CAS-Mat1-eA-2.1-3.1-LM-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg
Behörde für Schule und Berufsbildung
Schriftliche Abiturprüfung
Schuljahr 2017/2018
CAS Mathematik
auf erhöhtem Anforderungsniveau
an allgemeinbildenden gymnasialen Oberstufen
Haupttermin
Mittwoch, 2. Mai 2018, 9:00 Uhr
Unterlagen für die Lehrerinnen und Lehrer
Wahlschwerpunkt Lineare Algebra
Diese Unterlagen sind nicht für die Prüflinge bestimmt.
Diese Unterlagen enthalten:
1. Allgemeines
2. den Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht
3. Hinweise für die Auswahl der Aufgaben
4. Hinweise für das Korrekturverfahren
5. den Erwartungshorizont und die Bewertungskriterien für jede Aufgabe
1. Allgemeines1
Weisen Sie bitte die Schülerinnen und Schüler auf die allgemeinen Arbeitshinweise am Anfang der
Schülermaterialien hin.
Die Schülerinnen und Schüler kennzeichnen alle Prüfungsunterlagen mit ihrem Namen.
Die Arbeitszeit einschließlich der Auswahlzeit beträgt insgesamt 330 Minuten.
Erlaubte Hilfsmittel:
– Computeralgebrasystem (CAS). Das Computeralgebrasystem muss sich im Auslieferungszustand, ggf.
aktualisiert durch Updates des Betriebssystems, befinden. Dies wird in der Regel durch ein RESET
erreicht. Bei Systemen, bei denen eine Nachinstallation von speziellen Stochastikprogrammen des
Herstellers nötig war, müssen diese nach dem RESET erneut installiert sein.
– Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv“ (Cornelsen-Verlag ISBN 3-464-57144-0 oder
ISBN 978-3-464-57144-6), Rechtschreibwörterbuch.
1 Hinweisezu den Erleichterungen für neu zugewanderte Schülerinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der
deutschen Sprache finden sich auf S 2.
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Erleichterungen für neu Zugewanderte
Entsprechend der „Richtlinie über die Gewährung von Erleichterungen für neu zugewanderte Schüle-
rinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der deutschen Sprache“ (MBlSchul Nr. 08,
7. Oktober 2016, S. 60) werden für die betroffenen Prüflinge die folgenden Erleichterungen gewährt:
Die Bearbeitungszeit wird um 30 Minuten auf 360 Minuten erhöht.
Ein nicht-elektronisches Wörterbuch Deutsch – Herkunftssprache / Herkunftssprache – Deutsch wird
bereitgestellt.
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2. Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht
Bitte umgehend ausfüllen und
a) an die Schule faxen1 , die die externe Zweitdurchsicht übernimmt,
oder ggf.
b) an die Kollegin/den Kollegen geben, die/der die interne Zweitdurchsicht übernimmt.
Information für die Zweitdurchsicht
Fach:
CAS Mathematik
auf erhöhtem Anforderungsniveau Kurs-Nummer:
Bearbeitet wurden die folgenden Aufgaben:
Aufgaben-Nr. Anzahl
I.4.1 von Prüflingen
I.4.2 von Prüflingen
I.4.3 von Prüflingen
Der gewählte Wahlschwerpunkt in der Aufgabe III: x Lineare Algebra
Analytische Geometrie
1 Faxnummern siehe: https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/
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3. Aufgabenauswahl
Sie erhalten vier Aufgaben:
I (hilfsmittelfreier Teil) und II (Analysis), III (Lineare Algebra) und IV (Stochastik).
Sie reichen zuerst Aufgabe I an die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung weiter.
Die Schülerinnen und Schüler wählen eine der Unteraufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 aus. Die Unterauf-
gaben I.1, I.2 und I.3 müssen bearbeitet werden, insgesamt also vier Unteraufgaben von Aufgabe I.
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgabe I ohne Unterstützung durch Formelsammlung
und CAS-System.
Nach Abgabe der Aufgabe I und der zugehörigen Lösungen geben Sie den Schülerinnen und Schülern
das CAS-System, die Formelsammlung und die restlichen drei Aufgaben II, III und IV.
