SH_M2008
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Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie Aufgabe 4 Der niederländische Architekt Blom entwarf Wohnungsbauprojekte mit kubusförmigen Häusern. Jedes einzelne Haus hat einen Wohnbereich in Form eines Würfels (siehe Foto). Der Würfel steht so auf einer Ecke, dass eine der Raumdiagonalen fast vertikal verläuft. In dieser Siedlung haben die Häuser gemeinsame Flächen; als Einzelhaus haben sie folgende Form: Die Eckpunkte des Würfels in einem kartesischen Koordinatensystem lauten A(01010),6(6-4J2 |0|8+392 ), C(610|8),D(3|-5|4), wobei eine Längeneinheit einem Meter entspricht. Runden Sie im Folgenden - falls nötig - alle Ergebnisse auf 2 Nachkommastellen. a) Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Hausfront ABCD zur Bodenebene. (3 P) b) Der Kubus hat drei Wohnebenen: Die untere Wohnebene hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks und liegt in einer Höhe von 2 m. Berechnen Sie die Länge der Fußleiste, die für diese Wohnebene nötig ist. (Zeigen Sie hierfür, dass die Koordinaten des Punktes E (-4./2 013,2 ) lauten.) (11 P) c) Im Inneren des Gebäudes wird im Punkt R(- 0,2|0]| 6,4) ein Router installiert, der eine Reichweite von 5m hat. e In der unteren Wohnebene soll ein Computer aufgestellt werden. Bestimmen Sie den Bereich auf der vorderen Fußbodenleiste in der unteren Wohnebene, der noch in der Reichweite des Routers liegt. MO8_AG4A4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 1 von 7
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie (Hinweis: Die vordere Fußbodenleiste liegt zwischen zwei Punkten A,(1,5|- 2,5|2) und B,(1,5|2,512).) e Der Router lässt sich vom Punkt R aus vertikal nach oben und nach unten verschieben. Bestimmen Sie die maximale Höhe (maximale x3-Komponente), in der der Router installiert werden muss, damit die gesamte vordere Fußleiste innerhalb der Reichweite liegt. (8P) d) Allgemein habe ein Würfel mit den Punkten A, Gund € die Kantenlänge a. Die Punkte haben die Koordinaten GG 13 Zeigen Sie, dass die Punkte B und D dann folgende Koordinaten haben: A(0|0|0), G(0|0|3-a) und C .al0l:al. v3) l[aavda fa -aa\ B\ 12 | [a | zZ |r D\ Pr = | 7 \v6 \v 3 6 v2 np (5 P) Vz \V> e) Ein weiteres, sehr eigenwilliges Hausprojekt finden wir im fhk- Forum der Fachhochschule Konstanz, Ausgabe 2004/2005, auf Seite 52 (siehe Abbildung unten).Die Wärmeverluste eines Hauses verhalten sich annähernd proportional zur Außenfläche des Hauses. Zeigen Sie, dass ein Kugelhaus bei gleichem Volumen einem Kubushaus mit der Kantenlänge a wärmetechnisch überlegen ist. (3 P) MO8_AG4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 2 von 7
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie Erwartete Leistung Bewertung @) |Der Neigungswinkel wird von den Vektoren AC und z. B. dem Einheitsvektor v , der in Richtung der x7-Achse zeigt, gebildet. 6 1 Mit AC =!| 0 [und 5 =! 0 | gilt dann 8 0 ACov 6 =—qa»53,°. c0OSO = —— lacı-il 10 Alternativer Lösungsweg! Man bestimmt die Normalenvektoren der Ebene Easn und der X7-X»- Ebene und berechnet den Winkel, der von beiden Normalenvektoren eingeschlossen wird. En sn ee an ann mn m 5 ne a nn MO8_AG4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 3 von 7
