilnehmer (West- oder Ostdeutschland) ausgewertet: Herkunft Antwort „Ja“ „Nein“ keine Angabe West Ost 643 112 52 149 39 10 (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teil- nehmer der Umfrage, der mit „Ja“ geantwortet hat, aus Westdeutschland stammt. (2) Aus den Teilnehmern der Umfrage werden zwei Personen zufällig ausgewählt. Beide haben mit „Ja“ geantwortet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite Person aus demselben Teil Deutschlands stammt wie die erste (Ost bzw. West). (8 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 8 Seite 3 von 11 Name: _______________________ Im folgenden Aufgabenteil sollen die in der obigen Umfrage ermittelten relativen Häufig- keiten als Wahrscheinlichkeiten für die Bevölkerung in Deutschland angenommen werden. d) Eine weitere Umfrage unter n zufällig ausgewählten Personen wird mit derselben Frage- stellung durchgeführt. (1) Angenommen, bei dieser Umfrage werden nur Personen aus der Altersgruppe 50 bis 59 befragt. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X: „Anzahl der Befragten, die mit ‚Nein‘ geantwortet haben“ als binomialverteilt angenommen werden kann, und zeigen Sie, 1 dass die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit p  beträgt. 8 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (2) unter 40 zufällig in der Altersgruppe 50 bis 59 ausgewählten Personen die Anzahl derer, die mit „Nein“ antworten, genau dem Erwartungswert dieser Altersgruppe entspricht, (3) von 10 zufällig ausgewählten Personen alle eine Angabe („Ja“ oder „Nein“) machen, wenn diesmal bei der Umfrage nur Personen im Alter von 14 bis 49 befragt werden. (10 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!