M GK HT 5 (GG) Seite 2 von 7 Name: _______________________ (1) Erstellen Sie zu dem gegebenen Sachverhalt eine geeignete Darstellung (z. B. Baumdiagramm, Vierfeldertafel etc.). (2) Der Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, kann mit Hilfe des Terms 0, 3  (1  h)  0, 7 h beschrieben werden. Erklären Sie die einzelnen Bestandteile des Terms. (3) Berechnen Sie den Anteil aller Jugendlichen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, wenn der Anteil der Jugendlichen, die genau eines dieser Netzwerke nutzen, bei 0,4 liegt. Im Folgenden sei h  0, 25 . (4) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person mindestens eines der beiden Netzwerke nutzt. (5) Eine zufällig ausgewählte jugendliche Person nutzt das schulinterne Netzwerk. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Freundschaftsbuch“ nicht nutzt. (4 + 3 + 3 + 4 + 3 Punkte) d) Die Schülervertretung möchte, dass der Nutzungsgrad des schulinternen Netzwerks ver- bessert wird. Dazu soll mit Aktionen das schulinterne Netzwerk bekannter gemacht werden. Nach einem Jahr möchte die Schülervertretung die Vermutung überprüfen, dass der Nut- zungsgrad von vormals 25 % gestiegen ist, und möchte dazu 50 zufällig ausgewählte Jugendliche der Schule befragen. (1) Geben Sie eine geeignete Nullhypothese an und ermitteln Sie eine passende Ent- scheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von   0, 05. (2) Bei der Befragung kommt heraus, dass 19 Jugendliche das schulinterne Netzwerk nutzen. Beurteilen Sie die Situation aus Sicht der Schülervertretung. (3) Beschreiben Sie den Fehler 1. Art im Sachzusammenhang. (4) Beschreiben Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens für den Fall, dass der Nutzungsgrad in Wirk- lichkeit bei 40 % liegt. (8 + 2 + 2 + 5 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 (GG) Seite 3 von 7 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Tabelle 1: σ-Regeln für Binomialverteilungen Eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert   n  p und die Standardabweichung   n  p  (1  p) . Wenn die LAPLACE-Bedingung   3 erfüllt ist, gelten die σ-Regeln: P(   1,64  X    1,64 )  0,90 P(   1, 96  X    1, 96 )  0, 95 P(   2,58  X    2,58 )  0,99 P(   1  X    1 )  0,683 P(   2  X    2 )  0,954 P(   3  X    3 )  0, 997 P(   1,64  X )  0,95 P( X    1,64 )  0,95 P(   1, 96  X )  0, 975 P( X    1, 96 )  0, 975 P(   2,58  X )  0, 995 P( X    2,58 )  0,995 P(   1  X )  0,841 P( X    1 )  0,841 P(   2  X )  0,977 P( X    2 )  0, 977 P(   3  X )  0, 999 P( X    3 )  0, 999 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 (GG) Seite 4 von 7 Name: _______________________ Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 10 und n = 20 n 0 n k n0 F ( n; p; k )  B  n; p;0   ...  B  n; p; k     p 1  p   ...    p 1  0 k  p n k 0,02 0,05 0,08 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0 0,8171 0,5987 0,4344 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 1 0,9838 0,9139 0,8121 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 2 0,9991 0,9885 0,9599 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 3 0,9990 0,9942 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 10 4 0,9999 0,9994 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 5 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 6 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 7 0,9999 0,9996 0,9984 8 0,9999 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 9 0 0,6676 0,3585 0,1887 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 1 0,9401 0,7358 0,5169 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 2 0,9929 0,9245 0,7879 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 3 0,9994 0,9841 0,9294 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 4 0,9974 0,9817 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 5 0,9997 0,9962 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 6 0,9994 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 7 0,9999 