Der Prüfling ...

entscheidet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

b1)
ergänzt die feh-
lenden Angaben
und

b2)

skizziert den Ver-
lauf der Ablei-
tungsfunktion f”.

c1)

gibt die Gleichung
der ersten Ablei-
tung von fan und

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo

tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.

Bemerkung:

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:
Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis.

I To Fran
sma | | x

f(x) = cos(x) — x sin(x)

 

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28. März 2018

(Abschnitt 1) Seite 1von 7

entscheidet, ob die

folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung

Ben wahr oder Die Aussage ist wahr.
falsch sind, und Der Graph der Funkti-
begründet die on gmit
Entscheidung. g(x) = sin(n-x)
ist identisch mit dem
Graphen der Funktion
h mit
h(x) = cos(m(x - 0,5)).

Die Periodenlänge sowohl von gals
auch von h istp = 2. Eine Sinusfunk-
tion kann auch durch eine Kosinus-
funktion dargestellt werden, indem
man sie entlang der Abszissenachse
verschiebt.

In diesem Fall muss der Graph vom
Funktionsterm cos(t x) noch um ein
Viertel der Periodenlänge nach rechts
verschoben werden, somit entsteht
h(x) = cos(n(x - 0,5)).

Die Aussage ist wahr.

Verantwortlich für die Wertemenge
einer Sinusfunktion sind die Amplitu-
de sowie die Verschiebung des Gra-
phen in Ordinatenrichtung.

Die Funktion k mit Bei k ist der Graph um eine LE in

k@&) =2°sin8-x)+1 | Ordinatenrichtung verschoben im

hat den Wertebereich | vergleich zur Funktion f(x) = sin(x).

W=[-1;3]. Die Amplitude beträgt a = 2, somit
befinden sich die Ordinatenwerte von
k zwischen

Ymin=1-2=-1 und
Ymax =1+2=3.

Damit gilt für die Wertemenge
W = [-1;3].

di)
entscheidet, ob die
Aussage wahr

a falsch ist, Der Punkt P, (1j0|1) liegt in der EbeneEE.. Bu
un

 

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Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite2 von 7

zu
1d

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo

d2)

entscheidet und
begründet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

el)

gibt eine Geraden-
gleichung für die
Gerade gan und

e2)

untersucht, ob die
Gerade g parallel
zur xy-Ebene ver-
läuft.

fl)

zeigt, dass es sich
bei dem von den
drei Punkten auf-
gespannten Drei-
eck nicht um ein
gleichseitiges
Dreieck handelt.

Es handelt sich bei dem Ausdruck um das
Skalarprodukt, das, sofern es Null wird,
immer auf eine orthogonale Lage der
beteiligten Vektoren schließen lässt. Da
dies hier gegeben ist, ist diese Aussage
wahr.

ist abzuleiten, dass
die Richtungs-
vektoren der Ebene
E, orthogonal
zueinander liegen.

Die Aussage ist falsch, da

1
Die beiden (6) - 7 =
Richungsvektoren 0

der Ebene E,weisen

die gleiche Länge 0
auf. i

FT = 5

ungleich ist.

0 4
J-0
3 3
4
0
0
Die Gerade g muss parallel zur xy-Ebene verlaufen, da die Punkte
P1 und P2 die gleiche z-Koordinaten aufweisen. Folglich muss die

Gerade auf der Höhe z = 3 verlaufen und ist damit parallel zur
xy-Ebene.

 

(Abschnitt 1)

28. März 2018
Seite3von 7

Aufgaben 1 und 2 Analytische Geometrie - gA Lösunge
BE Anforderungen Modelllösungen
zu | f2) f2)

 

bestimmt eine Bu 3 1 35
Gleichung der i 3)+0,5.|-2]=|2
Geraden, die —1 1.3

durch den Punkt A 1-33
und den Mittel- : DB

punkt der Strecke i—-13
BC verläuft. —2,5

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gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 4von 7

Aufgabe 2: Radiotherapie

| [Anforderungen | Modelllösungen FI

Der Prüfling

zeichnet die
Punkte ein und

erläutert die
Schwierigkeit,
Koordinaten von
Punkten aus ei-
nem dreidimen-
sionalen, kartesi-
schen Koordina-
tensystem abzu-
lesen.

ordnet den Be-
handlungsstrahl
einem der Line-
arbeschleuniger
zu und

prüft, ob der Be-
handlungsstrahl
durch diese Ge-
radengleichung
beschrieben
werden kann.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:
Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-
tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.
+ 426,30}0150)
+ 1t310}:50550) + —

| L1(30]0]50)

Durch die Darstellung in 3D auf einem 2D Medium werden Punkte
mit unterschiedlichen 3D-Koordinaten in der 2D-Darstellung an
der gleichen Position dargestellt. Folglich ist der Rückgriff von der
2D-Darstellung auf die Koordinaten in der 3D-Darstellung nicht
eindeutig möglich.

Der Ortsvektor des Ausgangs von Linearbeschleunigers 2 lautet
-30
ebenfalls OL = | 0) Folglich muss es der Linearbeschleuniger
50

2 sein.

Der Richtungsvektor des Behandlungsstrahles müsste sich aus der
Differenz der Ortsvektoren des Behandlungszieles und des Aus-
gangs von Linearbeschleuniger 2 ergeben:

,. f10\ /-30 40
25 50/ \-25

Der Richtungsvektor der Geraden g entspricht genau einem Fünftel
des Vektors BL; .

IE ı 40 8
—25 —5

Folglich kann der Behandlungsstrahl von Linearbeschleuniger 2
durch die Geradengleichung beschrieben werden.

 

28. März 2018

(Abschnitt 1) Seite 5 von 7

berechnet die
Länge des Be-
handlungsstrahls
bis zum Bestrah-
lungsziel.

beurteilt, ob die
Therapie als er-
folgs-
versprechend
eingeschätzt
werden kann.

prüft, ob diese
Voraussetzung
für den Linear-
beschleuniger 1
und den Linear-
beschleuniger 3
gegeben ist.

skizziert die
Grenzen des Ge-
fahrenbereiches
in der Abbildung.

prüft, ob der
Punkt A in der
Ebene E; liegt.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG nn... 28. März 2018° Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo

Betrag des Richtungsvektors des Behandlungsstrahlens des Line-
arbeschleunigers 2:

“Hs

Entnommen aus der Grafik:

Der Fokussierungsgrad liegt bei einem Abstand von 32 cm bei ca.
61%.

Da der Fokussierungsgrad des Behandlungsstrahls mit ca. 61 %
deutlich über dem Grenzwert von 50 % liegt, kann mit einem er-
folgreichen Therapieverlauf gerechnet werden. (61 % > 50%)

|LzB| = = 47,43 [cm]

Richtungsvektoren der Behandlungsstrahlen der Linearbeschleu-
niger:

10 30 —20
(2-2)
25 50 25
10 0 10
L,B= ( 5) - (- so) - ( 55)
25 50 25
Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Behandlungsstrahlen:
Gt)
25 25

cosa = AT
( s)|
25

10
G

25
a = 69,34° > 30°

Da der Schnittwinkel größer als 30° ist, ist keine Schädigung zu
erwarten.

x [cm],

200- 220-200-%0-160-140-120-100-80 -60 0 -20 © 0 60 © 100 120 140 180 1bo 200 2 20 240
-20

Ebene E, in Koordinatendarstellung:
E,:-y+z=200

Einsetzen von A in die Ebenengleichung:
—(-150) + 50 = 200

200 = 200

Damit liegt der Punkt A in der Ebene E..

 

(Abschnitt 1)

28. März 2018
Seite 6 von 7

z Anforderungen | Modelllösungen T—

ermittelt den
Schnittpunkt des
Behandlungs-
strahls des Line-
arbeschleunigers
1 mit dem Fuß-
boden und

prüft, ob eine
Gefährdung ge-
geben ist.

