M GK HT 3 (GG) Seite 1 von 2 Name: _______________________ Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O( 0 | 0 | 0 ) , A( 8 | 0 | 0 ) , B( 8 | 8 | 0 ) , C(0 | 8 | 0) , D( 8 | 0 | 8 ) , E( 8 | 8 | 8 ) , F( 0 | 8 | 8 ) und G( 0 | 0 | 8 ) Eckpunkte eines Würfels OABCDEFG . Außerdem sind die Punkte L(8 | 0 | 1) , M (8 | 8 | 3) und N (0 | 8 | 5) gegeben (siehe Abbildung). x3 G F N D E O C M L A x1 B Abbildung Nur für den Dienstgebrauch! x2

M GK HT 3 (GG) Seite 2 von 2 Name: _______________________ a) (1) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. (2) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. (3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks LMN. [Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des Dreiecks LMN beträgt 24  2 [FE].] (4 + 4 + 5 Punkte) b) (1) Ermitteln Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene H, die die Punkte L, M und N enthält. [Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: H : x1  x2  4 x3  12 .] (2) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g, die durch die Punkte P(11 | 3 | 20) und D festgelegt ist, und der Ebene H.  58 14 16  [Zur Kontrolle: Der Schnittpunkt ist S  | |  .]  9 9 9  (3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet. (4) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide LMND. (7 + 7 + 5 + 5 Punkte) c) (1) Bestimmen Sie den Schnittpunkt T der Ebene H mit der x3-Achse. [Zur Kontrolle: T (0 | 0 | 3) ] (2) Skizzieren Sie in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene H mit dem Würfel bildet. (3) Zeigen Sie, dass das Schnittgebilde von Ebene und Würfel eine Raute ist. (4) Beschreiben Sie eine Vorgehensweise, mit der Sie prüfen können, ob der Punkt Q(2,5 | 1 | 2,75) auf derselben Seite der Ebene H wie der Punkt D liegt. (3 + 3 + 3 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 (GG) Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Vektorielle Geometrie 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2016 1. Inhaltliche Schwerpunkte Vektorielle Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme  Geraden- und Ebenengleichungen in Parameter- und Koordinatenform  Lagebeziehung von Geraden und Ebenen  Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität und Länge von Vektoren 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 3 (GG) Seite 2 von 7 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) 0  8          (1) Aus LM   8  und MN   0  folgt, dass LM  MN  68  2 17  8,25 [LE]  2  2     ist. Daher ist das Dreieck LMN gleichschenklig. (2) Da LM  MN ist, kann im Dreieck LMN ein rechter Winkel höchstens im Punkt M sein.  0   8        Da LM  MN   8    0   4  0 gilt, ist das Dreieck LMN nicht rechtwinklig. 2  2     [Alternativ kann beispielsweise auch mit dem Satz des Pythagoras argumentiert werden.] (3) Der Punkt R(4 | 4 | 3) ist der Mittelpunkt der Strecke LN . Da das Dreieck LMN gleichschenklig ist, gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ALMN 1   LN  RM . 2  8  4        Aus LN   8  und RM   4  folgt, dass LN  144  12 [LE] und  4 0      RM  32  4 2 [LE] ist. ALMN 1   12  4 2  24 2  33,94 [FE]. 2 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Teilaufgabe b) (1) Für eine Gleichung der Ebene H in Parameterform ergibt sich: 8 0  8            H : x  OL  r *  LM  s *  LN   0   r *   8   s *   8  . Es folgt: 1 2  4       8 0  2         H : x   0   r   4   s   2  ( r*, s*, r , s  IR ) 1 1   1       x1  8 bzw. x2   2s x1  8 4 r  2 s  x2  4 x3   4 x3  1  r  s  2s  2 s  x2  4 x3  1 r s x3 x1  x2  4 x3  12 x3  4  2s .  1 r s Es ergibt sich als mögliche Koordinatenform: H : x1  x2  4 x3  12 . 8  1          (2) g : x  OD  t *  OP  OD bzw. g : x   0   t   1  (t*, t  IR ). 8  4       P(8  t | t | 8  4t ) (t  IR ) ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden g. P ist genau dann Schnittpunkt von g und H, wenn gilt: 14 8  t  ( t )  4  (8  4t )  12  18t  40  12  t   . 9  58 14 16  Eingesetzt in g erhält man den Schnittpunkt S  | |  .  9 9 9  (3) Die Gerade g schneidet die Ebene H genau dann senkrecht, wenn ein Richtungsvektor von g zu zwei nicht-kollinearen Richtungsvektoren von H senkrecht steht.  1  1  ist z. B. ein Richtungsvektor von g. Da    4    1 0  1   2   1    4   0 und  1    2   0 ist,          4  1   4  1          schneidet g die Ebene H senkrecht. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 7 (4) Da die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet, gilt für die Höhe der Pyramide LMND:  14 / 9    14  14 h  SD   14 / 9    18   2 [LE] . 9 3  56 / 9    Für das Volumen der Pyramide LMND folgt mit a) (3): VPyramide 1 1 14 224 2  ALMN  h   24 2   74,6 [VE]. 3 3 3 3 Teilaufgabe c) (1) T ( x1 | x2 | x3 ) ist genau dann der Schnittpunkt der x3-Achse mit der Ebene H, wenn x1  x2  4 x3  12  x1  0  x2  0 gilt. Es folgt: T (0 | 0 | 3) . (2) x3 G F N D E T O C x2 M L A x1 B Abbildung [Hinweis: In Aufgabenteil c) (2) ist auch eine „rein“ grafische Lösung mit Parallelen vorstellbar.]  8  0  0  8             (3) Aus LM   8  , MN   0  (siehe auch a) (1), NT   8  und TL   0  folgt,  2  2  2  2         dass alle Seiten des Schnittgebildes gleich lang sind. Da außerdem die Punkte L, M, N und T in einer Ebene [H] liegen, ist das Schnittgebilde eine Raute. (4) Setzt man die Koordinaten von D in die „linke Seite“ der Koordinatengleichung von H ein, so erhält man 40 (>12). Ein Punkt U (u | v | w ) liegt genau dann auf derselben Seite der Ebene H (im selben Halbraum wie D), wenn ebenfalls u  v  4 w  12 ist. Da 2,5  1  4  2,75  12,5  12 ist, liegt auch Q auf derselben Seite von H wie D. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 7 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. 4 2 (2) zeigt, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. 4 3 (3) bestimmt den Flächeninhalt des Dreiecks LMN. 5 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 13 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) ermittelt eine Parametergleichung der Ebene H. 3 2 (1) ermittelt eine Koordinatengleichung der Ebene H. 4 3 (2) bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g und der Ebene H. 7 4 (3) zeigt, dass die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet. 5 5 (4) bestimmt das Volumen der Pyramide LMND. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (24) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 24 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt den Schnittpunkt T der Ebene H mit der x3-Achse. 3 2 (2) skizziert in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene H mit dem Würfel bildet. 3 3 (3) zeigt, dass das geometrische Schnittgebilde eine Raute ist. 3 4 (4) beschreibt eine Vorgehensweise, mit der er prüfen kann, ob der Punkt Q(2,5 | 1 | 2,75) auf derselben Seite der Ebene H wie der Punkt D liegt. 4 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 13 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Berechnung der Endnote nach Anlage 4 der Abiturverfügung auf der Grundlage von § 34 APO-GOSt Die Klausur wird abschließend mit der Note ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum: Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 40 mangelhaft plus 3 39 – 34 mangelhaft 2 33 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Biologen wollen die Entwicklung einer Mäusebussardpopulation in einem Untersuchungs- gebiet durch eine Matrix beschreiben. Dabei werden (auch in der gesamten folgenden Auf- gabe) ausschließlich die weiblichen Tiere der Population betrachtet. Die Bussardpopulation besteht aus Küken (k), Jungvögeln (j), die noch nicht geschlechtsreif sind, und Altvögeln (a), die fortpflanzungsfähig sind. Die Küken entwickeln sich im Jahr nach dem Schlüpfen zu Jungvögeln und nach einem weiteren Jahr zu Altvögeln. Nach Beobachtungen des Bestandes der Bussarde wurde vor ca. 25 Jahren zur Modellierung der Populationsentwicklung die Matrix von : k j a nach : k j a 0 0,6   0   A   0,5 0 0   0 0,7 0,79    erstellt. a) (1) Stellen Sie die Entwicklung der Bussardpopulation nach dem vorgeschlagenen Modell durch einen Übergangsgraphen dar und interpretieren Sie die Bedeutung der Matrix- einträge 0,6 und 0,79 im Sachzusammenhang. (2) Zur Simulation der Entwicklung der Population wurde von einem Bestand von 30 Küken, 30 Jungvögeln und 30 Altvögeln ausgegangen. Berechnen Sie die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Population für das nächste und das übernächste Jahr. (3) Berechnen Sie den Anteil der gerade geschlüpften Küken, die bei einer Modellierung mit der Matrix A drei Jahre später noch leben. (8 + 4 + 3 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!