sh-m2012
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Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung
Schleswig-Holstein 2012
Kernfach Mathematik
Aufgabe 5: Stochastik
Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignis-
se ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen.
Nach einer Veröffentlichung zur Unfallstatistik beruhten im Jahr 2009 378 000 Unfälle mit
Personenschaden im Straßenverkehr auf einem Fehlverhalten der Fahrzeugführer/innen. Der
Großteil hiervon, nämlich 260 000 Unfälle, hatte dabei ein Fehlverhalten eines PKW-Fahrers/
einer PKW-Fahrerin als Ursache. Bei den oben genannten 378 000 Unfällen war das häufigste
festgestellte Fehlverhalten eine nicht angepasste Geschwindigkeit, die in 57 000 Fällen ermittelt
wurde. 40 000 dieser Verstöße wurden dabei von PKW-Fahrern/ PKW-Fahrerinnen begangen.
a) • Erstellen Sie aus den Daten eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit auf 4 Nach-
kommastellen gerundeten relativen Häufigkeiten. Bezeichnen Sie mit G das Ereignis
Die Ursache für den Unfall ist eine nicht angepasste Geschwindigkeit“, A kennzeichne
”
das Ereignis Die Person fuhr einen PKW“.
”
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem/einer zufällig auszuwählen-
den PKW-Fahrer/PKW-Fahrerin verursachter Unfall eine nicht angepasste Geschwin-
digkeit als Ursache hatte.
(5 P)
b) Im Jahr 2009 wurden etwa 190 000 Personen wegen Straftaten im Straßenverkehr verurteilt.
In 54 % dieser Fälle ging es dabei um Alkoholdelikte. 85 % der verurteilten Personen,
die alkoholisiert waren, waren zudem männlich. Für eine Aufklärungskampagne sollen die
Straftaten, in denen es um Alkoholdelikte ging, genauer untersucht werden.
• Geben Sie an, wie viele Männer 2009 wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr ver-
urteilt wurden.
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig auszuwählenden Per-
sonen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr verurteilt wurden, genau 43
Männer sind.
• Berechnen Sie mit einem Näherungsverfahren die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter
500 zufällig auszuwählenden Personen, die wegen Alkoholvergehen im Straßenverkehr
verurteilt wurden, mindestens 420 Männer sind.
• Bestimmen Sie, wie viele Fälle von Verurteilungen aufgrund von Alkoholdelikten im
Straßenverkehr man mindestens auswählen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit
von über 95 % wenigstens eine Frau zu finden.
(12 P)
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Kernfach Mathematik
c) Bei etwa 4,4 % der Unfälle, die im Jahr 2009 einen Personenschaden zur Folge hatten, war
Alkoholeinfluss die Unfallursache. Die mit der Aufklärungskampagne von Aufgabenteil b)
beauftragte Agentur behauptet, dass sich nach der Durchführung eines Probedurchlaufs in
einem repräsentativen Landkreis der Anteil der unter Alkoholeinfluss verursachten Unfälle
mit Personenschaden reduziert haben soll.
Entwickeln Sie einen Hypothesentest mit dem Ziel, die Behauptung der Agentur über eine
Stichprobe von 450 Unfällen mit Personenschaden auf einem Signifikanzniveau von 1 % zu
bestätigen. Geben Sie die dazugehörige Entscheidungsregel an.
(10 P)
d) Die angesprochene Aufklärungskampagne sollte vor allem junge Verkehrsteilnehmer/innen
(bis 25 Jahre) ansprechen. Eine repräsentative Umfrage nach dem Probedurchlauf ergab
das folgende Ergebnis:
- 45 % der befragten Personen hatten von der Kampagne gehört und waren höchstens
25 Jahre alt.
- 10 % derjenigen, die von der Kampagne gehört hatten, waren älter als 25 Jahre.
- 40 % derjenigen, die nicht von der Kampagne gehört hatten, waren älter als 25 Jahre.
Zeigen Sie, dass drei Viertel der befragten Personen in dieser Umfrage höchstens 25 Jahre
alt waren.