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie b) |Die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und D lautet 0 3 g :x=|0|+r1:|-5|. 0 4 Für die untere Wohnebene in 2 m Höhe muss die x;-Komponente 2 sein (Ebene Eo: x3 = 2). Daraus ergibt sich 2=0+4 > I=+. Somit ist A,(1,5 | —2,5 | 2) ein gesuchter Eckpunkt in der unteren Wohnebene. Den Schnittpunkt der Wohnebene mit der Gerade durch A und B erhält man durch Symmetrieüberlegungen: B; (1,5 | 2,5 | 2). Alternative: Analoge Rechnung. Aufgrund der Symmetrie ist die Strecke A,B, die Basis des gleichschenkligen Dreiecks A,B;E;. 0 Die Länge der Strecke A,B, ist 42, =|5|=5. 0 Der Schnittpunkt E, der unteren Wohnebene mit der Geraden durch A und E ergibt sich aus folgender Überlegung: Wegen der Kubusform sind die Vektoren CG und AE identisch. Daher gilt -4,/2 AE=CG=| 0 |unddies ergibt E(-4,/2|0| 3/2). ENP] Die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und E lautet 0 -4,/2 h:x=|0|+s-| 0 0 3./2 Da die die x3-Komponente wieder 2 sein muss, ergibt sich 2=0+3/2 s & Durch Einsetzen in den Geradenterm von h ergibt sich der Eckpunkt 8 Ei(-- |0]2). ı( 3 1012) MO8_AG4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 4 von 7
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie Für die Länge der Strecke A,E, ergibt sich -8/3 1,5 -25/6 AEl=| 0 |-|-25|=]| 25 |= A „486, 1-7] 18 0 2 2 2 2 Die Länge der Fußbodenleiste ist dann 1 = 2-4,86m +5m =14,72m. Alternativer Lösungsweg zur Bestimmung von A;: 0 ) Gleichung der unteren Wohnebene: E,,:!xX-10||.|0/=0. 0 Berechnung des Schnittpunkts von E, und g ergibt ebenfalls den Schnittpunkt A.. Alternativer Lösungsweg zur Bestimmung von Bi: Berechnung von B und anschließend analog wie bei der Bestimmung von A,. MO8_AG4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 5 von 7
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Analytische Geometrie c) |Die Kugel K mit dem Mittelpunkt R(-0,2|0|6,4) und dem Radius r = 5 beschreibt den Reichweitenbereich des Routers. Die Kugelgleichung lautet X : (x, + 0,2)’ +x,° +2, -6,4)° =5°. Um den Reichweitenbereich entlang der Fußbodenleiste zu ermitteln, müssen die Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden durch die Punkte A, und B; bestimmt werden. 1,5 0 &aB, :x=|-25|+r-|1|. 2 0 Einsetzen des Terms der Geradengleichung in die Kugelgleichung liefert (1,5 + 0,2)? +(-2,5+r)? +(2- 6,4)” =5° &17+25°-5r+r?+44°=2353 & r’-5r+35=0 &r=25+.,72,75 , also r x 0,8417 oder r x 4,1583 Daraus ergeben sich durch Einsetzen der Parameter in den Geradenterm folgende Schnittpunkte mit der Kugel: R,(1,5|-1,66|2) und R,(1,5|1,66 | 2). Die Strecke zwischen R; und R; stellt den Reichweitenbereich des Routers auf der vorderen Fußbodenleiste dar. Die maximale. Höhe entspricht der x>-Komponente des Kugelmittelpunktes R,,(-0,2 |0 | m) , der zu den Eckpunkten der vorderen m Fußleiste den Abstand 5m hat. Es gilt -0,2\ (+15 17 AR, -| o |-|-25|=! +25 |=,/(-1,7) +2,5° 4(m-2)° =5 m 2 m-—2 —>914+m?’-4m+4=25 & m’-4m-1186=0 und folglich m*5,98 oder m=-1,98. Aus Symmetriegründen erhält man die gleichen Lösungen für den Punkt B;. Die negative Lösung entfällt, da der Punkt außerhalb des Gebäudes liegt und die maximale Höhe gesucht war. ——————————————— MO8_AG4_N-A nur für Lehrkräfte Seite 6 von 7
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Schleswig-Holstein 2008
Leistungskurs Mathematik
Thema: Analytische Geometrie
4) | ma -4/0/4-a) ist die Mitte der Diagonalen AC.. Der Vektor DB ist
orthogonal zu dieser Diagonalen und zu CG und ist somit ein Vielfaches
0
des Vektors | 1 |.
0
Wegen mp] =7 „2 it
a
o\ | 0\ (a/y6
OB=0M +2.22.\1|=| 0 |+2-,72-|1|= a2 bzw.
? 0 a ° 0 a/\3
3
a
0 IT o\ ( a/./6
OD=0M-2..R-\ı\=| 0 |-2.22-1|=|-aff |.
2 a| 2
a I 0) | a3
3
Somit lauten die Koordinaten der Punkte B und D
Be I)
Tr RR)
Ausgehend von den Koordinaten eines Punktes lassen sich die
Koordinaten des anderen Punktes auch durch Symmetrieüberlegungen
auffinden.
e) |Das Kubushaus hat ein Volumen von a? bei einem Oberflächeninhalt von
6a?. Die volumengleiche Kugel hat wegen a’ = m .r’ einen Radius von
3
r=a3)—.
