A jm.. Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung / Kurs-Nr. / Name Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2015/2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau an allgemeinbildenden und beruflichen gymnasialen Oberstufen Haupttermin Freitag, 29. April 2016, 9:00 Uhr Unterlagen für die Prüflinge Allgemeine Arbeitshinweise • Tragen Sie rechts oben auf diesem Blatt und auf Ihren Arbeitspapieren Ihren Namen sowie die Kurs- nummer ein. • Kennzeichnen Sie bitte Ihre Entwurfsblätter (Kladde) und Ihre Reinschrift ebenfalls mit Namen und Kursnummer. Fachspezifische Arbeitshinweise • Die Lese- und Arbeitszeit beträgt insgesamt 315 Minuten. • Zuerst wird die Aufgabe I in maximal 45 Minuten bearbeitet. • Nach Abgabe der Aufgabe I und der zugehörigen Lösungen folgt eine Lese- und Auswahlzeit von 15 Minuten, in der auch Notizen gemacht werden dürfen. • Für die Bearbeitung der ausgewählten zwei Aufgaben steht die restliche Arbeitszeit zur Verfügung. • Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Pormelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv" (Cornelsen Verlag), Rechtschreibwörterbuch Aufgabenauswahl • Sie erhalten zunächst Aufgabe I und bearbeiten diese. • Sie erhalten die restlichen vier Aufgaben (11.1,11.2, III und IV) zu unterschiedlichen Schwerpunkten sowie Ihren Taschenrechner und die Formelsammlung. • Überprüfen Sie anhand der Seitenzahlen, ob Sie alle Unterlagen vollständig erhalten haben. • Wählen Sie aus den Aufgaben 11.1 und 11.2 sowie aus den Aufgaben III und IV jeweils eine Aufgabe aus. Insgesamt müssen Sie von diesen also zwei Aufgaben bearbeiten. • Beginnen Sie mit der Bearbeitung der beiden ausgewählten Aufgaben. • Vermerken Sie auf dem Deckblatt und der Reinschrift, welche weiteren Aufgaben (II.1/II.2 und III/IV) Sie bearbeitet haben. Zur Bearbeitung wurden ausgewählt: Titel der Aufgabe (11.1 oder 11.2) (III oder IV) Mat1 -eA-Paket1 -AB-2016 Deckblatt, Seite 1 von 4

Freie und Hansestadt Hamburg                                                        allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                 berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                          Oberstufen Deckblatt Operatoren ^piei''at<3>reu|;l| angeben, w& I lg|fi||ing|%|!Bggg|g| jlisiiiiijliilliiitllligjgi Ohne nähere Erläuterungen       Geben Sie drei Punkte an, die in der Ebene nennen                     und Begründungen, ohne          liegen. Lösungsweg aufzuzeigen.         Nennen Sie drei weitere Beispiele zu ... anwenden            I-IT   Einen bekannten S ach verhalt   Wenden Sie das in Matrix L gegebene oder eine Handlungsanwei-       Populationsmodell auch auf den Bestand B sung, Formel, Vorschrift auf    an. Elemente ihres jeweiligen       Wenden Sie die Funktionsgleichung auch Definitionsbereichs anwen-      auf die gegebenen Zahlen an. den. begründen          ii-iii  Einen angegebenen Sachver-      Begründen Sie, dass die Funktion nicht halt auf Gesetzniäßigkeiten     mehr als drei Wendestellen aufweisen bzw. kausale Zusammenhän-       kann. ge zurückführen. Hierbei        Begründen Sie die Zurückweisung der sind Regeln und mathemati-      Hypothese. sehe Beziehungen zu nutzen. berechnen             I    Ergebnisse von einem Ansatz     Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des ausgehend durch Rechenope-      Ereignisses. rationen gewinnen. beschreiben         i-ii   S ach verhalt oder Verfahren    Beschreiben Sie den Bereich möglicher in Textform unter Verwen-       Ergebnisse. düng der Fachsprache in voll-   Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem ständigen Sätzen darstellen     lösen wollen, und führen Sie danach Ihre (hier sind auch Einschränkun-   Lösung durch. gen möglich: „Beschreiben Sie in Stichworten"). bestätigen          i-n    Eine Aussage oder einen         Bestätigen Sie, dass die gegebene Funktion S ach verhalt