(3 P)
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Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion ® Ts] SEI I =[SCH9] se) I = [SCH] 3e)] 0,01 | 0,4960 | 0,5040 0,51 | 0,3050 | 0,6950 1,01 | 0,1562 | 0,8438 0,02 | 0,4920 | 0,5080 0,52 | 0,3015 | 0,6985 1,02 | 0,1539 | 0,8461 0,03 | 0,4880 | 0,5120 0,53 | 0,2981 | 0,7019 1,03 | 0,1515 | 0,8485 0,04 | 0,4840 | 0,5160 0,54 | 0,2946 | 0,7054 1,04 | 0,1492 | 0,8508 0,05 | 0,4801 | 0,5199 0,55 | 0,2912 | 0,7088 1,05 | 0,1469 | 0,8531 0,06 | 0,4761 | 0,5239 0,56 | 0,2877 | 0,7123 1,06 | 0,1446 | 0,8554 0,07 | 0,4721 | 0,5279 0,57 | 0,2843 | 0,7157 1,07 | 0,1423 | 0,8577 0,08 | 0,4681 | 0,5319 0,58 | 0,2810 | 0,7190 1,08 | 0,1401 | 0,8599 0,09 | 0,4641 | 0,5359 0,59 | 0,2776 | 0,7224 1,09 | 0,1379 | 0,8621 0,10 | 0,4602 | 0,5398 0,60 | 0,2743 | 0,7257 1,10 | 0,1357 | 0,8643 0,11 | 0,4562 | 0,5438 0,61 | 0,2709 | 0,7291 1,11 | 0,1335 | 0,8665 0,12 | 0,4522 | 0,5478 0,62 | 0,2676 | 0,7324 1,12 | 0,1314 | 0,8686 0,13 | 0,4483 | 0,5517 0,63 | 0,2643 | 0,7357 1,13 | 0,1292 | 0,8708 0,14 | 0,4443 | 0,5557 0,64 | 0,2611 | 0,7389 1,14 | 0,1271 | 0,8729 0,15 | 0,4404 | 0,5596 0,65 | 0,2578 | 0,7422 1,15 | 0,1251 | 0,8749 0,16 | 0,4364 | 0,5636 0,66 | 0,2546 | 0,7454 1,16 | 0,1230 | 0,8770 0,17 | 0,4325 | 0,5675 0,67 | 0,2514 | 0,7486 1,17 | 0,1210 | 0,8790 0,18 | 0,4286 | 0,5714 0,68 | 0,2483 | 0,7517 1,18 | 0,1190 | 0,8810 0,19 | 0,4247 | 0,5753 0,69 | 0,2451 | 0,7549 1,19 | 0,1170 | 0,8830 0,20 | 0,4207 | 0,5793 0,70 | 0,2420 | 0,7580 1,20 | 0,1151 | 0,8849 0,21 | 0,4168 | 0,5832 0,71 | 0,2389 | 0,7611 1,21 | 0,1131 | 0,8869 0,22 | 0,4129 | 0,5871 0,72 | 0,2358 | 0,7642 1,22 | 0,1112 | 0,8888 0,23 | 0,4090 | 0,5910 0,73 | 0,2327 | 0,7673 1,23 | 0,1093 | 0,8907 0,24 | 0,4052 | 0,5948 0,74 | 0,2296 | 0,7704 1,24 | 0,1075 | 0,8925 0,25 | 0,4013 | 0,5987 0,75 | 0,2266 | 0,7734 1,25 | 0,1056 | 0,8944 0,26 | 0,3974 | 0,6026 0,76 | 0,2236 | 0,7764 1,26 | 0,1038 | 0,8962 0,27 | 0,3936 | 0,6064 0,77 | 0,2206 | 0,7794 1,27 | 0,1020 | 0,8980 0,28 | 0,3897 | 0,6103 0,78 | 0,2177 | 0,7823 1,28 | 0,1003 | 0,8997 0,29 | 0,3859 | 0,6141 0,79 | 0,2148 | 0,7852 1,29 | 0,0985 | 0,9015 0,30 | 0,3821 | 0,6179 0,80 | 0,2119 | 0,7881 1,30 | 0,0968 | 0,9032 0,31 | 0,3783 | 0,6217 0,81 | 0,2090 | 0,7910 1,31 | 0,0951 | 0,9049 0,32 | 0,3745 | 0,6255 0,82 | 0,2061 | 0,7939 1,32 | 0,0934 | 0,9066 0,33 | 0,3707 | 0,6293 0,83 | 0,2033 | 0,7967 1,33 | 0,0918 | 0,9082 0,34 | 0,3669 | 0,6331 0,84 | 0,2005 | 0,7995 1,34 | 0,0901 | 0,9099 0,35 | 0,3632 | 0,6368 0,85 | 0,1977 | 0,8023 1,35 | 0,0885 | 0,9115 0,36 | 0,3594 | 0,6406 0,86 | 0,1949 | 0,8051 1,36 | 0,0869 | 0,9131 0,37 | 0,3557 | 0,6443 0,87 | 0,1922 | 0,8078 1,37 | 0,0853 | 0,9147 0,38 | 0,3520 | 0,6480 0,88 | 0,1894 | 0,8106 1,38 | 0,0838 | 0,9162 0,39 | 0,3483 | 0,6517 0,89 | 0,1867 | 0,8133 1,39 | 0,0823 | 0,9177 0,40 | 0,3446 | 0,6554 0,90 | 0,1841 | 0,8159 1,40 | 0,0808 | 0,9192 0,41 | 0,3409 | 0,6591 0,91 | 0,1814 | 0,8186 1,41 | 0,0793 | 0,9207 0,42 | 0,3372 | 0,6628 0,92 | 0,1788 | 0,8212 1,42 | 0,0778 | 0,9222 0,43 | 0,3336 | 0,6664 0,93 | 0,1762 | 0,8238 1,43 | 0,0764 | 0,9236 0,44 | 0,3300 | 0,6700 0,94 | 0,1736 | 0,8264 1,44 | 0,0749 | 0,9251 0,45 | 0,3264 | 0,6736 0,95 | 0,1711 | 0,8289 1,45 | 0,0735 | 0,9265 0,46 | 0,3228 | 0,6772 0,96 | 0,1685 | 0,8315 1,46 | 0,0721 | 0,9279 0,47 | 0,3192 | 0,6808 0,97 | 0,1660 | 0,8340 1,47 | 0,0708 | 0,9292 0,48 | 0,3156 | 0,6844 0,98 | 0,1635 | 0,8365 1,48 | 0,0694 | 0,9306 0,49 | 0,3121 | 0,6879 0,99 | 0,1611 | 0,8389 1,49 | 0,0681 | 0,9319 0,50 | 0,3085 | 0,6915 1,00 | 0,1587 | 0,8413 1,50 | 0,0668 | 0,9332 2012-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 3 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion ® Tea Se LT ISCH SEIT =TsHT °e] 1,51 | 0,0655 2,01 | 0,0222 2,51 .. 1,52 | 0,0643 a 2,02 | 0,0217 Bars 2,52 Es 0,9941 1,53 | 0,0630 | 0,9370 2,03 | 0,0212 | 0,9788 2,53 | 0,0057 | 0,9943 1,54 | 0,0618 | 0,9382 2,04 | 0,0207 | 0,9793 2,54 | 0,0055 | 0,9945 1,55 | 0,0606 | 0,9394 2,05 | 0,0202 | 0,9798 2,55 | 0,0054 | 0,9946 1,56 | 0,0594 | 0,9406 2,06 | 0,0197 | 0,9803 2,56 | 0,0052 | 0,9948 1,57 | 0,0582 | 0,9418 2,07 | 0,0192 | 0,9808 2,57 | 0,0051 | 0,9949 1,58 | 0,0571 | 0,9429 2,08 | 0,0188 | 0,9812 2,58 | 0,0049 | 0,9951 1,59 | 0,0559 | 0,9441 2,09 | 0,0183 | 0,9817 2,59 | 0,0048 | 0,9952 1,60 | 0,0548 | 0,9452 2,10 | 0,0179 | 0,9821 2,60 | 0,0047 | 0,9953 1,61 | 0,0537 | 0,9463 2,11 | 0,0174 | 0,9826 2,61 | 0,0045 | 0,9955 1,62 | 0,0526 | 0,9474 2,12 | 0,0170 | 0,9830 2,62 | 0,0044 | 0,9956 1,63 | 0,0516 | 0,9484 2,13 | 0,0166 | 0,9834 2,63 | 0,0043 | 0,9957 1,64 | 0,0505 | 0,9495 2,14 | 0,0162 | 0,9838 2,64 | 0,0041 | 0,9959 1,65 | 0,0495 | 0,9505 2,15 | 0,0158 | 0,9842 2,65 | 0,0040 | 0,9960 1,66 | 0,0485 | 0,9515 2,16 | 0,0154 | 0,9846 2,66 | 0,0039 | 0,9961 1,67 | 0,0475 | 0,9525 2,17 | 0,0150 | 0,9850 2,67 | 0,0038 | 0,9962 1,68 | 0,0465 | 0,9535 2,18 | 0,0146 | 0,9854 2,68 | 0,0037 | 0,9963 1,69 | 0,0455 | 0,9545 2,19 | 0,0143 | 0,9857 2,69 | 0,0036 | 0,9964 1,70 | 0,0446 | 0,9554 2,20 | 0,0139 | 0,9861 2,70 | 0,0035 | 0,9965 1,71 | 0,0436 | 0,9564 2,21 | 0,0136 | 0,9864 2,71 | 0,0034 | 0,9966 1,72 | 0,0427 | 0,9573 2,22 | 0,0132 | 0,9868 2,72 | 0,0033 | 0,9967 1,73 | 0,0418 | 0,9582 2,23 | 0,0129 | 0,9871 2,73 | 0,0032 | 0,9968 1,74 | 0,0409 | 0,9591 2,24 | 0,0125 | 0,9875 2,74 | 0,0031 | 0,9969 1,75 | 0,0401 | 0,9599 2,25 | 0,0122 | 0,9878 2,75 | 0,0030 | 0,9970 1,76 | 