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 20 8 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 9 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 10 0,9994 0,9961 0,9829 11 0,9999 0,9991 0,9949 12 0,9998 0,9987 13 0,9997 14 15 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 16 17 n 0,98 0,95 0,92 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 p p 0,5 0,0010 0,0107 0,0547 0,1719 0,3770 0,6230 0,8281 0,9453 0,9893 0,9990 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0059 0,0207 0,0577 0,1316 0,2517 0,4119 0,5881 0,7483 0,8684 0,9423 0,9793 0,9941 0,9987 0,9998 0,5 Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. p  0,5 , gilt: F (n; p; k )  1  abgelesener Wert Nur für den Dienstgebrauch! nk n 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 k 10 20 n

M GK HT 5 (GG) Seite 5 von 7 Name: _______________________ Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilungen für n = 50 F ( n; p; k )  B  n; p; 0   ...  B  n; p; k  n 50 n k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 0,05 0.0769 0.2794 0.5405 0.7604 0.8964 0.9622 0.9882 0.9968 0.9992 0.9998 0,07 0.0266 0.1265 0.3108 0.5327 0.729 0.865 0.9417 0.978 0.9927 0.9978 0.9994 0.9999 0,1 0.0052 0.0338 0.1117 0.2503 0.4312 0.6161 0.7702 0.8779 0.9421 0.9755 0.9906 0.9968 0.999 0.9997 0.9999 n 0 n k n0 nk    p  1  p   ...    p  1  p  0 k 0,15 0.0003 0.0029 0.0142 0.046 0.1121 0.2194 0.3613 0.5188 0.6681 0.7911 0.8801 0.9372 0.9699 0.9868 0.9947 0.9981 0.9993 0.9998 0.9999 1/6 0.0001 0.0012 0.0066 0.0238 0.0643 0.1388 0.2506 0.3911 0.5421 0.683 0.7986 0.8827 0.9373 0.9693 0.9862 0.9943 0.9978 0.9992 0.9997 0.9999 p 0,2 0,0000 0.0002 0.0013 0.0057 0.0185 0.048 0.1034 0.1904 0.3073 0.4437 0.5836 0.7107 0.8139 0.8894 0.9393 0.9692 0.9856 0.9937 0.9975 0.9991 0.9997 0.9999 0,25 0,0000 0,0000 0.0001 0.0005 0.0021 0.007 0.0194 0.0453 0.0916 0.1637 0.2622 0.3816 0.511 0.637 0.7481 0.8369 0.9017 0.9449 0.9713 0.9861 0.9937 0.9974 0.999 0.9996 0.9999 0,27 0,0000 0,0000 0,0000 0.0002 0.0008 0.003 0.0089 0.0228 0.0503 0.0979 0.1701 0.2671 0.3837 0.5099 0.6331 0.7425 0.8311 0.8966 0.941 0.9686 0.9845 0.9929 0.9969 0.9988 0.9996 0.9998 0,3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0.0002 0.0007 0.0025 0.0073 0.0183 0.0402 0.0789 0.139 0.2229 0.3279 0.4468 0.5692 0.6839 0.7822 0.8594 0.9152 0.9522 0.9749 0.9877 0.9944 0.9976 0.9991 0.9997 0.9999 1/3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0.0001 0.0005 0.0017 0.005 0.0127 0.0284 0.057 0.1035 0.1715 0.2612 0.369 0.4868 0.6046 0.7126 0.8036 0.8741 0.9244 0.9576 0.9778 0.9892 0.9951 0.9979 0.9992 0.9997 0.9999 0,73 0,7 2/3 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 0,95 0,93 0,9 0,85 5/6 0,8 p 0,75 Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. p  0, 5 , gilt: F ( n; p; k )  1  abgelesener Wert Nur für den Dienstgebrauch! 0,4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0.0001 0.0002 0.0008 0.0022 0.0057 0.0133 0.028 0.054 0.0955 0.1561 0.2369 0.3356 0.4465 0.561 0.6701 0.766 0.8438 0.9022 0.9427 0.9686 0.984 0.9924 0.9966 0.9986 0.9995 0.9998 0.9999 0,6 n 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 k 50 n

M GK HT 5 (GG) Seite 6 von 7 Name: _______________________ Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilungen für n = 100 F ( n; p; k )  B  n; p; 0   ...  B  n; p; k  n 100 n k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 0,05 0,0059 0,0371 0,1183 0,2578 0,4360 0,6160 0,7660 0,8720 0,9369 0,9718 0,9885 0,9957 0,9985 0,9995 0,9999 0,07 0,0007 0,0060 0,0258 0,0744 0,1632 0,2914 0,4443 0,5988 0,7340 0,8380 0,9092 0,9531 0,9776 0,9901 0,9959 0,9984 0,9994 0,9998 0,9999 0,1 0,0000 0,0003 0,0019 0,0078 0,0237 0,0576 0,1172 0,2061 0,3209 0,4513 0,5832 0,7030 0,8018 0,8761 0,9274 0,9601 0,9794 0,9900 0,9954 0,9980 0,9992 0,9997 0,9999 n 0 n k n0 nk    p  1  p   ...    