An
Das Kugelhaus hat daher einen Oberflächeninhalt von
2
o „2 3132 2 m ä
Kugel = AR: | 7- a” = 4,84 : a“. Dies entspricht etwa 81 % der
Kubusoberfläche. Aufgrund der kleineren Oberfläche hat das Kugelhaus
ca. 19 % weniger Wärmeverlust als das Kubushaus. (Oder: Das
Kubushaus hat ca. 24 % mehr Wärmeverlust als das Kugelhaus.)
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Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Stochastik Aufgabe 5 Um die Unfallgefahr zu verringern, ist in Deutschland die Benutzung eines Handys im Auto durch den Fahrer nur mit einer Freisprecheinrichtung erlaubt. Weil eine gut funktionierende Freisprecheinrichtung aber relativ teuer ist, telefonieren viele Fahrer trotzdem unerlaubt während der Fahrt mit dem Handy. Im Folgenden soll stets unter „Ein Fahrer telefoniert“ verstanden werden: Dieser Fahrer telefoniert während der Fahrt mit seinem Handy, ohne eine Freisprechanlage zu verwenden (er begeht also eine Ordnungswidrigkeit). Auf einer belebten Straße soll der Anteil p der Autofahrer untersucht werden, die zum Zeitpunkt einer Kontrolle telefonieren. Der Anteil p hängt von Ort und Zeitpunkt der Kontrolle ab. Dabei wird angenommen, dass die Fahrer sich in ihrem Telefonierverhalten gegenseitig nicht beeinflussen. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von einem konstanten p die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: A: Bei zehn nacheinander vorbeifahrenden Autos telefonieren nur die Fahrer des dritten und des fünften Autos. B: Bei zehn nacheinander vorbeifahrenden Autos telefonieren die Fahrer der ersten vier Autos gar nicht, aber trotzdem telefonieren genau zwei Fahrer. Begründen Sie Ihr Vorgehen. (7 P) b) Berechnen Sie, wie groß der Anteil p der telefonierenden Fahrer mindestens sein muss, wenn unter 100 vorbeifahrenden Autos mit mehr als 95% Wahrscheinlichkeit mindestens eines von einem telefonierenden Fahrer gelenkt wird. Auf der Schlossallee wird an einem Mittwoch zwischen 15 Uhr und 16 Uhr eine Kontrolle durchgeführt. Während dieser Zeit sei der Anteil p jener Fahrer, die zu einem beliebigen Zeitpunkt während dieser Zeitspanne gerade telefonieren, 3 Prozent. Bestimmen Sie die Anzahl der Autos, die mindestens kontrolliert werden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens einen telefonierenden Fahrer erwischt. Vergleichen und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der beiden Teilaufgaben. (8 P) M08_STO5_N-A nur für Lehrkräfte Seite 1 von 6
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Stochastik c) Nun kontrolliert man auf einer Zufahrt zu einer beliebten Diskothek zwischen 21 Uhr und 23 Uhr. Hier ist die Telefonierwahrscheinlich- keit außergewöhnlich hoch, nämlich p = 20%. Die Polizisten wetten untereinander, beim wievielten Auto sie erstmals einen telefonierenden Fahrer erwischen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass dies beim sechsten, nach dem sechsten Auto passiert. Einer der Polizisten hat von seiner Freundin, einer Mathematiklehrerin, gehört, dass in so einer Situation der 1 Erwartungswert E(X) = sei, wenn die Zufallsvariable X die p möglichen Anzahlen der kontrollierten Fahrzeuge bis zum ersten telefonierenden Fahrer beschreibe (das Fahrzeug des Telefonierers wird dabei mitgezählt). Beweisen Sie diese allgemeine Beziehung unter Verwendung der Formel ∞ 1 2 3 1 + 2q + 3q + 4q + ... = ∑ k =1 k −1 kq = (1 − q )2 . (8 P) d) Nach einigen Unfällen in den Abendstunden, bei denen Autofahrer telefoniert hatten, will die örtliche Polizei in ihrer Stadt verstärkte Kontrollen durchführen, wenn der Anteil der telefonierenden Autofahrer zwischen 18 und 20 Uhr mehr als 15% beträgt. Dazu überprüft sie in der Stadt 1000 fahrende Autos zwischen 18 und 20 Uhr. Entwickeln Sie auf einem Signifikanzniveau von 10 % eine Entscheidungsregel für die Nullhypothese, dass keine verstärkten Kontrollen notwendig sind. (7 P) M08_STO5_N-A nur für Lehrkräfte Seite 2 von 6
Ministerium für Bildung und Frauen Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2008 Leistungskurs Mathematik Thema: Stochastik Gausssche Integralfunktion ® (z) = f Y(x) dx z ®(-2) @®(z) 2 @®(-z2) ®(z) z @©(-z) ®@(z)