0,0392 | 0,9608 2,26 | 0,0119 | 0,9881 2,76 | 0,0029 | 0,9971 1,77 | 0,0384 | 0,9616 2,27 | 0,0116 | 0,9884 2,77 | 0,0028 | 0,9972 1,78 | 0,0375 | 0,9625 2,28 | 0,0113 | 0,9887 2,78 | 0,0027 | 0,9973 1,79 | 0,0367 | 0,9633 2,29 | 0,0110 | 0,9890 2,79 | 0,0026 | 0,9974 1,80 | 0,0359 | 0,9641 2,30 | 0,0107 | 0,9893 2,80 | 0,0026 | 0,9974 1,81 | 0,0351 | 0,9649 2,31 | 0,0104 | 0,9896 2,81 | 0,0025 | 0,9975 1,82 | 0,0344 | 0,9656 2,32 | 0,0102 | 0,9898 2,82 | 0,0024 | 0,9976 1,83 | 0,0336 | 0,9664 2,33 | 0,0099 | 0,9901 2,83 | 0,0023 | 0,9977 1,84 | 0,0329 | 0,9671 2,34 | 0,0096 | 0,9904 2,84 | 0,0023 | 0,9977 1,85 | 0,0322 | 0,9678 2,35 | 0,0094 | 0,9906 2,85 | 0,0022 | 0,9978 1,86 | 0,0314 | 0,9686 2,36 | 0,0091 | 0,9909 2,86 | 0,0021 | 0,9979 1,87 | 0,0307 | 0,9693 2,37 | 0,0089 | 0,9911 2,87 | 0,0021 | 0,9979 1,88 | 0,0301 | 0,9699 2,38 | 0,0087 | 0,9913 2,88 | 0,0020 | 0,9980 1,89 | 0,0294 | 0,9706 2,39 | 0,0084 | 0,9916 2,89 | 0,0019 | 0,9981 1,90 | 0,0287 | 0,9713 2,40 | 0,0082 | 0,9918 2,90 | 0,0019 | 0,9981 1,91 | 0,0281 | 0,9719 2,41 | 0,0080 | 0,9920 2,91 | 0,0018 | 0,9982 1,92 | 0,0274 | 0,9726 2,42 | 0,0078 | 0,9922 2,92 | 0,0018 | 0,9982 1,93 | 0,0268 | 0,9732 2,43 | 0,0075 | 0,9925 2,93 | 0,0017 | 0,9983 1,94 | 0,0262 | 0,9738 2,44 | 0,0073 | 0,9927 2,94 | 0,0016 | 0,9984 1,95 | 0,0256 | 0,9744 2,45 | 0,0071 | 0,9929 2,95 | 0,0016 | 0,9984 1,96 | 0,0250 | 0,9750 2,46 | 0,0069 | 0,9931 2,96 | 0,0015 | 0,9985 1,97 | 0,0244 | 0,9756 2,47 | 0,0068 | 0,9932 2,97 | 0,0015 | 0,9985 1,98 | 0,0239 | 0,9761 2,48 | 0,0066 | 0,9934 2,98 | 0,0014 | 0,9986 1,99 | 0,0233 | 0,9767 2,49 | 0,0064 | 0,9936 2,99 | 0,0014 | 0,9986 2,00 | 0,0228 | 0,9772 2,50 | 0,0062 | 0,9938 3,00 | 0,0013 | 0,9987 2012-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 4 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung PM Teilaufgabe a) Aus den gegebenen Daten erhält man die folgende Vierfeldertafel mit rela- tiven Häufigkeiten (auf vier Nachkommastellen gerundet): A A G 0,1058 | 0,0450 | 0,1508 0,5820 | 0,2672 | 0,8492 il 0,6878 | 0,3122 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die sich dann wie folgt berechnen lässt: P(ANG) _ 0,1058 Pa(@) = P(A) 0,6878 = 0,1538 = 15,38 % Teilaufgabe b) 190 000 - 0,54 - 0,85 = 87 210 87 210 Männer wurden im Jahr 2009 wegen eines Alkoholdelikts im Stra- Benverkehr verurteilt. X beschreibt die Anzahl der Männer unter den wegen Alkoholdelikten verur- teilten 50 Personen. Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n = 50, p = 0,85. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt dann 50 P(X = 43) = (@ ) - 0,85 . 