p  1  p  0 k 0,15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0047 0,0122 0,0275 0,0551 0,0994 0,1635 0,2473 0,3474 0,4572 0,5683 0,6725 0,7633 0,8372 0,8935 0,9337 0,9607 0,9779 0,9881 0,9939 0,9970 0,9986 0,9994 0,9997 0,9999 1/6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0038 0,0095 0,0213 0,0427 0,0777 0,1297 0,2000 0,2874 0,3877 0,4942 0,5994 0,6965 0,7803 0,8481 0,8998 0,9369 0,9621 0,9783 0,9881 0,9938 0,9969 0,9985 0,9993 0,9997 0,9999 p 0,2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0009 0,0023 0,0057 0,0126 0,0253 0,0469 0,0804 0,1285 0,1923 0,2712 0,3621 0,4602 0,5595 0,6540 0,7389 0,8109 0,8686 0,9125 0,9442 0,9658 0,9800 0,9888 0,9939 0,9969 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 0,25 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0010 0,0025 0,0054 0,0111 0,0211 0,0376 0,0630 0,0995 0,1488 0,2114 0,2864 0,3711 0,4617 0,5535 0,6417 0,7224 0,7925 0,8505 0,8962 0,9307 0,9554 0,9724 0,9836 0,9906 0,9948 0,9973 0,9986 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 0,27 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0014 0,0033 0,0068 0,0133 0,0243 0,0420 0,0684 0,1057 0,1552 0,2172 0,2909 0,3737 0,4620 0,5516 0,6379 0,7172 0,7866 0,8446 0,8909 0,9261 0,9518 0,9697 0,9817 0,9893 0,9940 0,9968 0,9983 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0010 0,0022 0,0045 0,0089 0,0165 0,0288 0,0479 0,0755 0,1136 0,1631 0,2244 0,2964 0,3768 0,4623 0,5491 0,6331 0,7107 0,7793 0,8371 0,8839 0,9201 0,9470 0,9660 0,9790 0,9875 0,9928 0,9960 0,9979 0,9989 0,9995 0,9997 0,9999 0,9999 1/3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0005 0,0011 0,0024 0,0048 0,0091 0,0164 0,0281 0,0458 0,0715 0,1066 0,1524 0,2093 0,2766 0,3525 0,4344 0,5188 0,6019 0,6803 0,7511 0,8123 0,8630 0,9034 0,9341 0,9566 0,9724 0,9831 0,9900 0,9943 0,9969 0,9983 0,9991 0,9996 0,9998 0,9999 0,73 0,7 2/3 Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 0,95 0,93 0,9 0,85 5/6 0,8 p 0,75 Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. p  0, 5 , gilt: F ( n; p; k )  1  abgelesener Wert Nur für den Dienstgebrauch! 0,4 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0006 0,0012 0,0024 0,0046 0,0084 0,0148 0,0248 0,0398 0,0615 0,0913 0,1303 0,1795 0,2386 0,3068 0,3822 0,4621 0,5433 0,6225 0,6967 0,7635 0,8211 0,8689 0,9070 0,9362 0,9577 0,9729 0,9832 0,9900 0,9942 0,9968 0,6 n 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 k 100 n

M GK HT 5 (GG) Seite 7 von 7 Name: _______________________ Tabelle 5: Normalverteilung   z   0,...  z   1    z  z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 0 5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 9981 9987 9990 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 1 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 9991 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 2 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 9991 9994 9995 9997 9998 9999 9999 9999 3 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 9991 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 4 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7704 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 5 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9989 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 6 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9989 9992 9994 9996 9997 9998 9999 9999 9999 7 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9989 9992 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 Beispiele für den Gebrauch:   2,32   0,9898   0,9   1    0,9   0,1841   z   0,994  z  2,51 Nur für den Dienstgebrauch! 8 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 9 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 9993 9995 9997 9998 9998 9999 9999 9999

