M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 7 Teilaufgabe b) (1) Für eine Gleichung der Ebene H in Parameterform ergibt sich: 8 0  8            H : x  OL  r *  LM  s *  LN   0   r *   8   s *   8  . Es folgt: 1 2  4       8 0  2         H : x   0   r   4   s   2  ( r*, s*, r , s  IR ) 1 1   1       x1  8 bzw. x2   2s x1  8 4 r  2 s  x2  4 x3   4 x3  1  r  s  2s  2 s  x2  4 x3  1 r s x3 x1  x2  4 x3  12 x3  4  2s .  1 r s Es ergibt sich als mögliche Koordinatenform: H : x1  x2  4 x3  12 . 8  1          (2) g : x  OD  t *  OP  OD bzw. g : x   0   t   1  (t*, t  IR ). 8  4       P(8  t | t | 8  4t ) (t  IR ) ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden g. P ist genau dann Schnittpunkt von g und H, wenn gilt: 14 8  t  ( t )  4  (8  4t )  12  18t  40  12  t   . 9  58 14 16  Eingesetzt in g erhält man den Schnittpunkt S  | |  .  9 9 9  (3) Die Gerade g schneidet die Ebene H genau dann senkrecht, wenn ein Richtungsvektor von g zu zwei nicht-kollinearen Richtungsvektoren von H senkrecht steht.  1  1  ist z. B. ein Richtungsvektor von g. Da    4    1 0  1   2   1    4   0 und  1    2   0 ist,          4  1   4  1          schneidet g die Ebene H senkrecht. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 7 (4) Da die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet, gilt für die Höhe der Pyramide LMND:  14 / 9    14  14 h  SD   14 / 9    18   2 [LE] . 9 3  56 / 9    Für das Volumen der Pyramide LMND folgt mit a) (3): VPyramide 1 1 14 224 2  ALMN  h   24 2   74,6 [VE]. 3 3 3 3 Teilaufgabe c) (1) T ( x1 | x2 | x3 ) ist genau dann der Schnittpunkt der x3-Achse mit der Ebene H, wenn x1  x2  4 x3  12  x1  0  x2  0 gilt. Es folgt: T (0 | 0 | 3) . (2) x3 G F N D E T O C x2 M L A x1 B Abbildung [Hinweis: In Aufgabenteil c) (2) ist auch eine „rein“ grafische Lösung mit Parallelen vorstellbar.]  8  0  0  8             (3) Aus LM   8  , MN   0  (siehe auch a) (1), NT   8  und TL   0  folgt,  2  2  2  2         dass alle Seiten des Schnittgebildes gleich lang sind. Da außerdem die Punkte L, M, N und T in einer Ebene [H] liegen, ist das Schnittgebilde eine Raute. (4) Setzt man die Koordinaten von D in die „linke Seite“ der Koordinatengleichung von H ein, so erhält man 40 (>12). Ein Punkt U (u | v | w ) liegt genau dann auf derselben Seite der Ebene H (im selben Halbraum wie D), wenn ebenfalls u  v  4 w  12 ist. Da 2,5  1  4  2,75  12,5  12 ist, liegt auch Q auf derselben Seite von H wie D. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 5 von 7 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. 4 2 (2) zeigt, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. 4 3 (3) bestimmt den Flächeninhalt des Dreiecks LMN. 5 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 13 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) ermittelt eine Parametergleichung der Ebene H. 3 2 (1) ermittelt eine Koordinatengleichung der Ebene H. 4 3 (2) bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g und der Ebene H. 7 4 (3) zeigt, dass die Gerade g die Ebene H senkrecht schneidet. 5 5 (4) bestimmt das Volumen der Pyramide LMND. 5 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (24) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 24 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) bestimmt den Schnittpunkt T der Ebene H mit der x3-Achse. 3 2 (2) skizziert in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene H mit dem Würfel bildet. 3 3 (3) zeigt, dass das geometrische Schnittgebilde eine Raute ist. 3 4 (4) beschreibt eine Vorgehensweise, mit der er prüfen kann, ob der Punkt Q(2,5 | 1 | 2,75) auf derselben Seite der Ebene H wie der Punkt D liegt. 4 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 13 Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 Punktzahl der gesamten Prüfungsleistung 100 EK ZK DK aus der Punktsumme resultierende Note gemäß nachfolgender Tabelle Note ggf. unter Absenkung um bis zu zwei Notenpunkte gemäß § 13 Abs. 2 APO-GOSt Paraphe Berechnung der Endnote nach Anlage 4 der Abiturverfügung auf der Grundlage von § 34 APO-GOSt Die Klausur wird abschließend mit der Note ________________________ (____ Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum: Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 3 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus 15 100 – 95 sehr gut 14 94 – 90 sehr gut minus 13 89 – 85 gut plus 12 84 – 80 gut 11 79 – 75 gut minus 10 74 – 70 befriedigend plus 9 69 – 65 befriedigend 8 64 – 60 befriedigend minus 7 59 – 55 ausreichend plus 6 54 – 50 ausreichend 5 49 – 45 ausreichend minus 4 44 – 40 mangelhaft plus 3 39 – 34 mangelhaft 2 33 – 27 mangelhaft minus 1 26 – 20 ungenügend 0 19 – 0 