JL Freie und Hansestadt Hamburg schuichiffre Behörde für Schule und Berufsbildung _1_ Kurs-Nr. / Schüler-Nr. Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2011/2012 Kernfach Mathematik - erhöhtes Anforderungsniveau Allgemeinbildende und berufliche Schulen 25. Januar 2012, 9.00 Uhr Unterlagen für die Prüfungsteilnehmerinnen und Prüfungsteilnehmer Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie bitte rechts oben auf diesem Blatt die Schulchiffre ein, die Sie im Stempel auf Ihrem Arbeitspapier finden. • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihre Kursnummer und Ihre Schülernummer ein, wie Sie sie auf Ihrem Namensschild finden. • Verwenden Sie auf keinen Fall Ihren Namen und den Namen Ihrer Schule. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift. Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Arbeitszeit beträgt 300 Minuten. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv" (Cornelsen-Verlag), Rechtschreiblexikon, Operatorenliste (s. S. 2 und 3). 'KS^sssssysSfSss:, Aufgaben • Sie erhalten zwei Aufgaben. • Überprüfen Sie anhand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Bearbeiten Sie beide Aufgaben. • Vermerken Sie auf der Reinschrift, welche Aufgabe (z. B. 1.2) Sie jeweils bearbeitet haben. Mat1.KFeA-Db.AB                                                      Seite      1    von             3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                        allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                  berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                        Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Operatoren           Definitionen                                  Beispiele Angeben,             Ohne nähere Erläuterungen und Begründun-      Geben Sie drei Punkte an, die in der nennen               gen, ohne Lösungsweg aufzählen.               Ebene liegen. l                                                                  Nennen Sie drei weitere Beispiele zu... Anwenden             Einen bekannten Sachverhalt oder eine Hand-   Wenden Sie das in Matrix L gegebene 1-11                 lungsanweisung, Formel, Vorschrift aufEle-    Populationsmodell auch auf den Be- mente ihres jeweiligen Definitionsbereichs    stand B an. anwenden.                                     Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begründen            Einen angegebenen Sachverhalt aufGesetz-      Begründen Sie, dass die Funktion nicht 11-111               Mäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge        mehr als drei Wendestellen aufweisen zurückfuhren. Hierbei sind Regeln und ma-     kann. thematische Beziehungen zu nutzen.            Begründen Sie die Zurückweisung der Hypothese. Berechnen            Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend         Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit l                    durch Rechenoperationen gewinnen.             des Ereignisses. Beschreiben          Sachverhalt oder Verfahren in Textform unter  Beschreiben Sie den Bereich möglicher 1-11                 Verwendung der Fachsprache in vollständigen Ergebnisse. Sätzen darstellen (hier sind auch Einschrän-  Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem kungen möglich: „Beschreiben Sie in Stich-    lösen wollen, und führen Sie danach warten"). Ihre Lösung durch. Bestätigen           Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch     Bestätigen Sie, dass die gegebene Funk- 1-11                 Anwendung einfacher Mittel (rechnerischer     tion eine Stammfunktion zur wie argumentativer) sichern.                  Ursprungsfünktion ist. Der Anspruch liegt deswegen unterhalb von     Bestätigen Sie die Parallelität der beiden „Zeigen" oder „Beweisen".                     Ebenen. Bestätigen Sie, dass m diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. Bestimmen,           Einen Lösungsweg darstellen und das Ergeb-    Ermitteln Sie grafisch den Schnittpunlct. ermitteln            nis formulieren (die Wahl der Mittel kann     Bestimmen Sie aus diesen Werten die 11-111               unter Umständen eingeschränkt sein).          Koordinaten der beiden Punkte. Beurteilen           Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges      Beurteilen Sie, welche der beiden vor- III                  Urteil unter Verwendung von Fachwissen und    geschlagenen modellierenden Funktio- Fachmethoden formulieren.                     neu das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beweisen,            Beweisführung im mathematischen Sinne         Beweisen Sie, dass die Gerade auf sich widerlegen           unter Verwendung von bekannten mathemati-     selbst abgebildet wird. III                  sehen Sätzen, logischer Schlüsse und Aquivalenzumformungen, ggf. unter Verwen- düng von Gegenbeispielen. Entscheiden          Bei Alternativen sich begründet und eindeutig Entscheiden Sie. für welchen der beiden Il                   auf eine Möglichkeit festlegen.               Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Entscheiden Sie, welche der Ihnen be- kannten Verteilungen auf die Problem- Stellung passt. Mat1-KFeA.Db.AB                                                                                Seite 2 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                         allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                   berufliche gymnasiale Abltur2012                                                                                        Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Operatoren           Definitionen                                   Beispiele Ergänzen,            Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach         Ergänzen Sie die Tabelle der Funkti- vervollständigen     bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder   onswerte. l                    Mustern füllen.                                Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Punkten. Erstellen            Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist    Erstellen Sie eine Wertetabelle für die l                    fachlich üblicher oder vorgegebener Form       Funktion. darstellen. Herleiten            Die Entstehung oder Ableitung eines gegebe-    Leiten Sie die gegebene Formel für die Il                   nen oder beschriebenen Sachverhalts oder       Stammfunktion her. einer Gleichung aus anderen oder aus allge- meineren Sachverhalten darstellen. (Re.)                Die Ergebnisse einer mathematischen Uberle-    Interpretieren Sie: Was bedeutet Ihre Interpretieren       gung rückübersetzen auf das ursprüngliche      Lösung für die ursprüngliche Frage? 11-111               Problem. Skizzieren           Die wesentlichen Eigenschaften eines Objek-    Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der 1-11                 tes grafisch darstellen (auch Freihandskizze   drei Körper. möglich). Untersuchen          Sachverhalte nach bestimmten, fachlich übli-   Untersuchen Sie die Funktion . .. Il                   chen bzw. sinnvollen Kriterien darstellen.     Untersuchen Sie, ob die Verbindungs- kurve ohne Knick in die Gerade ein- mündet. Vergleichen          Nach vorgegebenen oder selbst gewählten        Vergleichen Sie die beiden Vorschläge 11-111               Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ahnlich-      ... nach der von den Kurven einge- keiten und Unterschiede ermitteln und darstel- schlossenen Fläche. len. Zeichnen,            Eine hinreichend exakte grafische Darstellung  Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch             anfertigen.                                    Stellen Sie die Punkte und Geraden im darstellen                                                          Koordinatensystem mit den gegebenen 1-11                                                                Achsen dar. Zeigen,              Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gülti-    Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck nachweisen           gen Schlussregeln, Berechnungen,               ein Drachenviereck ist. 11-111               Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. Zuordnen             Ohne tiefer gehende Erläutemng eine Verbin-    Ordnen Sie die Graphen den gegebenen 1-11                 düng zwischen zwei Listen herstellen.          