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 (GG) Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2016 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Stochastik 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2016 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit  Binomialverteilung einschließlich Erwartungswert und Standardabweichung  Ein- und zweiseitiger Hypothesentest 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 (GG) Seite 2 von 9 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) Die Zufallsgröße X: „Anzahl der ausgewählten Jugendlichen, die „Freundschaftsbuch“ nutzen“ kann als binomialverteilt angenommen werden mit p  0,3 und n  100 . (1) P( X  33)  0, 069 . (2) P ( X  25)  0,163 . (3) Da der Erwartungwert   100  0,3  30 ist, wird die Wahrscheinlichkeit für 25  X  35 gesucht. Es ist P (25  X  35)  P( X  35)  P( X  24)  0,884  0,114  0, 770 . Teilaufgabe b) Die Zufallsgröße X: „Anzahl der ausgewählten Jugendlichen, die „Freundschaftsbuch“ nutzen“ kann weiterhin als binomialverteilt angenommen werden mit p  0,3 und unbekanntem n. Dann ist n so zu bestimmen, dass P ( X  1)  0,99 gilt: P ( X  1)  0,99  1  P( X  0)  0,99  P( X  0)  0, 01  0, 7  0, 01  n  12,91. n Es müssen also mindestens 13 Jugendliche ausgewählt werden. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 5 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 9 Teilaufgabe c) (1) h nutzt das schulinterne Netzwerk nutzt „Freundschaftsbuch“ 0,3 0,7 1-h nutzt das schulinterne Netzwerk nicht h nutzt das schulinterne Netzwerk nutzt kein „Freundschaftsbuch“ 1-h nutzt das schulinterne Netzwerk nicht oder Eine jugendliche Person „Freundschaftsbuch“ nutzt … das schulinterne Netzwerk 0,3h das schulinterne Netzwerk 0,3(1-h) nicht Summe 0,3 „Freundschaftsbuch“ nicht 0,7h 0,7(1-h) Summe 0,7 1 h 1-h (2) Den Anteil derjenigen, die „Freundschaftsbuch“ nutzen, aber nicht das schulinterne Netzwerk, kann man mit Hilfe des Terms 0,3  (1  h) angeben (Pfadregel). Der Anteil derjenigen, die „Freundschaftsbuch“ nicht nutzen, dafür aber das schulinterne Netzwerk, kann mit Hilfe des Terms 0, 7h angegeben werden (Pfadregel). Damit ist der Anteil derjenigen, die genau eines der beiden Netzwerke nutzen, die Summe der beiden Terme. (3) Es ist also 0,3  (1  h)  0, 7h  0, 4  h  0, 25 . (4) Es ist P(" nutzt mindestens eines der beiden Netzwerke ")  P(" nutzt genau eines der beiden Netzwerke ")  P(" nutzt beide Netzwerke ")  0, 4  0,075  0, 475. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 5 (GG) Seite 4 von 9 (5) Der Anteil derjenigen, die das schulinterne Netzwerk nutzen, beträgt h  0, 25 , während der Anteil derjenigen, die das schulinterne Netzwerk, nicht aber „Freundschaftsbuch“ nutzen, bei 0, 7 h  0,175 liegt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte jugendliche Person, die das schulinterne Netzwerk nutzt, „Freundschafts- buch“ nicht nutzt: 0, 7 h 0,175 Pnutzt das schulinterne Netzwerk (" nutzt Freundschaftsbuch nicht ")    0, 7. h 0, 25 [Eine Argumentation mit der stochastischen Unabhängigkeit ist ebenfalls denkbar.] Teilaufgabe d) (1) Mit der Wahl von H 0 : p  0, 25 als Nullhypothese kann die Vermutung entsprechend überprüft werden. Dabei kann die Zufallsgröße X: „Anzahl der Nutzer des schulinter- nen Netzwerks“ als binomialverteilt angenommen werden. Bei Verwendung der Tabelle oder eines geeigneten Taschenrechners erhält man Pp 0,25 (18  X )  1  Pp 0,25 ( X  17)  0, 055  0, 05 und Pp 0,25 (19  X )  1  Pp 0,25 ( X  18)  0, 029  0, 05 . Als Entscheidungsregel ergibt sich in diesem Fall: Verwirf die Nullhypothese, falls X  19 , also 19 oder mehr Jugendliche der Umfrage das schulinterne Netzwerk nutzen. [Alternative: Es ist   50  0, 25  12,5 und   50  0, 25  0, 75  3, 062  3 , womit die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Es gilt also P ( X    1, 64 )  0,95 . Als Grenze ergibt sich   1, 64  12,5  1, 64  3, 062  17,522 und somit lautet die Entscheidungsregel: Verwirf die Nullhypothese, falls X  18 , also 18 oder mehr Jugendliche der Umfrage das schulinterne Netzwerk nutzen. (Diese Lösung wird ebenfalls akzeptiert, obwohl in diesem Fall das Signifikanzniveau nicht eingehalten wird.)] (2) Im Fall X  19 ist die Nullhypothese zu verwerfen. Die Schülervertretung bewertet ihre Aktionen also als gelungen. Nur für den Dienstgebrauch!