M LK HT 4 (GG) Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2016 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O( 0 | 0 | 0 ) , A( 8 | 0 | 0 ) , B( 8 | 8 | 0 ) , C(0 | 8 | 0) , D( 8 | 0 | 8 ) , E( 8 | 8 | 8 ) , F( 0 | 8 | 8 ) und G( 0 | 0 | 8 ) Eckpunkte eines Würfels OABCDEFG . Außerdem sind die Punkte L(8 | 0 | 1) , M (8 | 8 | 3) und N (0 | 8 | 5) gegeben (siehe Abbildung). x3 G F N D E O C M L A x1 B Abbildung Nur für den Dienstgebrauch! x2

M LK HT 4 (GG) Seite 2 von 3 Name: _______________________ a) (1) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. (2) Zeigen Sie, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. (3) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks LMN. [Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des Dreiecks LMN beträgt 24  2 [FE].] (4 + 4 + 5 Punkte) b) (1) Ermitteln Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene H, die die Punkte L, M und N enthält. [Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: H : x1  x2  4 x3  12 .] (2) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide LMND. [Zur Kontrolle: Das Volumen der Pyramide LMND beträgt 74,6 [VE].] (3) Berechnen Sie, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen ein- nimmt. (7 + 6 + 3 Punkte) c) (1) Skizzieren Sie in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene H mit dem Würfel bildet. Das Schnittgebilde von Ebene und Würfel ist eine Raute. (2) Untersuchen Sie, ob der Punkt S(2 | 6 | 4) in der Raute liegt. (3) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf der Geraden AB gibt, der von dem Punkt S den Abstand 7 [LE] besitzt. (3 + 3 + 7 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 (GG) Seite 3 von 3 Name: _______________________ d) Es gibt genau eine Gerade k durch M, die die Geraden LN und GF (außerhalb des Würfels) schneidet. (1) Begründen Sie, dass die Gerade k in der Ebene H liegt. (2) Bestimmen Sie die Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden k. (4 + 4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 (GG) Seite 1 von 9 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2016 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Analytische Geometrie Vektorielle Geometrie 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2016 1. Inhaltliche Schwerpunkte Vektorielle Geometrie  Lineare Gleichungssysteme für n > 2, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme  Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Parameterformen von Geraden- und Ebenen- gleichungen  Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität, Winkel und Länge von Vektoren  Normalenformen von Ebenengleichungen  Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen  Abstandsprobleme 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 (GG) Seite 2 von 9 6. Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) 0  8          (1) Aus LM   8  und MN   0  folgt, dass LM  MN  68  2 17  8,25 [LE]  2  2     ist. Daher ist das Dreieck LMN gleichschenklig. (2) Da LM  MN ist, kann im Dreieck LMN ein rechter Winkel höchstens im Punkt M sein.  0   8        Da LM  MN   8    0   4  0 gilt, ist das Dreieck LMN nicht rechtwinklig. 2  2     (3) Der Punkt R(4 | 4 | 3) ist der Mittelpunkt der Strecke LN . Da das Dreieck LMN gleichschenklig ist, gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ALMN 1   LN  RM . 2  8  4        Aus LN   8  und RM   4  folgt, dass LN  144  12 [LE] und  4 0      RM  32  4 2 [LE] ist. ALMN 1   12  4 2  24 2  33,94 [FE]. 2 Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 9 Teilaufgabe b) (1) Für eine Gleichung der Ebene H in Parameterform ergibt sich: 8 0  8            H : x  OL  r *  LM  s *  LN   0   r *   8   s *   8  . 1 2  4       8 0  2         Es folgt: H : x   0   r   4   s   2  ( r*, s*, r , s  IR ) 1 1   1       x1  8 bzw. x2   2s x1  8 4 r  2 s  x 2  4 x3   4 x3  1  r  s x3  2s x1  x2  4 x3  12  2 s  x2  4 x3  1 r s x3  4  1 r s Es ergibt sich als mögliche Koordinatenform: H : x1  x2  4 x3  12 . (2) Für das Volumen der Pyramide LMND gilt: 1 V   ALMN  d( D, H ) . 3 8  4  8  12 x1  x2  4 x3  12 28  0  d ( D, H )   HNF von H : 18 18 18 1 28 224   74,6 [VE] (siehe a) (3)).  V   24  2  3 3 18 VTetraeder 74, 6  3  0,1458...  14,6 % . (3) VWürfel 8 Nur für den Dienstgebrauch!  2s .