 

 

Geradengleichung des Behandlungsstrahls
(Linearbeschleuniger 1):

30 —20
2.8=(0)+u( ;)
50 —25

Schnittpunkt des Behandlungsstrahls (Linearbeschleuniger 1) mit
dem Fußboden:

ARE

x=-58 y=-22 u==

S(-58] 22] - 60)

Da die Koordinaten innerhalb des Gefahrenbereichs liegen, ist eine
Gefährdung ausgeschlossen.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018
gAHT 18L Al und A2 AnaGeo (Abschnitt 1) Seite 7von 7

Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - gA Lösungen

Aufgabe 1 mit Linearer Algebra:

FE Anforderungen Modelllösungen | BE |

Der Prüfling ...

entscheidet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

b1)
ergänzt die feh-
lenden Angaben
und

b2)

skizziert den Ver-
lauf der Ablei-
tungsfunktion f”.

c1)

gibt die Gleichung
der ersten Ablei-
tung von fan und

tisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen
werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet.

Bemerkung:

Bei Multiple-Choice-Aufgaben gilt der jeweils angegebene Hinweis.

D

Grundsätzlich gilt für jede Teilleistung:
Der gewählte Lösungsansatz und Lösungsweg müssen nicht iden-

I To Fran
sma | x

f(x) = cos(x) — x sin(x)

 

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Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018
gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - gA Lösungen
BE Anforderungen Modelllösungen | BE |
zu | c2) c2)

entscheidet, ob die

folgenden Aussa- Entscheidung und Begründung

gen wahr oder

falsch sind, und Der Graph der Funkti-
begründet die on gmit
Entscheidung. g(x) = sin(n-x)
ist identisch mit dem
Graphen der Funktion
h mit
h(x) = cos(m(x - 0,5)).

Die Funktion K mit
k(x) = 2-sin(3-x)+1
hat den Wertebereich

W=[-1;3].

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG

Die Aussage ist wahr.

Die Periodenlänge sowohl von gals
auch von h istp = 2. Eine Sinusfunk-
tion kann auch durch eine Kosinus-
funktion dargestellt werden, indem
man sie entlang der Abszissenachse
verschiebt.

In diesem Fall muss der Graph vom
Funktionsterm cos(t x) noch um ein
Viertel der Periodenlänge nach rechts
verschoben werden, somit entsteht
h(x) = cos(n(x - 0,5)).

Die Aussage ist wahr.

Verantwortlich für die Wertemenge
einer Sinusfunktion sind die Amplitu-
de sowie die Verschiebung des Gra-
phen in Ordinatenrichtung.

Bei k ist der Graph um eine LE in

Ordinatenrichtung verschoben im
Vergleich zur Funktion f(x) = sin(x).
Die Amplitude beträgt a = 2, somit
befinden sich die Ordinatenwerte von
k zwischen

Ymn=1-2=-1 und

Ymx=1+2=3.

Damit gilt für die Wertemenge
W = [-1;3].

 

28. März 2018

gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 2 von 6

Aufgaben 1 und 2 Lineare Algebra - Lösungen

 

entscheidet, ob die
Aussagen wahr
oder falsch sind.

Ist A eine Matrix vom Typ 2x3 und B eine Mat-
rix vom Typ 3x2, so ist A - Beine Matrix vom
Typ 2x2.

Seien A, B,C und X quadratische Matrizen vom
gleichen Typ.

Dann hat die Matrizengleichung

A-X-B = Cdie LösungX = A’!-B-!-C.

Wenn die Matrix A die Inverse zur Matrix B ist,
gilt: A-B=B-A.

1 2 _
3- (A 05) 2 G )=( Er „nd

untersucht, obes | Es muss gelten: A-B=E
reelle Zahlen für x

x: 2 0,2 0,4 10
und ygibt, so dass | also: C = ’ 55 y ) (og n
B diezuAinverse | gs folgt das Gleichungssystem:
Matrix ist. L 02x+16=1
ll. 0,8-0,8=0
II. 0,4x+2y=0
IV. 16-y=1
mit den Lösungenx = -3 und y = 0,6.
Für diese Zahlen ist B die inverse Matrix zu A.

fl)

zeichnet das zu-
gehörige
Materialver-
flechtungs-
diagramm und

Aus den Tabellen ergeben sich die Matrizen:

erstellt die zuge-
hörende Rohstoff- 33 3 3
Zwischenprodukt- |A= |% 2jundB= 2 1 3)
Matrix A und die ab

Zwischenprodukt-

Endprodukt-

Matrix B.

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Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 28. März 2018
gAHT 18LA1 und A2 LinAlg (Abschnitt 2) Seite 3 von 6