CAS-Mat1-gA-Paket2.1-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf grundlegendem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe I
Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil
I.1 Analysis
Gegeben ist die in R definierte Funktion f : x 7→ 3 − 2 · sin x.
a) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (0| f (0)). (3 BE)
b) Geben Sie den Wertebereich von f an. (2 BE)
I.2 Lineare Algebra
Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere in einem großen, abgeschlossenen
Gebiet. Die Tiere werden maximal drei Jahre alt. In ihrem ersten Lebensjahr werden sie als Jungtiere
bezeichnet, im zweiten als heranwachsende Tiere und im dritten als
erwachsene
Tiere.
J
Die Zusammensetzung der Population kann durch einen Vektor H dargestellt werden, wobei J die
E
Anzahl der Jungtiere, H die Anzahl der heranwachsenden Tiere und E die Anzahl der erwachsenen
Tiere bezeichnet. Die Entwicklung der Population von einem Jahr n zum nächsten lässt sich durch die
Matrix
0 0 200
P = 0,05 0 0
0 0,1 0
und die Gleichung −
v−→ →
−
n+1 = P · vn beschreiben.
a) Geben Sie an, wie viel Prozent der Jungtiere das erste Lebensjahr nicht überleben. (1 BE)
b) Berechnen Sie P2 und beschreiben Sie die Bedeutung des Terms P2 · v~n im Sachzusammenhang.
(2 BE)
1 0 0
c) Es gilt P3 = 0 1 0.
0 0 1
Interpretieren Sie dies im Sachzusammenhang. (2 BE)
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Aufgabe I
I.3 Stochastik
Von acht Karten sind zwei mit „1“, zwei mit „2“, zwei mit „3“ und zwei mit „4“ beschriftet. Die Karten wer-
den gemischt und nacheinander verdeckt abgelegt.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden zuerst abgelegten Karten mit „1“
beschriftet sind. (2 BE)
b) Die Karten werden nacheinander aufgedeckt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens die dritte aufgedeckte Karte mit einer
geraden Zahl beschriftet ist. (3 BE)
I.4.1 Analysis
Ein Behälter enthält zu Beobachtungsbeginn zwei Liter einer Flüssigkeit. Für die anschließenden fünf
Stunden gibt die Funktion f mit f (t) = −t · (t − 4) die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit in Liter
pro Stunde an. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden.
a) Begründen Sie, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach
Beobachtungsbeginn nicht abnimmt. (3 BE)
b) Geben Sie eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungs-
beginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält. (2 BE)
I.4.2 Lineare Algebra
! !
1 1 0 1
a) Für die Matrizen A = und B = mit b ∈ R gilt:
0 0 0 b
!
1 3 + 3b
A2 + 2 · A · B + B2 =
0 b2
Die Gleichung (A + B)2 = A2 + 2 · A · B + B2 ist für genau einen Wert von b erfüllt.
Bestimmen Sie diesen Wert von b. (3 BE)
b) Für die 2 × 2-Matrizen C und D gilt C · D = −D ·C.
Stellen Sie den Term (C + D)2 als Summe dar und vereinfachen Sie diese Summe so weit wie möglich.
(2 BE)
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Aufgabe I
I.4.3 Stochastik
Ein Glücksrad besteht aus einem blauen, einem gelben und einem roten Sektor. Die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass bei einmaligem Drehen „Rot“ erzielt wird, ist 13 .
Bei einem Spiel wird das Glücksrad zweimal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zwei-
mal „Gelb“ erzielt wird, beträgt 14 .
a) Ermitteln Sie für den gelben Sektor die Größe des Mittelpunktswinkels. (2 BE)
b) Beschreiben Sie im gegebenen Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrschein-
lichkeit eines Ereignisses mit dem Term
!
3
10 1 i 8 10−i
∑ · ·
i=0 i 9 9
berechnet werden kann.
Geben Sie dieses Ereignis an. (3 BE)
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