Weisen die Schülerinnen und Schüler bitte darauf hin, die Vollständigkeit der Unterlagen zu überprüfen.
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die restlichen drei Aufgaben in der restlichen Arbeitszeit.
4. Korrekturverfahren
Die Korrekturen werden gemäß der gültigen „Richtlinie für die Aufgabenstellung und Bewertung der
Leistungen in der Abiturprüfung“ (Abiturrichtlinie) vorgenommen.
Die für den Unterricht zuständige Lehrkraft korrigiert die Arbeiten unter Kennzeichnung ihrer Vorzüge
und Mängel, der richtigen Lösungen und der Fehler, bewertet jede Arbeit mit einer Punktzahl und
fertigt ein Gutachten an. Die Randbemerkungen der Referentin/des Referenten sind Teil des Gutachtens.
Auf diese kann im Gutachten Bezug genommen werden. Jede Arbeit wird sodann von einer zweiten
Fachlehrkraft – i. d. R. einer Lehrkraft der gleichen Schule – durchgesehen, die sich entweder der
Bewertung durch die für das Fach zuständige Lehrkraft anschließt oder ein ergänzendes Gutachten mit
abweichender Bewertung anfertigt (siehe Erstkorrekturbogen und Zweitdurchsichtbogen).
Der Zweitdurchsichtbogen wird nur dann angelegt, wenn die Bewertung der Zweitdurchsicht um mindes-
tens einen Notenpunkt abweicht. Beträgt die Differenz der im Erstgutachten und in der Zweitdurchsicht
erteilten Punktzahlen mehr als drei Punkte wird ein Drittgutachten angefertigt (Drittkorrekturbogen).
Die Bewertungsbögen sind als Download hier zu finden:
https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/3834884/artikel-rueckmelde-bewertungsboegen/
Benutzername: bsb.hera@HH; Passwort: zentralepruefungen
Zu den Zeitvorgaben, den Warnmeldungen, der externen Zweitdurchsicht und dem weiteren Verlauf des
Verfahrens siehe den „Ablaufplan für die Durchführung der schriftlichen Prüfungen“ (veröffentlicht:
https://www.hamburg.de/bsb/hera/).
Beispiel – Bewertungsbögen
Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Eko Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Zdu Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Dko Mat
Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA
Schülername Schülername Schülername
Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer
Aufgaben
BWE pro
Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe Erstkorrekturbewertung und Zweitdurchsichtbewertung weichen mehr als drei Notenpunkte
II.2)
Aufgabe Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin/des Erstkorrektors nicht an.
(nicht verwendete Felder bitte durchstreichen) voneinander ab.
I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgaben
I Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
BWE pro Die Drittkorrektur erfolgt aus anderen Gründen (Gründe bitte im Gutachten kurz benennen).
Aufgabe
II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
Aufgaben
BWE pro
Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgabe
II I II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3
I
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
II 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
III 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
II
1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
III
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
III
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
Summe der BWE
IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j)
3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
Bewertungstext 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j)
IV
Summe der BWE 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j)
Bewertungstext
Summe der BWE
Bewertungstext
Notenpunkte
Notenpunkte
Datum/Unterschrift/Erstkorrektor/in:___________________________________________________
Stellungnahme der Zweitkorrektorin/des Zweitkorrektors Notenpunkte
Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________
Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors an.
Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors nicht an. Der Datum/Unterschrift/Drittgutachter/in: ___________________________________________________
Bewertungsbogen Zweitdurchsicht (BeBo Zdu) liegt bei.
Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________
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5. Erwartungshorizont und Bewertung
I. Hinweise zur Bewertung
Prüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil): 20 Bewertungseinheiten (BE)
Prüfungsteil B: 100 BE (3 komplexe Aufgaben, Aufgabe II mit 50 BE, Aufgabe III mit 25 BE und Aufgabe
IV mit 25 BE)
Insgesamt sind 120 BE erreichbar.
Es dürfen auch halbe Bewertungseinheiten vergeben werden.
Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle.