durch Anwen-      eine Stammfunktion zur Ursprungsfunkti- düng einfacher Mittel (rech-    on ist. nerischer wie argumentati-      Bestätigen Sie die Parallelität der beiden ver) sichern. Der Anspruch      Ebenen. liegt deswegen unterhalb von    Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die „Zeigen" oder „Beweisen",        Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. bestimmen,         II-III  Einen Lösungsweg darstellen     Ermitteln Sie grafisch den Schnittpunkt. ermitteln                  und das Ergebnis formulieren    Bestimmen Sie aus diesen Werten die Ko- (die Wahl der Mittel kann un-   ordinaten der beiden Punkte. ter Umständen eingeschränkt sein). beurteilen         ii-ni   Zu einem Sachverhalt oder       Beurteilen Sie, welche der beiden vor- zu einem Ergebnis ein selbst-   geschlagenen Funktionen die Situation ständiges, mathematisch         angemessener modelliert. und/oder sachkontextual be-     Beurteilen Sie das Resultat Ihrer Modell- gründetes Urteil fällen.        rechnung vor dem Hintergrund der gefor- derten Kosteneffizienz. Beurteilen Sie die Aussage: „Jede ganzra- tionale Funktion dritten Grades hat mindes- tens ein lokales Maximum." beweisen,            III   Beweisführung im mathema-       Beweisen Sie, dass die Gerade auf sich widerlegen                 tischen Sinne unter Verwen-     selbst abgebildet wird. düng von bekannten mathe- matischen Sätzen, logischen Schlüssen und Aquivalenz- umformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbei- spielen. Mat1-eA-Paket1.AB.2016                                                              Deckblatt, Seite 2 von 4

Freie und Hansestadt Hamburg                                                      allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                               berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsnlveau                                        Oberstufen Deckblatt ^(^^SwaSBi,    liBi'i W^i^ttSiiiSSSSit                    MiBii|li®i|giili8g|i§äiiiigl entscheiden       II    Bei Alternativen sich begrün-    Entscheiden Sie, für welchen der beiden det und eindeutig auf eine       Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Möglichkeit festlegen.           Entscheiden Sie, welche der Ihnen bekann- ten Verteilungen auf die Problemstellung passt. ergänzen,          I    Tabellen, Ausdrücke, gra-        Ergänzen Sie die Tabelle der Funktionswer- vervoll-                fische Darstellungen oder        te. ständigen,              Aussagen nach bereits vorlie-    Vervollständigen Sie die Zeichnung mit eintragen               genden Kriterien, Formeln        den in der Aufgabenstellung gegebenen oder Mustern füllen.             Punkten. Tragen Sie den Winkel O! in Ihrer Skizze ein. erläutern      ii-in    Einen mathematischen Sach-       Erläutern Sie den Begriff „exponentielles verhalt nachvollziehbar und      Wachstum". verständlich näher erklären und durch Beispiele veran- schaulichen; Einschränkun- gen wie Z.B. „Erläutern Sie im gegebe- nen Sachkontext..." sind möglich. erstellen          I    Einen Sachverhalt in über-       Erstellen Sie eine Wertetabelle für die sichtlicher, meist fachlich     Funktion. üblicher oder vorgegebener Form darstellen. herleiten      n~in     Die Entstehung oder Ent-         Leiten Sie die gegebene Formel für die wicklung eines gegebenen         Stammfunktion her. oder beschriebenen Sachver- halts oder einer Gleichung aus anderen oder aus all- gemeineren Sachverhalten darstellen. inter-         n-iii    Mathematische Objekte            Interpretieren Sie die Lösung des Glei- pretieren               oder Ergebnisse aus einer        chungssystems geometrisch. bestimmten Perspektive deu-      Interpretieren Sie die Bedeutung der Varia- ten.                             ble s vor dem Hintergrund des Sachkontex- tes. skizzieren      l-iT    Die wesentlichen Eigen-          Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der schaften eines Objektes         drei Körper. grafisch darstellen (auch Freihandskizze möglich). untersuchen    ii-in    S ach verhalte nach bestimm-     Untersuchen Sie die Funktion . .. ten, fachlich üblichen bzw.      