Gleichungen zu. Mat1-KFeA.Db.AB                                                                                 Seite 3 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                     allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                              berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                   Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Analysis 1 1.1 USB-Sticks Die Firma RAM-Dir bringt den neuen USB-Stick „Data 2.0" auf den Markt. Das Produkt durchläuft einen Produkt- lebenszyklus, den man in fünf Phasen unterteilen kann. Die abgebildete Kurve stellt die Ent- wicklung des momentanen Umsatzes im Laufe der Zeit graphisch dar. In der Einführungsphase führt das Unternehmen das Produkt mit Werbung auf dem Markt ein. In der Wachstumsphase steigt der momentane Umsatz stark, obwohl noch hohe Werbungskosten das Unternehmen belasten. Die anschließende Reifephase ist die ertragreichste Zeit, sie endet an der Maximumstelle der Funktion des momentanen Umsatzes. In der Sättigungsphase gehen die momentanen Umsätze zurück, das Produkt hat kein Marktwachstum mehr. Danach folgt die Rückgangsphase. Am Ende dieser Phase wird die Produktion eingestellt. Die Firma hat dabei als Vergleich das Vorgängermodell „Data l", bei dem sich der momentane Umsatz durch die Funktion f\ mit der folgenden Gleichung beschreiben ließ: w-V^^'^. 12             12 dabei steht t für die Zeit seit Produktionsbeginn in Monaten und f\(t} für den momentanen Umsatz in 1000 € pro Monat. a) Zeichnen Sie den Graphen von /i in das beigefügte Koordinatensystem ein.                        (10P) b) Bei der Firma gilt die Einführungsphase eines USB-Sticks als abgeschlossen, wenn der momentane Umsatz einen Betrag von 10 000 € pro Monat überschreitet. • Geben Sie unter Verwendung Ihres Arbeitsergebnisses aus Teil a) diesen Zeitpunkt für den „Data l" an. • Bestimmen Sie für den „Data l" mithilfe der Differentialrechnung die Zeitspanne vom Ende der Einführungsphase bis zum Beginn der Sättigungsphase.                         (20P) Matl-KFeA-11-AB                                                                            Seite 1 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Nun wird der gesamte Lebenszyklus des Produkts betrachtet. Die Firma nimmt einen USB-Stick vom Markt, wenn der momentane Umsatz auf 1000 € pro Monat sinkt. c) • Bestätigen Sie zeichnerisch, dass der Produktlebenszyklus des „Data l" rund 7,6 Monate dauerte. • Ermitteln Sie eine Stammfunktion F\ zu f\ mit der Bedingung F)(O) = 0 und interpretieren Sie die Bedeutung von Fi im Kontext der Aufgabe. • Bestimmen Sie ohne Rechnung die Wendestelle(n) von Fi. • Zeigen Sie, dass die Firma mit dem „Data l" während seines Lebenszyklus einen Gesamtumsatz von etwa 178 580 € erzielte. (30P) Damit das neue Produkt einen längeren Lebenszyklus hat, hat die Entwicklungsabteilung mehrere Verbesserungen in den „Data 2.0" eingebaut. Aufgrund von Marktbeobachtungen erwartet die Firma, dass sie dadurch nach der gleichen Zeitspanne für die ersten drei Phasen eine längere Sättigungsphase erreichen kann. Man geht außerdem davon aus, dass sich der gleiche maximale momentane Umsatz wie beim Vorgängermodell erzielen lässt. Unter diesen Annahmen wird der momentane Umsatz beim „Data 2.0" durch die Funktion ,2 beschrieben: f^=a.e-^-b)\ wobei t filr die Zeit in Monaten seit Produktionsbeginn des „Data 2.0" steht. Der Graph von f-i ist in der Anlage dargestellt. d) Bestimmen Sie die Parameter a und 6. (15P) Hinweis: Die Sättigungsphase beginnt nach 5 Monaten. Zur Kontrolle: f^ (Q = 40. e-o-L('-5>2 e) Bestätigen Sie, dass über einen längeren Zeitraum hinweg auch der momentane Umsatz beim „Data l" in guter Näherung durch die Funktion f-i beschrieben worden wäre, und entscheiden Sie, welche Phasen der Entwicklung in diesem Zeitraum lagen. (l 5P) f) • Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren nähemngsweise den Gesamtumsatz, den die Firma mit dem „Data 2.0" erwartet. Beachten Sie hierbei, dass auch dieses Produkt vom Markt genommen wird, wenn der momentane Umsatz unter 1000 € fällt. • Vergleichen Sie die Gesamtumsätze der beiden Modelle miteinander. (10P) Mat1                -KFeA-11                        -AB           Seite          2     von         3

Freie und Hansestadt Hamburg                                         allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                  berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                       Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Anlage zur Aufgabe „USB-Sticks" ^^ \o ^o^noino^no                                                    IT) ^^-1- m m c\( c^ ^BUO]^[ ojd 3 oooi m z^suif]^ .i9U^U9iuom Mat1.KFeA-11.AB                                                                Seite 3 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                     allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                              berufliche gymnasiale Abitur2012                                                                                   Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau Analysis 2 1.2 Intravenös Bei vielen Krankheitsveriäufen ist die direkte Verabreichung eines Medikaments in ein venöses Blutgefäß unumgänglich. Dies geschieht meist mit Hilfe einer intravenösen Applikation, die das Medikament aus dem Vorratsgefäß („Tropf) in den Blutkreislaufdes Patienten leitet. Zu Behandlungsbeginn enthält der Organismus das Medikament noch nicht. Sobald die intravenöse Zufuhr beginnt, erhöht sich die Menge des Medikaments im Körper, der aber gleichzeitig mit der Verarbeitung und dem Abbau des Medikaments anfängt. Die folgende Messwerttabelle zeigt die erste Stunde nach Anlegen des Tropfes bei einem bestimmten Patienten („Patient S") mit einem Gewicht von 60 kg. Es wurden alle 10 Minuten die verbliebene Menge im Tropf und die Medikamentenkonzentration im Körper gemessen; aus der Konzentration wurde die in der Tabelle angegebene Medikamentenmenge errechnet. Zeit t in Minuten                       0        10       20       30       40        50       60 Inhalt des Tropfes in ml              300       285      270      255      240       225      210 Medikamentenmenge im Körper 0       11,8    18,96    23,31    25,94     27,54    28,51 in Mengeneinheiten (ME) a) Bestätigen Sie, dass der Inhalt des Tropfes linear von der Zeit abhängt, und geben Sie die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion / an.                                      (10P) Die im Körper verbliebene Medikamentenmenge lässt sich durch die Funktionsgleichung g(t)=a-a-e-b". mit patientenabhängigen Parametern a und b beschreiben. Für einen bestimmten Patienten erhält man den Wert von a, indem man den Zahlenwert seines Gewichts (in kg) halbiert. Für den Patienten S ist also a = 30. Der Wert von b hängt von der Nierenleistung des Patienten sowie von der Konzentration bestimmter Substanzen in seinem Blut ab. b) • Berechnen Sie den Wert des Parameters b für den Patienten S. Zur Kontrolle: b ^ 0,05 • Untersuchen Sie, wie sich die Medikamentenmenge im Körper des Patienten S bei kontinuierlicher Verabreichung langfristig entwickelt. • Geben Sie an, um welche Form von Wachstum es sich handelt, (l 5P) MaM-KFeA-12-AB                                                                             Seite 1 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2012 Oberstufen Mathematik - Kurs auf erhöhtem Niveau c) • Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung von/und von g. • Zeichnen Sie die Graphen der Funktion g und ihrer Ableitung jeweils für sich in die Koordinatensysteme in der Anlage. Für die /-Achse wurde das Intervall [0; 120] gewählt. Legen Sie den Maßstab für die andere Achse jeweils sinnvoll fest. • Interpretieren Sie die Werte ,'(30) und g'(30) sowie allgemein die Bedeutung der Ableitungsfunktionen /' und g' im Sachkontext. • Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen von g' im Sachkontext. (25P) d) • Wenn die Konzentration des Medikaments im Körper zu niedrig ist, lässt es sich nicht nachweisen. Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die Medikamentenmenge im Körper des Patienten S die Nachweisgrenze von 3 ME überschreitet. • Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die Anderungsrate der ME Medikamentenmenge im Körper des Patienten S nur noch 0,03 —— beträgt. (10P) min 30       30 e) • Bestimmen Sie die Werte der Integrale | f\t)dt und ) g\t)dt. 0        0 • Interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (15P) Für eine Langzeitstudie über die Nebenwirkungen des Medikaments wird in allen Krankenhäusern ermittelt, wie hoch die durchschnittliche Menge im Körper des Patienten in der ersten Stunde ist. f) Ermitteln Sie diese Menge für den Patienten S. (10P) In der oben gegebenen Funktionsgleichung für g sind die Parameter a und b patientenabhängig. g) • Beurteilen Sie, wie sich der Parameter b ändert, wenn der Körper eines anderen Patienten, der ebenfalls 60 kg wiegt, das Medikament deutlich schneller abbaut. • Geben Sie die Gleichung der Funktion g» für einen Patienten an, der 100 kg wiegt und für den b = 0,1 ist („Patient H"). • Die gewünschte Wirkung des Medikaments tritt ein, wenn die Medikamentenmenge im Körper des Patienten 75 % des jeweiligen Wertes von a erreicht. Untersuchen Sie, ob die Wirkung beim Patienten S oder beim Patienten H schneller eintritt.                                                 (15P) Mat1               -KFeA-12-AB                                  Seite           2     von         3

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