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Biologen wollen die Entwicklung einer Mäusebussardpopulation in einem Untersuchungs- gebiet durch eine Matrix beschreiben. Dabei werden (auch in der gesamten folgenden Auf- gabe) ausschließlich die weiblichen Tiere der Population betrachtet. Die Bussardpopulation besteht aus Küken (k), Jungvögeln (j), die noch nicht geschlechtsreif sind, und Altvögeln (a), die fortpflanzungsfähig sind. Die Küken entwickeln sich im Jahr nach dem Schlüpfen zu Jungvögeln und nach einem weiteren Jahr zu Altvögeln. Nach Beobachtungen des Bestandes der Bussarde wurde vor ca. 25 Jahren zur Modellierung der Populationsentwicklung die Matrix von : k j a nach : k j a 0 0,6   0   A   0,5 0 0   0 0,7 0,79    erstellt. a) (1) Stellen Sie die Entwicklung der Bussardpopulation nach dem vorgeschlagenen Modell durch einen Übergangsgraphen dar und interpretieren Sie die Bedeutung der Matrix- einträge 0,6 und 0,79 im Sachzusammenhang. (2) Zur Simulation der Entwicklung der Population wurde von einem Bestand von 30 Küken, 30 Jungvögeln und 30 Altvögeln ausgegangen. Berechnen Sie die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Population für das nächste und das übernächste Jahr. (3) Berechnen Sie den Anteil der gerade geschlüpften Küken, die bei einer Modellierung mit der Matrix A drei Jahre später noch leben. (8 + 4 + 3 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ b) In einem Jahr wurden 60 Küken, 20 Jungvögel und 100 Altvögel im Beobachtungsgebiet gezählt. Ermitteln Sie die Anzahlen an Küken, Jungvögeln und Altvögeln im Beobachtungsgebiet im Jahr zuvor, wenn die angegebene Modellierung der Populationsentwicklung durch die Matrix A vorausgesetzt wird. (5 Punkte)  x  x     c) (1) Bestimmen Sie x und y so, dass A   9   y   9  gilt.  30   30      [Zur Kontrolle: x  18 und y  1 .] (2) Interpretieren Sie den Sachverhalt aus c) (1) im Kontext. (6 + 3 Punkte) Veränderte Umweltbedingungen führen heute dazu, dass zur Modellierung jetzt die Matrix B gewählt wird: 0 0,7   0   B   0,6 0 0 .  0 0,75 0,8    d) (1) Vergleichen Sie die Matrizen A und B im Sachzusammenhang.  0,315  3 Es ist B   0  0,36  0,42 0,448   0,315 0,336  .  0,48 0,827  (2) Für eine Population wird vorausgesetzt, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln übereinstimmen. Eine Forschungs- gruppe behauptet, dass in diesem Fall die Gesamtzahl der Tiere nach der Modellierung in einem Zeitraum von 3 Jahren um 20 % zunimmt. Beurteilen Sie die Aussage. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ (3) Untersuchen Sie, bei welcher Überlebensrate u der Altvögel in der Matrix 0 0,7   0   Bu   0,6 0 0  es nach der Modellierung eine von  0 0,75 u    0  0  verschiedene   0   Verteilung auf die drei Entwicklungsstufen der Bussardpopulation gibt, die im folgenden Jahr wieder zu derselben Verteilung führt. Zurzeit lebt in einem Beobachtungsgebiet eine Population, bei der sich die Anzahlen von Küken, Jungvögeln und Altvögeln von Jahr zu Jahr nicht verändern. In der Population leben 50 Altvögel. (4) Bestimmen Sie die Anzahlen von Küken und Jungvögeln, wenn zur Modellierung der Population die Matrix B0,685 0 0,7   0     0,6 0 0  gewählt wird.  0 0,75 0,685    (3 + 7 + 7 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 (GG) Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Matrizenrechnung 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2016 1. Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Algebra/Analytische Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Matrizenrechnung  Übergangsmatrizen  Matrizenmultiplikation als Verkettung von Übergängen 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 8 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) Übergangsgraph: 0 k 0,5 0 0 0,6 0 j 0 a 0,7 0,79 Der Matrixeintrag 0,6 gibt die durchschnittliche Anzahl von weiblichen Bussardküken an, die von einem Bussardweibchen pro Jahr ausgebrütet werden. Der Matrixeintrag 0,79 gibt den Anteil von (weiblichen) Altvögeln an, die das nächste Lebensjahr erreichen.   (2) Berechnung der Verteilungsvektoren v1 und v2 für das nächste und das übernächste Jahr: 0 0, 6   30   18   18   30   0            v1  A   30    0, 5 0 0    30    15    15  ,  30   0 0, 7 0, 79   30   44, 7   45            0 0, 6   18   27   27   18   0            v2  A   15    0, 5 0 0    15    9    9  .  45   0 0, 7 0, 79   45   46, 05   46            Nach dem Modell wird nach einem Jahr ein Bestand von 18 Küken, 15 Jungvögeln und 45 Altvögeln und nach zwei Jahren ein Bestand von 27 Küken, 9 Jungvögeln und 46 Altvögeln erreicht. (3) Anteil  0,5  0,7  0,79  0,2765 . Knapp 28 % der Küken leben drei Jahre später noch. Nur für den Dienstgebrauch!