Untersuchen Sie, ob die Verbindungskurve sinnvollen Kriterien erkun-     ohne Knick in die Gerade einmündet. den und darstellen. vergleichen    n-ni     Nach vorgegebenen oder           Vergleichen Sie die beiden Vorschlä- selbst gewählten Gesichts-      ge ... nach der von den Kurven einge- punkten Gemeinsamkeiten,         schlossenen Fläche. Ähnlichkeiten und Unter- schiede ermitteln und darstel- len. zeichnen,       I-II    Eine hinreichend exakte gra-     Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. grafisch                 fische Darstellung anfertigen.  Stellen Sie die Punkte und Geraden im darstellen                                               Koordinatensystem mit den gegebenen Achsen dar. Mat1-eA.Paket1-AB.2016                                                           Deckblatt, Seite 3 von 4

Freie und Hansestadt Hamburg                                                          allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                   berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                            Oberstufen Deckblatt ^pi^t(wiea:/|;  li?11                                       |fiisBieli^|iI|I|s|Mi®i'?®^^^ zeigen,         n-in     Eine Aussage, einen Sachver-        Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck nachweisen               halt nach gültigen Schluss-         ein Drachenviereck ist. regeln, Berechnungen, Her- leitungen oder logischen Begründungen bestätigen. zuordnen         I-II    Ohne tiefer gehende Erläu-          Ordnen Sie die Graphen den gegebenen terung eine Verbindung zwi-         Gleichungen zu. sehen zwei Listen herstellen. Bewertung Erster Prüfungsteil (hilfsmittelfreier Teil): 20 Punkte (4 Teilauf gaben ä 5 Punkte) Zweiter Prüfungsteil: 100 Punkte (2 komplexe Aufgaben ä 50 Punkte) Insgesamt sind also 120 Punkte erreichbar. Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle. Punkte          Erbrachte       Notenpunkte               Punkte         Erbrachte        Notenpunkte Leistung                                                 Leistung ^ 114           > 95%                15                   ^66             ^55%                 7 ^ 108           > 90%                14                   ^60             ^50%                 6 > 102           > 85%                13                   > 54            > 45%                5 > 96           > 80%                12                   > 48            > 40%                4 > 90           > 75%                11                   > 39            > 33%                3 > 84           ^70%                 10                   ^31             > 26%                2 > 78           ^65%                  9                   ^22             ^19%                 l ^72.           ^60%                  8                   < 22            < 19%                0 Die Note „ausreichend" (5 Notenpünkte) wird erteilt, wenn annähernd die Hälfte (mindestens 45 <7o) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden ist. Dazu muss mindestens eine Teilaufgabe, die Anfor- derungen im Bereich II aufweist, vollständig und weitgehend richtig bearbeitet worden sein. Die Note „gut" (11 Notenpunkte) wird erteilt, wenn annähernd vier Fünftel (mindestens 75 %) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden sind. Dabei muss die Prüfungsleistung in ihrer Gliederung, in der Gedankenführung, in der Anwendung fachmethodischer Verfahren sowie in der fachäprachlichen Artikulation den Anforderungen voll entsprechen. Ein mit „gut" beurteiltes Prüfungsergebnis setzt voraus, dass neben Leistungen in den Anforderungsbereichen I und II auch Leistungen im Anforde- rungsbereich III erbracht worden sind. Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit sind bei der Bewertung der schriftlichen Prü- fungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text. Mat1-eA.Paket1-AB.2016                                                                Deckblatt, Seite 4 von 4