M LK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 9 Teilaufgabe c) (1) x3 G F N D E T O x2 C M L A x1 B Abbildung [Der Schnittpunkt T der x3-Achse mit der Ebene H ist T (0 | 0 | 3) .] [Hinweis: In Aufgabenteil c) (1) ist auch eine „rein“ grafische Lösung mit Parallelen vorstellbar.] (2) Da alle Koordinaten von S zwischen 0 und 8 liegen, muss S im Würfel liegen. Da außerdem die Koordinaten von S die Koordinatengleichung von H erfüllen ( 2  6  16  12 ), liegt der Punkt S in der Raute. 0    (3) Ein Richtungsvektor der Geraden h durch A und B ist ah   1  . Eine mögliche 0   8 0      Gleichung der Geraden h lautet: h : x   0   t   1  ( t  IR). U t (8 | t | 0) (t  IR ) ist ein 0 0     beliebiger Punkt auf h. Es ist d( S,U t )  36  (t  6)  16 . 2 36  (t  6)  16  7  (t  6)  3 ( t  IR ). 2 2 Da ein Quadrat [in IR ] keine negativen Werte annehmen kann, ist die Lösungsmenge der letzten Gleichung leer. Es folgt, dass damit auch die Lösungsmenge der Ausgangs- gleichung leer ist. Deswegen gibt es keinen Punkt der Geraden h, der von S den Ab- stand 7 [LE] besitzt. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 (GG) Seite 5 von 9 Teilaufgabe d) (1) Da die gesuchte Gerade k den Punkt M enthält und die Gerade LN schneidet, liegt sie in der Ebene, die durch M und die Gerade LN bestimmt ist. Nach b) (1) ist H diese Ebene. (2) Ein zweiter Punkt der Geraden k ist z. B. der Schnittpunkt W von H und GF . Es ist 0 0      GF : x   0   t   1  ( t  IR ). Wt (0 | t | 8) (t  IR ) ist ein beliebiger Punkt auf der 8 0     Geraden GF. Wt ist genau dann Schnittpunkt von GF und H, wenn gilt: t  4  8  12  t  20 . Eingesetzt in GF erhält man den Schnittpunkt W  0 | 20 | 8  . Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 9 7. Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass das Dreieck LMN gleichschenklig ist. 4 2 (2) zeigt, dass das Dreieck LMN nicht rechtwinklig ist. 4 3 (3) bestimmt den Flächeninhalt des Dreiecks LMN. 5 EK 2 ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 13 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) ermittelt eine Parametergleichung der Ebene H. 3 2 (1) ermittelt eine Koordinatengleichung der Ebene H. 4 3 (2) bestimmt das Volumen der Pyramide LMND. 6 4 (3) berechnet, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt. 3 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (16) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 2 16 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M LK HT 4 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 9 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) skizziert in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene H mit dem Würfel bildet. 3 2 (2) untersucht, ob der Punkt S(2 | 6 | 4) in der Raute liegt. 3 3 (3) untersucht, ob es einen Punkt auf der Geraden AB gibt, der von dem Punkt S den Abstand 7 [LE] besitzt. 7 EK ZK DK Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (13) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe c) 13 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) begründet, dass die Gerade k in der Ebene H liegt. 4 2 (2) bestimmt die Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden k. 4 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (8) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe d) 8 Summe insgesamt 50 Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK