sh-m2011
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Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung
Schleswig-Holstein 2011
Kernfach Mathematik
d) Nun ist der Erreger auch auf der kleinen Insel Paradisia“ eingeschleppt worden. Der Erreger
”
hat exakt 5 % der 20-köpfigen Inselbevölkerung befallen.
Es sollen 10 Personen der Inselbevölkerung zufällig ausgewählt werden. Die Zufallsvariable
X beschreibe die Anzahl der sich darunter befindenden I-Personen.
Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X durch die Binomialverteilung
bzw. die hypergeometrische Verteilung angemessen beschrieben werden kann.
(3 P)
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Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion ® a en 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 3 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Tabelle zur Normalverteilung, Werte der Gaußschen Integralfunktion ® gen = 2) | ©@) a 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 4 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung Teilaufgabe a) Es kennzeichne | das Ereignis „Eine Person ist infiziert“ und T das Ereignis „Der Test zeigt ein positives Ergebnis“. 1 P(INnT)=P(T)- P,(T) = 0,05 - 0,94 = 0,047 P(INT) = 0,05 — 0,047 = 0,003 P(INT) = P(T)- P(T) = 0,95 - 0,08 = 0,076 P(INT) = 0,95 — 0,076 = 0,874 T Tr este] i a T 0,047 I 0,05 ne T 0,003 T 0,076 09 0,08 I 0,9 re T 0,874 0,047 0,12 0,076 0,003 0,8 0,874 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 5 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung P(TNT) 0,076 P(T) 0,123 P(TNI) _ 0,003 P(T) 0,877 Pr(T) = = 0,6179 Pl) = = 0,0034 Beispielbewertungen: Für den Fall, dass der Schnelltest positiv ausgefallen ist, müssen sich ge- nauere Untersuchungen anschließen, da über 60% der positiv getesteten Personen trotz des positiven Testergebnisses gesund sind. Damit zeigt der Prozentsatz 60 % auch, dass man als Positiv-Getesteter guten Gewissens hoffen kann, dass man doch nicht vom Erreger befallen ist. Bei einem negativen Schnelltestergebnis, das keine weiteren Untersuchun- gen nach sich zieht, liegt nur mit sehr kleiner Wahrscheinlichkeit eine In- fektion vor, dieses Risiko ist wohl in Kauf zu nehmen. Teilaufgabe b) Bei einer großen Gesamtbevölkerung kann die Zufallsvariable X, die die An- zahl der W-Personen unter den 1000 auszuwählenden Personen beschreibt, als binomialverteilt mit den Parametern n = 1000 und p = 0,05 angesehen werden. Da o®=n-p-(1-p) = 1000 - 0,05 - 0,95 = 47,5 > 9 gilt, kann X auch näherungsweise als normalverteilt angesehen werden. PIX<3) x Ö (Si) > (2,10) z 0,0179 P(X >60) = 1-P(X<8)z21-®& () = 1 &(1,38) 1 0,9162 = 0,0838 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 6 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung Teilaufgabe c) Es soll bestätigt werden, dass bei weniger als 10% der Probanden keine erfolgreiche Bekämpfung der Hautveränderung zu beobachten ist. Daher wird das Gegenteil als zu testende Nullhypothese angenommen: H:p>01. Es kennzeichne nunmehr die Zufallsvariable X die Anzahl der Probanden, bei denen die W-Krankheit durch Contra-W nicht erfolgreich bekämpft wer- den kann. X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 850 und p = 0,1, da diese Wahrscheinlichkeit den ungünstigsten Fall bzgl. FH, darstellt. Wegen o? = n-p-(1--p) = 850-0,1-0,9 = 76,5 > 9 kann X näherungsweise als normalverteilt angesehen werden. Die Nullhypothese wird verworfen werden, wenn unter den 850 Versuchs- personen relativ wenige nicht von der Hautveränderung befreit werden. Als Verwerfungsbereich wird daher A = [| 0; k ] gewählt. Peosir (X S k) z®d () < 0,003 ms < 2375 k < 845-275: 776,5 = 60,45 Der Ablehnungsbereich lautet daher [ 0;60] . Ein Fehler zweiter Art wird bei diesem Test dann begangen, wenn die Null- hypothese beibehalten wird, obwohl diese in Wirklichkeit falsch ist. Das ist der Fall, wenn der Anteil der behandelten Personen, bei denen keine Gesundung durch „Contra-W“ eintritt, bei weniger als 10 % liegt, das Test- ergebnis aber trotzdem nicht im Ablehnungsbereich liegt (also mehr als 60 Nicht-Gesundungen beobachtet wurden). 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 7 von 8
Ministerium für Bildung und Kultur Schriftliche Abiturprüfung Schleswig-Holstein 2011 Kernfach Mathematik Bewertung Erwartete Schülerleistung Zuordnung Teilaufgabe d) Auf der Insel ist genau einer der 20 Bewohner infiziert. Bei der Auswahl von 10 Bewohnern handelt es sich um eine Realisierung des Modells „Ziehen ohne Zurücklegen“, deren zugehörige Zufallsvariable durch eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N = 20, n = 10, M = 1 richtig beschrieben wird. Dabei kann X die Werte O0 bzw. 1 annehmen. Damit die hypergeometrische Verteilung durch eine Binomialverteilung ap- proximiert werden kann, muss die Anzahl N der Inselbewohner sehr viel größer als der Stichprobenumfang sein. Das ist hier nicht der Fall. Nimmt man z. B. X als binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,05 an, so könnte X die Werte 0,1,2,....20 annehmen, wobei Pgy(X = 2) = 19% beträgt. Auch dies zeigt, dass X (auch nicht näherungsweise) nicht durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann. Punktsummen 2011-M-H5-Stochastik-L nur für Lehrkräfte Seite 8 von 8
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Aufgabe 6: Stochastik
Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignis-
se ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen.