Freie und Hansestadt Hamburg                                                    allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                             berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                      Oberstufen Aufgabe l Aufgabe l: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil                                                      (20 P) 1.1 Analysis Gegeben sind die Funktionen /„ mit /„ (x) = —a -x • (x —a), wobei x G Iß und a G R>o gilt. a) Geben Sie die Nullstellen der Funktionen fa an.                                                 a P) b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den J fa(x} dx = j gilt.                               (4P) 0 1.2 Analytische Geometrie Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D(0]0|~2),£(2|0|0),F(2|2|0)undß-(0|0|0). Abb. l a) Zeichnen Sie in die Abbildung l die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punktes A an.                                                    (2 P) b) Der Punkt P liegt auf der Kante FB des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.                                                   (3 P) Mat1 -eA-Paket2-AB-2016                                                        Aufgabe l, Seite 1 von 2

Freie und Hansestadt Hamburg                                                     allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                              berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                       Oberstufen Aufgabe l 1.3 Stochastik Ein Basketballspieler wirft 10 Freiwürfe. Die Anzahl seiner Treffer wird mit k bezeichnet und durch die Zufallsgröße X beschrieben. Die Zufallsgröße X wird als binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8 angenom- men. In der Abbildung 2 ist die Wahrscheinlichkeits- Verteilung von X dargestellt.                                0123456789 10 k Abb. 2 a) Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung 2 einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens 8-mal trifft. (2 P) b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen, kleiner als ^ooooo lst ^ ^ 1.4 Analytische Geoemtrie Gegeben sind die Punkte A(-2| l |4) und 5(-4|0|6). a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass gilt: CA = 1 -AB,                            (2 P) b) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten: I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.                                            (3 P) Mat1 -eA-Paket2-AB-2016                                                          Aufgabe l, Seite 2 von 2

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Aufgabe 11.1 Aufgabe 11.1: Elefantengras (50 P) Schwerpunktthema: Analysis 1 Das Elefantengras gewinnt aufgrund seines schnellen Wachstums zunehmend eine Bedeutung als er- neuerbarer Energieträger. Die Pflanzen erreichen in Mitteleuropa während der Sommermonate eine Höhe zwischen drei und vier Metern. In den Wintermonaten wird die Pflanze bodennah abgeerntet, im folgenden Frühling findet dann ein erneutes Wachstum statt. Um genauer analysieren zu können, wie der Ertrag von der BodenbeschafFenheit, dem Klima und der Pflanzensorte abhängt, soll das Pflanzenwachstum durch entsprechende mathematische Modelle be- schrieben werden. In den folgenden Modellierungen steht jeweils t für die Zeit in Tagen, beginnend am l. Mai um 12:00 Uhr (f = 0). Die Geschwindigkeit, mit der die Pflanzenhöhe h wächst, wird jeweils durch v beschrieben, wobei h in cm und v in c"^Tag angegeben ist. Die entsprechenden Funktionen in