Notenpunkte mindestens zu Notenpunkte mindestens zu
erreichender Anteil an erreichender Anteil an
den insgesamt zu den insgesamt zu
erreichenden erreichenden
Bewertungseinheiten Bewertungseinheiten
15 95 % 7 55 %
14 90 % 6 50 %
13 85 % 5 45 %
12 80 % 4 40 %
11 75 % 3 33 %
10 70 % 2 27 %
9 65 % 1 20 %
8 60 % 0 0%
Für die Erteilung der Note „ausreichend“ (5 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerin-
nen und Schüler annähernd die Hälfte der erwarteten Gesamtleistung und über den Anforderungsbereich I
hinaus Leistungen in einem weiteren Anforderungsbereich erbracht haben.
Für die Erteilung der Note „gut“ (11 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerinnen
und Schüler annähernd vier Fünftel der erwarteten Gesamtleistung sowie Leistungen in allen drei
Anforderungsbereichen erbracht haben.
Die erbrachte Gesamtleistung ergibt sich aus der Summe der Bewertungseinheiten in den vier Aufgaben.
Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit und der äußeren Form sind bei der Bewertung
der schriftlichen Prüfungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte
abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in
Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text.
II. Erwartungshorizont
Bei den auf den folgenden Seiten dargestellten erwarteten Schülerleistungen handelt es sich um Lösungs-
skizzen. Oft sind aber Lösungsvarianten möglich, die in der Skizze nur zum Teil beschrieben werden
konnten. Grundsätzlich gilt deshalb, dass alle Varianten, die zu richtigen Lösungen führen, mit voller
Punktzahl bewertet werden, unabhängig davon, ob die gewählte Variante in der Lösungsskizze aufgeführt
ist oder nicht.
Kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise an die korrigierenden Lehrkräfte. Sie sind nicht Bestandteile der
erwarteten Schülerleistung.
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Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
Lösungsskizze BE
I.1 Analysis
a) Es ist f 0 (x) = −3x2 + 6x − 2. 2
Damit ist f 0 (1) = −3 · 12 + 6 − 2 = 1.
b) Die Anzahl der Schnittpunkte ist 3 für m < 1 und 1 für m ≥ 1. 3
I.2 Lineare Algebra
Aus der Abbildung geht hervor, dass M = 0,5 1 ist.
a) 3
0,5 0
0,5 1 0,5 1
Daraus folgt M = 0,5 0 · 0,5 0 = 0,75 0,5 .
2
0,25 0,5
b) Alternative Lösungen: 2
a
1. Der Ansatz M 2 · xy = bn+2 liefert ein lineares Gleichungssystem mit zwei
n+2
Gleichungen und den zwei Variablen x,y , welche für die Komponenten von →
−
vn
stehen. Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.
Hinweis: Betrachtungen über die Lösbarkeit oder die Bedingungen x, y ∈ [0; 1]
und x + y = 1 werden nicht erwartet.
2. Man bestimmt die zu M 2 inverse Matrix und multipliziert diese mit −
v−→
n+2 .
Hinweis: Eine Beschreibung, wie die inverse Matrix zu bestimmen wäre, wird
nicht erwartet.
I.3 Stochastik
a) Abbildungen 3 und 5. 3
Abbildung 3 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht dar, weil X keine Werte
über 10 annehmen kann. Abbildung 5 stellt sie nicht dar, weil nach dieser Abbildung die
Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten größer als 1 wäre.
b) Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt p = 0,5. 2
Also ist n · 0,5 = 8 und damit n = 16.
I.4.1 Analysis
4
a) Es ist p = f (0,5) = 0,52
= 16. 2
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Lösungsskizze BE
b) Eine mögliche Skizze: 3
y
5
4
3
2
Q
1
1 2 3 4 5 x
Es ist f 0 (x) = − x83 .
Nach Voraussetzung ist f 0 (u) = −1, also ist − u83 = −1 und damit u = 2.
Es ist f (2) = 1, also Q(2|1).
I.4.2 Lineare Algebra
−1 0 · a = −a , d. h. P0 (−a|b)
a) 0 1 b b 2
Die x-Koordinate von P0 ist die Gegenzahl der x-Koordinate von P, die y-Koordinate von
P0 stimmt mit der von P überein.
Dies entspricht der Spiegelung von P an der y-Achse.