Eine repräsentative Umfrage ergab, dass 60 % der Menschen eines bevölkerungsreichen Landes
einen Zugang zum Internet nutzen. Diejenigen, die einen Zugang zum Internet nutzen, wurden
weiterhin gefragt, zu welchem Hauptzweck sie dies tun. Dabei erhielt man folgende Verteilung:
(Doppelnennungen waren nicht erlaubt.)
23 % Reiseinformationen und Urlaubsbuchungen
33 % Einkauf über das Internet
29 % Persönliche Weiterbildung
15 % sonstige
a) Betrachten Sie die folgenden Ereignisse A und B:
A: Unter zwanzig zufällig auszuwählenden Internetnutzern befindet sich genau eine Person,
”
die das Internet hauptsächlich für Reiseinformationen und Urlaubsbuchungen nutzt“.
B: Unter zehn zufällig auszuwählenden Internetnutzern befinden sich mindestens zwei
”
Personen, die das Internet hauptsächlich zur persönlichen Weiterbildung nutzen.“
• Erläutern Sie, warum man strenggenommen die Binomialverteilung zur Berechnung der
Wahrscheinlichkeiten für A und B nicht verwenden darf, sie aber eine sehr gute Näherung
darstellt.
• Berechnen Sie mithilfe der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeiten für die beiden
Ereignisse.
• Berechnen Sie mit einem Näherungsverfahren die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
C: Von 400 zufällig auszuwählenden Menschen des Landes gehören mindestens 250
”
Personen und höchstens 260 Personen zur Gruppe der Internetnutzer.“
(11 P)
b) • Bestimmen Sie, wie viele Internetnutzer dieses Landes man mindestens befragen müsste,
damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von über 99 % wenigstens eine Person findet,
die ihren Internetzugang hauptsächlich zum Einkauf nutzt.
• In einem Wohnhaus wohnen 25 Personen, von denen 10 das Internet nutzen. Es sollen 5
zufällig auszuwählende Hausbewohner befragt werden. Bestimmen Sie die Wahrschein-
lichkeit, dass sich unter diesen mehr als 3 Internetnutzer befinden.
(8 P)
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c) Auf einer einwöchigen Computermesse präsentiert sich die Firma Z-Tel als neuer Internet-
anbieter. Die Firma möchte Laptops zu einem Schnäppchenpreis anbieten. Man rechnet
damit, dass 9 % aller Messebesucher einen solchen Laptop kaufen werden. Am ersten
Messetag werden 1500 Besucher erwartet.
• Berechnen Sie die Anzahl der am ersten Tag zu erwartenden Verkäufe.
• Berechnen Sie, wie viele Laptops am ersten Tag bereitgestellt werden müssen, damit das
Angebot für die Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98 % ausreicht.
(8 P)
d) Um in diesem Land, in dem Z-Tel bisher keine Kunden hat, Kunden für Z-Tel zu
gewinnen, soll ein Prozentsatz p der Menschen dieses Landes mit einem Werbebrief
angeschrieben werden. Aus anderen Ländern hat Z-Tel die Erfahrung gemacht, dass 20 %
der angeschriebenen Personen sich daraufhin innerhalb eines Monats für die Firma Z-Tel
entscheiden, aber auch, dass sich 3 % der Menschen, die nicht angeschrieben wurden, in
diesem Monat ebenfalls Z-Tel als Anbieter wählen.
Ermitteln Sie den Mindestprozentsatz p, bei dem Z-Tel unter den obigen Voraus-
setzungen nach einem Monat 4,5 % der Bevölkerung als Kunden hat.
(3 P)
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