0,157 & 0,1575 = 15,75 %. X beschreibt jetzt die Anzahl der Männer unter den wegen Alkoholdelikten verurteilten 500 Personen. Mit n = 500, p = 0,85 folgt u = 500-0,85 = 425 und o? = 500 - 0,85 - 0,15 = 63,75 > 9. Die Laplace-Bedingung für die Näherung durch die Normalverteilung ist also erfüllt. P(X > 420) 1- PX <a) 1-8 419 40,5 — »>) 63,75 1- © (-0,69) = 1 — 0,2451 = 0,7549 = 75,49% 2012-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 5 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung PM n sei die Anzahl der wegen Alkoholdelikten verurteilten Personen. Y be- schreibt die Anzahl der Frauen unter diesen Personen. Y ist binomialverteilt mit den Parametern n und p = 0,15. PY>1) > 0% 1-P(Y=0) > 0,8 PY=0) < 0,06 6) -0,15°.0,85" < 0,05 0,85" < 0,05 n - In(0,85) In(0,05) In(0,05) In(0,85) Es müssen also mindestens 19 Fälle ausgewählt werden. = 18,43 2012-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 6 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung Teilaufgabe c) Es soll bestätigt werden, dass bei weniger als 4,4% der Unfälle mit Per- sonenschaden Alkohol als Unfallursache zu beobachten ist. Daher wird das Gegenteil als zu testende Nullhypothese angenommen: Ho : p > 0,044. Die Nullhypothese wird verworfen, wenn unter den 450 Unfällen relativ we- nige unter Alkoholeinfluss zustande kamen. Als Verwerfungsbereich wird daher V = [0;k] gewählt (linksseitiger Test). 2 Die Zufallsvariable X, beschreibt die Anzahl der Unfälle mit Perso- nenschäden, bei denen Alkohol eine Unfallursache war. X, wird als bino- mialverteilt mit den Parametern n = 450 und p > 0,044 angenommen. 1 Für den Verwerfungsbereich ist nun das größte natürliche k € [0 ; 450] so zu bestimmen, dass für alle p > 0,044 die Ungleichung P(X,< k) < 0,01 erfüllt ist. Wegen P(X,<k)< P(Xoou < k) für p > 0,044 ist dies gleichbedeutend mit der Aufgabe, das größte natürliche k € |0; 450] so zu bestimmen, dass die Ungleichung P(Xo,4 < k) < 0,01 erfüllt ist. 1 Sollte der Prüfling hier weniger präzise argumentieren, aber prinzi- piell begründen, warum es ausreicht, im Weiteren die Ungleichung P(Xo,1 < k) < 0,01 zu untersuchen, so soll der Punkt trotzdem verge- ben werden. Wegen 0? = 450 - 0,044 - 0,956 — 18,9288 > 9 ist die Laplace-Bedingung für die Näherung durch die Normalverteilung für Xo,044 erfüllt. 1 k +0,5 — 19,8 PXyu<k) = | ———-)<0,01 (Kos < k) ( 18,9288 ) an k+0,5- 19,8 — < -233 vera —— k+0,5-198 < -2,33- /18,9288 k < -2,33- y18,9288 — 0,5 + 19,8 = 9,16 3 Der Verwerfungsbereich lautet daher V = [0; 9]. 1 Sind unter den Unfällen also höchstens neun unter Alkoholeinfluss zustande gekommen, so würde man der Behauptung der Agentur Glauben schenken. 1 2012-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 7 von 8
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Bewertung
Erwartete Schülerleistung Zuordnung
A.