Die Spiegelung von P an der x-Achse ließe sich durch M = 10 −1 0 beschreiben. Die
b) 3
Koordinaten von P0 gehen jeweils aus der entsprechenden Koordinate von P∗ durch
Multiplikation mit 2 hervor. Damit wird die Zuordnung von P zu P0 durch M = 20 −20
beschrieben.
I.4.3 Stochastik
Es ist E(X) = 13 · 3 + 14 · 4 + 1 − 31 − 14 · 5 = 49
a) 12 . 2
b) Der kleinste Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 5) = 16 . 3
Dann ergibt sich P (Y = 4) = 1 − 13 − 16 = 21 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 12 + 5 · 61 = 23
6.
1
Der größte Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 4) = 6 .
Dann ergibt sich entsprechend P (Y = 5) = 12 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 61 + 5 · 21 = 25 6 .
Für den Erwartungswert kommen alle Werte von 23 6 bis 25
6 infrage.
Hinweis: Ein Argument, dass der Erwartungswert mit zunehmendem P (Y = 5) monoton
steigt, wird nicht erwartet.
Insgesamt (Bei Bearbeitung einer der Aufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3) 20
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Standardbezug zur Aufgabe „Hilfsmittelfreier Prüfungsteil“
Teil- BE Leitideen allgemeine mathematische Anforderungs-
aufg. Kompetenzen bereich
L1 L2 L3 L4 L5 K1 K2 K3 K4 K5 K6 I II III
1 a) 2 X X I 2
b) 3 X X II II II 3
2.1 a) 3 X I II I 2 1
b) 2 X II II I 2
3 a) 3 X X II I 1 2
b) 2 X X X II II I 2
4.1 a) 2 X X III III I 1 1
b) 3 X X X X III III II 1 2
4.2 a) 2 X X II I 1 1
b) 3 X X III III III 3
4.3 a) 2 X X X II I 2
b) 3 X X X III III II 3
Bei Bearbeitung der Aufgabe I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 erhält man den folgenden Anteil der Bewertungseinhei-
ten:
Anteil der Bewertungseinheiten in Prozent im
Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II Anforderungsbereich III
(15 % - 35 %) (45 % - 70 %) (15 % - 20 %)
30 % 55 % 15 %
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Aufgabe II: Diabetes
Schwerpunktthema: Analysis
Lösungsskizze BE
1.a) Gesucht sind die Extremstellen von f . 5
Notwendige Bedingung für Extremstellen:
f 0 (x) = 0
Lösungen: x1 = 20, x2 = 100 und x3 = 200.
Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt:
f 00 (20) < 0, f 00 (100) > 0 und f 00 (200) < 0
Damit gibt es die beiden Hochpunkte (20|154,54) und (200|193,33) sowie den Tiefpunkt
(100|106,67).
b) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|140) 4
Da lim f (x) = −∞ gilt und die y-Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von f positiv
x→±∞
ist, hat f genau zwei Nullstellen.
c) Die Gleichung f (x) = f (x + 60) hat für 50 < x < 130die Lösung x ≈ 69,2. 4
Die gesuchten x-Werte sind x ≈ 69,2 und x ≈ 129,2, der zugehörige Funktionswert etwa
120,2.
(Ein Hinweis darauf, dass 50 < 129,2 < 130 erfüllt ist, wird wegen Offensichtlichkeit
nicht erwartet.)
d) Für 50 < x < 130 gibt es ein Paar von x-Werten mit übereinstimmenden Funktionswerten. 3
Da die Funktion f ganzrational ist, liegt zwischen diesen mindestens eine Extremstelle.
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Lösungsskizze BE
e) Eine nicht nötige Skizze: 4
y
200
160
120
80 A1 A2
40
40 80 120 k 160 200 240 x
Es ist ein k gesucht, sodass die Flächen A1 und A2 gleich groß sind.
Dieses k ermittelt man mit:
Rk 240
f (x) dx = 21 ·
R
f (x) dx
0 0
Die Gleichung liefert für 0 < k < 240 den Wert k ≈ 135,5.
Die gesuchte Gerade wird mit x = 135,5 beschrieben.
f) 4
y
200
160
120
80 A3 A4 A5
40
40 80 120 160 200u 240 x
Es gilt A4 + A5 = 23 (A3 + A4 + A5 )
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