CAS-Mat1-eA-Paket2.2-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe I
Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
I.1 Analysis
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = −x3 + 3x2 − 2x und x ∈ R. Die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen
G f , der bei x = 1 den Wendepunkt W hat.
y
Gf
x
Abb. 1
a) Zeigen Sie, dass die Tangente an G f im Punkt W die Steigung 1 hat. (2 BE)
b) Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die durch W verlaufen.
Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit G f in Abhängigkeit von m an. (3 BE)
I.2 Analytische Geometrie
3 3
Gegeben sind die Geraden g :~x = −3 + r · 0 mit r ∈ R
3 −1
3 1
und h :~x = −3 + s · 0 mit s ∈ R.
3 3
a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h an.
Zeigen Sie, dass g und h senkrecht zueinander verlaufen. (2 BE)
b) Die Ebene E enthält die Geraden g und h.
Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform. (3 BE)
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Abitur 2018 CAS Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe I
I.3 Stochastik
a) Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,8. Eine der folgenden Abbildungen stellt
die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dar.
P(X = k) P(X = k)
0,3 0,3
0,2 0,2
0,1 0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k
Abb. 2 Abb. 3
P(X = k)
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k
Abb. 4
Geben Sie die beiden Abbildungen an, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht darstellen.
Begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
b) Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Y mit den Parametern n und p. Es gilt:
Der Erwartungswert von Y ist 8.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y ist symmetrisch.
Ermitteln Sie den Wert von n. (2 BE)
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Aufgabe I
I.4.1 Analysis
4
Die Abbildung 5 zeigt den Graphen G f der in R\ {0} definierten Funktion f : x 7→ x2
.
G f ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
y
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 x
Abb. 5
a) Die Gerade, die parallel zur x-Achse durch den Punkt P (0|p) verläuft, schneidet G f in zwei Punkten.
Der Abstand dieser beiden Schnittpunkte ist 1.
Berechnen Sie den Wert von p. (2 BE)
b) Die Koordinatenachsen schließen mit der Tangente an G f in einem Punkt Q (u| f (u)) mit u > 0 ein
gleichschenkliges Dreieck ein.
Berechnen Sie die Koordinaten von Q. (3 BE)
I.4.2 Analytische Geometrie
Der Punkt P (0|1|5) ist Eckpunkt
eines Quadrats. Orthogonal zu der Ebene, in der dieses Quadrat liegt, ver-
5 1
läuft die Gerade g :~x = 4 + t · 0 mit t ∈ R.
1 0
a) Begründen Sie, dass das Quadrat in der yz-Ebene liegt. (2 BE)
b) Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats liegt auf der Gerade g, der Punkt Q (0|8|4) in
der yz-Ebene.
Zeigen Sie, dass Q einer der beiden Eckpunkte des Quadrats ist, die dem Eckpunkt P benachbart sind.
(3 BE)
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Aufgabe I
I.4.3 Stochastik
Die Zufallsgrößen X und Y können jeweils die Werte 3, 4 und 5 annehmen.
a) Für die Zufallsgröße X gilt:
1
P (X = 3) = 3 und
1
P (X = 4) = 4.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. (2 BE)
b) Für die Zufallsgröße Y gilt:
P (Y = 3) = 13 ,
1
P (Y = 4) ≥ 6 und
1
P (Y = 5) ≥ 6.
Bestimmen Sie alle Werte, die für den Erwartungswert von Y infrage kommen. (3 BE)
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