Teilaufgabe d)
Es kennzeichne J das Ereignis „Die befragte Person war höchstens 25 Jah-
re alt“ und K kennzeichne das Ereignis „Die befragte Person hatte von
der Kampagne gehört“. Die jeweiligen Gegenereignisse werden mit J bezie-
hungsweise K bezeichnet. Gesucht ist dann P(J)..
Aus den Angaben erhält man das folgende Baumdiagramm:
(DM P(KnI)=0,45
0,9
0,1
mo
5 {DD PKND=03
0,4
=)
Daraus folgt P(J) = P[KNJ)+ P(KNJ) =0,75.
Punktsummen
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Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2012 Kernfach Mathematik Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignis- se ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Für ein Schulfest plant eine Klasse einen Glücksspielstand mit einem Galton-Brett. In diesem Galton-Brett sind nach nebenstehendem Muster Stifte so eingelassen, dass sie in untereinander liegenden Reihen immer um den halben Stiftabstand gegeneinander versetzt sind. Wird das Brett mit der Grundseite exakt horizontal gehal- ten, so werden Kugeln, die vertikal von oben eingeworfen werden, auf jedem der tiefer liegenden Stifte jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,5 nach rechts bzw. nach links abgelenkt, um dann auf die tiefer liegenden Stifte oder die Auffangbehälter A, B, C', D und E zu treffen. a) e Die Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen eine eingeworfene Kugel in die jeweiligen Auffangbehälter fällt. Behälter ABB 1 7213 |$ 1 Wahrscheinlichkeit BBBHR Begründen Sie die Werte für die Behälter A und B. e Leichtes Verbiegen des Stifts links außen in der vierten Reihe (von oben) führt dazu, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine eingeworfene Kugel im Auffangbehälter A landet, 5 beträgt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser verbogene Stift die Kugeln nach links ablenkt. e Durch leichtes Schrägstellen des Original-Bretts wird erreicht, dass sich die Ablenk- wahrscheinlichkeiten aller Stifte in gleicher Weise verändern. Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Kugeln im Auffangbehälter C' beim Einwerfen von 256 Kugeln, wenn alle Stifte jetzt mit den Wahrscheinlichkeiten Plinks = 4 und Prechts = a ablenken. (9 P) 2012-M-H6-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 1 von 8
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b) Das exakt horizontal stehende Galton-Brett (1. Tabelle aus Aufgabenteil a) ) möchte die
Klasse für ein Glücksspiel nutzen. Nach Einwurf jeweils nur einer Kugel sollen bei einem
Einsatz des Spielers von 1 e je nach Auftreffen der Kugel in den Auffangbehältern die
folgende Beträge ausgezahlt werden:
Behälter A B C D E
Auszahlung 3 e 1,20 e 0 e 1,20 e 3 e
• Berechnen Sie den zu erwartenden Verlust oder Gewinn des Spielers pro Spiel.
• Der Klassenlehrer drängt auf eine Änderung der Spielregeln, da bei Glücksspielen in
der Schule weder Gewinne noch Verluste erzielt werden sollten.
Berechnen Sie, wie die Auszahlung bei den Ergebnissen Kugel landet in dem Behälter
”
A“ und Kugel landet in dem Behälter E“ geändert werden müssen. Bei beiden
”
Ergebnissen sollen die Auszahlungen aus Symmetriegründen gleich groß sein.
(7 P)
c) Das Galton-Brett wird wieder exakt horizontal aufgestellt.
• Berechnen Sie mit Hilfe der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass beim
Einwurf von 50 Kugeln 16 oder 17 Kugeln in den Behälter C fallen.
• Zeigen Sie, dass die eben berechnete Wahrscheinlichkeit auch näherungsweise mit der
Normalverteilung bestimmt werden kann, und führen Sie die Rechnung durch.
• Bestimmen Sie, wie viele Kugeln man mindestens einwerfen muss, damit die Wahr-
scheinlichkeit, dass der Behälter A leer bleibt, kleiner als 7 % ist.
(11 P)
d) Bei einem schräg aufgestellten Galton-Brett mit n Stiftreihen sei pA die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass eine eingeworfene Kugel in Auffangbehälter A fällt, pB sei die entsprechende
Wahrscheinlichkeit für Behälter B.
Außerdem gelte pB = 3 · n · pA .
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Stifte die Kugel nach links ablenken.
(3 P)
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