verschiedenen Modellierungen werden durch ihren Index unterschieden. In einem Modell A wird für 0 < t < 140 die Funktion VA verwendet mit VA(t} = 0,00001. t3- 0,0028. t2 +0,196. t. a) • Bestätigen Sie, dass die Wachstumsgeschwindigkeit am 16. Mai um 12:00 Uhr im Modell A etwa 2,3 Zentimeter pro Tag beträgt. • Bestätigen Sie, dass das Elefantengras nach dem Modell A zum Zeitpunkt t = 140 nicht wächst. • Bestimmen Sie die maximale Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze im Modell A. • Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze im Modell A am stärksten                              abnimmt.                             (14          P) b) Bestimmen Sie, ausgehend von der Funktion VA , die Funktion HA, die die Höhe des Elefantengrases zum Zeitpunkt t beschreibt. Gehen Sie dabei von einer Anfangshöhe von 0 cm aus. (4 P) (Zur Kontrolle: ^(Q = 7205000 • (3f4 - 1120/3 +117600?2)^ Um beurteilen zu können, inwieweit Modell A für ein bestimmtes Feld eine angemessene Beschreibung liefert, soll die jeweilige Pflanzenhöhe AA(Q zu verschiedenen Zeitpunkten t mit Messwerten auf dem Feld verglichen werden. Auf dem Feld wurden folgende Messwerte ermittelt: t in Tagen ab l. Mai um 12:00 Uhr    0           10        50         140 gemessene Höhe h in Zentimetern      0          9           142      315 Das Modell A wird als angemessen angesehen, wenn die berechnete Höhe nicht mehr als 4 °!o von der ge- messenen Höhe abweicht. c) Bestätigen Sie, dass die Funktion AA eine angemessene Modellierung der Pflanzenhöhe darstellt. (6 P) Mat1 -eA.Paket3-AB-2016 Aufgabe 11.1 , Seite 1 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                     allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                              berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                       Oberstufen Aufgabe 11.1 Im Folgejahr soll das Wachstum durch Düngung gesteigert werden. Die Düngung erfolgt am 16. Mai um 12:00 Uhr. Die Höhe der Pflanze soll von diesem Zeitpunkt an bis zum Zeitpunkt t = 140 durch eine andere ganzrationale Funktion vierten Grades hß beschrieben werden. Folgende Bedingungen soll die Funktion hß erfüllen: l. Der Graph der Funktion /IA soll zum Zeitpunkt der Düngergabe lückenlos und knickfrei in den Graphen der Funktion hg übergehen. 2. Die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze beträgt am 31. Mai (( = 30) durch die Düngergabe 10 % mehr als im Modell A. 3. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist bei t = 140 gleich 0. d) • Geben Sie die obigen Bedingungen in Form von Gleichungen an, welche die Funktion hg erfüllen muss. • Begründen Sie, dass die Bedingungen nicht ausreichen, um die Funktion hg eindeutig zu bestimmen. • Zusätzlich wird folgende Annahme getroffen: Aß(140) = h^{HO) + 6. Interpretieren Sie diese Annahme im Sachkontext. (9 P) Die ursprüngliche Funktionsgleichung von VA soll variiert werden, um das Wachstum des Elefantengra- ses unter veränderten klimatischen Bedingungen zu modellieren. Zunächst werden vier Varianten Y| , v^ v^ und ^4 betrachtet, deren Graphen im Koordinatensystem dargestellt sind. Zum Vergleich wurde auch der Funktionsgraph der ursprünglichen Wachstumsfunktion VA gestrichen mit eingezeichnet, Wachstumsgeschwindigkeit v, (?)    = 2. VA (?) ';2(?)   =VA(t)+5 V3(?)     =VA(r-20) V4(?)    = VA (2 -t) Zeit e) • Ordnen Sie jedem der vier Funktionsgraphen eine der Funktionsgleichungen zu. Tragen Sie die entsprechenden Funktionsbezeichnungen in die Kästchen ein. • Interpretieren Sie jeweils die Veränderungen gegenüber der ursprünglichen Wachstumsfunktion im Sachkontext. • Die Funktion V5 beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit von Elefantengras in einem anderen Klima. Dabei wird angenommen, dass das Elefantengras 40 Tage länger wächst und dennoch dieselbe Gesamthöhe wie im bisherigen Modell A erreicht. Bestimmen Sie die entsprechende Funktionsgleichung von vs unter Verwendung von VA. (12 P) Mat1-eA-Paket3.AB.2016                                                        Aufgabe 11.1, Seite 2 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsnlveau Oberstufen Aufgabe 11.1 Um die Erträge beim Anbau von Elefantengras zu steigern, werden neue Sorten gezüchtet. Diese haben die Eigenschaft, schneller zu wachsen. Allerdings sind sie temperaturempfindlicher, sodass sie ihr Wachstum früher einstellen. Das Wachstum einer neuen Sorte wird innerhalb der ersten 60 Tage, also für 0 < / < 60, hinreichend genau durch das ursprüngliche Modell A mit VA beschrieben. Anschließend kann die Wachstumsgeschwindigkeit durch eine Funktion ve mit ve (?)= 0,4957- für 60 < t < 120 beschrieben werden. f) • Weisen Sie nach, dass die Funktion Ve mit Vc{t) = —y^i     • (120—?)2 eine Stammfunktion der 15000 Funktion ve ist. 120 . 140 7\.(/)dt-;v,(()dt Die Größe R = M — ^ —w- ——— dient dazu, das Wachstum der neuen Sorte mit dem der alten T"A(I) dt 60 Sorte zu vergleichen. Berechnen Sie den Wert von R und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang. (5 P) Mat1 -eA-Paket3-AB-2016 Aufgabe 11.1 , Seite 3 von 3

Freie und Hansestadt Hamburg                                                         allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung                                                  berufliche gymnasiale Abitur 2016 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                           Oberstufen Aufgabe 11.2 Aufgabe 11.2: Rutsche                                                                               (50 P) Schwerpunktthema: Analysis 2 Ein bayrisches Erholungsgebiet hat seit vielen Jahren mit schwindenden Urlauberzahlen zu kämpfen. Um vor allem jüngeres Publikum anzulocken, will die Betreiberin eines Freibades als Marketingaktion eine fest installierte große Rutsche bauen, über die man in ein Schwimmbecken fliegen kann. Das Seitenprofil der geplanten Rutsche kann mit der Funktion / mit f(x) = 2. e^-? +2. e-t^+5 - 3, x G [0; 20] beschrieben werden (siehe Abbildung 2 in der Anlage). Dabei ist x die horizontale Entfernung vom Fuß- punkt des Startpunktes der Rutsche in m und f(x) die Höhe der Rutsche in Metern über dem Erdboden bzw. der Wasseroberfläche des Schwimmbeckens. Im Folgenden werden die Bauform und die Eigenschaften der Rutsche näher untersucht. a) Bestätigen Sie, dass die Rutsche an ihrem Startpunkt eine Höhe von 9,4 m aufweist.                    (3 P) Das Rutschvergnügen hängt vom lokalen Gefalle der Rutsche ab. Gemäß der Planung soll die Rutsche an keiner Stelle mehr als 60° bezogen auf die Horizontale abfallen. b) • Bestätigen Sie, dass f'[x) = ^ • e?Jf-? - ^ . e-i'-x+? die Ableitung von / ist. • Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung vom Beginn der Rutsche bis zu deren niedrigsten Punkt. • Bestätigen Sie, dass die vorliegende Funktion / keinen Wendepunkt besitzt. • Begründen Sie mithilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse und des Funktionsgraphen, dass die Rutsche am Startpunkt das größte Gefalle aufweist. Untersuchen Sie, ob die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt ist. (14 P) Eine solche Rutschenanlage ermöglicht verschiedene Spaß-Events und Wettbewerbe. Zu diesen Veranstaltungen sollen die senkrechten Sei- tenflächen als Werbefläche vermietet werden. Hierbei richtet sich die Bezahlung nach de'r Größe der Werbefläche. Die maximal vorhandene Werbefläche besteht aus den beiden Seitenflächen sowie den beiden Stirnflächen der Rutsche (siehe rechts Abbildung l). c) Berechnen Sie, ausgehend von einer Rutschenbreite von 4 m, wie viel Werbefläche über die komplette Rutschenlänge von 20 m zur                      20m Verfügung steht (siehe Abbildung 2 in der Anlage). (8 P) Abb. l Mat1-eA.Paket3-AB-2016                                                            Aufgabe 11.2, Seite 1 von 3