CAS-Mat1-eA-Paket3.2-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Diabetes
Schwerpunktthema: Analysis
Gegeben ist die Funktion
1 4 4 3 13 2 8
f : x 7→ − 6
x + x − x + x + 140
10 9375 250 5
mit Definitionsbereich R.
1. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f und bestimmen Sie die Art
dieser Extrempunkte.
(Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200.) (5 BE)
b) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von f mit der y-Achse an.
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass f genau zwei Nullstellen hat. (4 BE)
c) Für 50 < x < 130 gibt es ein Paar von x-Werten, die sich um 60 unterscheiden und für die die
zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen.
Bestimmen Sie dieses Paar von x-Werten und geben Sie den zugehörigen Funktionswert an.
(4 BE)
d) Begründen Sie, dass sich aus den Informationen aus Teilaufgabe 1.c) schließen lässt, dass f für
50 < x < 130 mindestens eine Extremstelle hat. (3 BE)
Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen und der Gerade mit der Gleichung x = 240 ein
Flächenstück ein.
e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und dieses Flächenstück
halbiert. (4 BE)
f) Die folgende Aussage bezieht sich auf eine zweite Gerade, die das Flächenstück teilt:
240 240
Für u ≈ 217 gilt: 12 · u · f (u) + f (x) dx = 23 ·
R R
f (x) dx
u 0
Veranschaulichen Sie die Aussage unter Verwendung einer geeigneten Skizze. (4 BE)
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Aufgabe II
2. Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren
Glukosewert, d. h. die Konzentration der Glukose im Blut, ständig zu messen.
Die gegebene Funktion f beschreibt für 0 ≤ x ≤ 240 modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts
eines Patienten. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und f (x) der
Glukosewert in Milligramm pro Deziliter (mg/dl). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von f .
y
200
160
120
80
40
40 80 120 160 200 240 x
Abb. 1
a) Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor.
Ermitteln Sie für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über 170 mg/dl gemessen
wurden. (3 BE)
b) Berechnen Sie für den betrachteten Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am
stärksten ansteigt. (4 BE)
c) Veranschaulichen Sie jeden der folgenden Terme in der Abbildung 1 durch eine Gerade und geben
Sie jeweils die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an:
f (100)− f (20) f (60)− f (x)
I 100−20 II lim 60−x
x→60
(4 BE)
d) Ermitteln Sie für den betrachteten Zeitraum, wie lange die momentane Änderungsrate des
Glukosewerts insgesamt zwischen −0,3 mg/dl pro Minute und +0,3 mg/dl pro Minute lag. (4 BE)
e) Der Mittelwert der Funktionswerte von f für x ∈ [a; b] kann mit dem folgenden Term berechnet
werden:
Zb
1
· f (x) dx
b−a
a
Berechnen Sie damit für den Zeitraum von 20 Minuten bis 100 Minuten nach Beobachtungsbeginn
den Mittelwert aller Glukosewerte.
Bestimmen Sie dessen prozentuale Abweichung vom Durchschnittswert derjenigen Glukosewerte,
die in diesem Zeitraum im Abstand von jeweils zehn Minuten, beginnend mit dem Zeitpunkt
20 Minuten nach Beobachtungsbeginn, gemessen wurden. (5 BE)
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Aufgabe II
Zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich.
Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion g beschrie-
ben werden, die folgende Bedingung erfüllt:
Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn
für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhän-
gig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion f oder mithilfe der Funktion g ermittelt
werden.
Zur Bestimmung eines Funktionsterms von g sollen zunächst die in R definierten Funktionen
hk : x 7→ 50 − 50 · (k · x + 1)2 · e−k·x
mit k ∈ R+ betrachtet werden.
f) Bestimmen Sie den Wert von k so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung
von hk für den Zeitpunkt 0 ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die f für den
Zeitpunkt 240 Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert. (2 BE)
g) Die für die Funktion g angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von g durch eine
308
geeignete Verschiebung aus dem Graphen von hk für k = 3125 hervorgeht.
Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie einen Funktionsterm von g an. (4 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Museum
Schwerpunktthema: Analytische Geometrie
Das Gebäude eines Museums kann modellhaft durch den abgebildeten Körper ABCDEFG dargestellt
werden. Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide DEFG, die untere Etage dem
Körper ABCDEF, der Teil der Pyramide DEFS ist. Die Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, beschreibt
die Horizontale. Das Dreieck DEF liegt parallel zu dieser Ebene.
b G
b
F b
E
b
D
b
C b
B
b
A
b
S
Abb. 1
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte:
A (−5|5|0), B (−5|25|0), D (0|0|15), E (0|30|15), F (−25|5|15) und G (−10|10|35).
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1m in der Realität.
a) Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von S:
0 −5 0 −5
0 + r · 5 = 30 + s · −5 ⇔ r = s = 3
15 −15 15 −15
0 −5 −15
0 + 3 · 5 = 15 , d. h. S (−15|15| − 30)
15 −15 −30
Erläutern Sie das dargestellte Vorgehen. (4 BE)
b) Weisen Sie nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist. (3 BE)
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Aufgabe III
c) Berechnen Sie für das Dreieck DEF die Größe des Innenwinkels bei E sowie die Länge der Höhe zur
Seite EF.
√
(Zur Kontrolle: Es ist hF = 450.) (4 BE)
d) Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die pro 100 m3 Rauminhalt
eine elektrische Leistung von 0,8 Kilowatt benötigt.
Weisen Sie nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von 25 Kilowatt ausreichend ist.
(4 BE)
e) Weisen Sie nach, dass sich die Gerade AG und die Ebene, in der das Dreieck DEF liegt, im Punkt
R − 50 50
7 | 7 |15 schneiden. (3 BE)
f) An einer Metallstange, die durch die Strecke RG dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, dessen
Größe vernachlässigt werden soll. Der Scheinwerfer beleuchtet aus einer Entfernung von 5 m diejenige
Wand, die im Modell durch das Dreieck EFG dargestellt wird.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
(7 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Kunststoffteile
Schwerpunktthema: Stochastik
1. Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die
Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
Farbe Blau Rot Grün
Mittelpunktswinkel 180◦ 120◦ 60◦
Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler
dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird
ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist 16 .
a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden,
ebenfalls 16 beträgt. (2 BE)
b) Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange
Sicht ausgleichen.
Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen. (3 BE)
c) Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei wird der blaue Sektor vergrößert. Die Abbildung 1
zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die drei Drehungen
beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
B 0,036
R R R
2p
p
G G
Abb. 1
Bestimmen Sie die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels. (5 BE)
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Aufgabe IV
2. Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft.
Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
a) 800 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A: „Genau 30 der Teile sind fehlerhaft.“
B: „Mindestens 5% der Teile sind fehlerhaft.“
(3 BE)
b) Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit
davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben.
(4 BE)
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats
vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat.
Daher soll ein Hypothesentest mit einer Stichprobe von 500 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 %
durchgeführt werden. Dabei wird die Nullhypothese wie folgt gewählt: „Der Anteil der fehlerhaften Tei-
le beträgt mindestens 4 %.“
c) Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)
d) Das neue Granulat ist teurer als das vorherige.
Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen
Sie Ihre Angabe. (3 BE)
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