CAS-Mat1-gA-Paket3.1-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf grundlegendem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Papierflieger
Schwerpunktthema: Analysis
Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimm-
ten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhän-
gig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich
verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbil-
dung 1 schematisch dargestellt sind.
Sturzflug (S)
Gleitflug (G)
Parabelflug (P)
Abb. 1
Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung
eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch
den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden.
Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen,
der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).
1. Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in R definier-
ten Funktion s mit s (x) = −x4 + 2x3 + 12 x + 2 beschrieben werden.
a) Geben Sie die Abwurfhöhe an und zeigen Sie, dass die Flugweite etwa 2,27 m beträgt. (3 BE)
b) Zeigen Sie, dass der Papierflieger seine maximale Flughöhe besitzt, wenn seine horizontale
Entfernung vom Abwurfpunkt etwa 1,55 m beträgt.
Geben Sie diese Flughöhe an. (3 BE)
c) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Wendepunkte des Graphen von s und geben Sie die
jeweilige Steigung des Graphen von s in den Wendepunkten an. (4 BE)
d) Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts mit der größeren x-Koordinate im Hinblick auf
die Steigung der Flugkurve des Papierfliegers. (2 BE)
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Aufgabe II
2. Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom
Typ P bewegt.
Er wird in 2 m Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von
2 m vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationa-
ler Funktionen zweiten Grades beschreiben.
a) Begründen Sie, dass die möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell durch den
Punkt (4|2) verlaufen. (2 BE)
b) Zeigen Sie, dass sich alle möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell mithilfe der in R
definierten Funktionen pk mit pk (x) = −0,25k · x2 + k · x + 2 und k ∈ R+ beschreiben lassen.
(5 BE)
c) Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den der Papierflieger eine Flugweite von 6 m hat.
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen p 1 und p 2 . (4 BE)
4 3
d) Allgemein gilt:
Ist ein Kurvenstück Graph einer in [a; b] mit a, b ∈ R definierten Funktion h mit erster Ableitungs-
funktion h0 , so gilt für die Länge L dieses Kurvenstücks:
Zb q
L= 1 + (h0 (x))2 dx
a
Untersuchen Sie rechnerisch, ob p 1 oder p 2 die längere Flugkurve beschreibt. (4 BE)
4 3
e) Bestimmen Sie den Wert von k so, dass der Abwurfwinkel der mithilfe von pk beschriebenen
Flugkurve ebenso groß ist wie der Abwurfwinkel der mithilfe der Funktion s beschriebenen
Flugkurve. (3 BE)
3. Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve soll
2
mithilfe der in R definierten Funktion g mit g (x) = 2e−0,02x +0,1x beschrieben werden.
a) Beurteilen Sie die Eignung von g zur modellhaften Beschreibung der Flugkurve, bezogen auf den
Verlauf des Graphen von g für x → ∞. (3 BE)
b) Die Flugweite beträgt 15,3 m. Der erste Teil der Flugkurve lässt sich mithilfe von g beschreiben. Ab
einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade
dargestellt werden. Dieser zweite Teil der Flugkurve hat eine Länge von 10,6 m.
Bestimmen Sie die horizontale Entfernung des Übergangs vom ersten zum zweiten Teil der
Flugkurve vom Abwurfpunkt und prüfen Sie, ob dieser Übergang ohne Knick erfolgt. (7 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Baumärkte
Schwerpunktthema: Lineare Algebra
In einer Stadt gibt es zwei Baumärkte A und B. Modellhaft soll davon ausgegangen werden, dass von einem
Monat zum nächsten 70 % der Kunden des Baumarkts A und 80 % der Kunden des Baumarkts B wieder beim
selben Baumarkt einkaufen, während die übrigen Kunden zum jeweils anderen Baumarkt wechseln.
a) Ergänzen Sie das folgende Übergangsdiagramm, das den Wechsel der Kunden zwischen den Baumärk-
ten von einem Monat zum nächsten darstellt.
A B
Abb. 1
(1 BE)
b) In einem bestimmten Monat hat der Baumarkt A 4000 Kunden und der Baumarkt B 6000 Kunden.
Ermitteln Sie für jeden der beiden Baumärkte die Anzahl der Kunden, die im folgenden Monat zum
jeweils anderen Baumarkt wechseln.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(3 BE)
In der Stadt eröffnet ein dritter Baumarkt C.
Die Verteilungen
der Kunden auf die Baumärkte A, B und C werden modellhaft durch Vektoren der
a
Form b beschrieben, wobei a die Anzahl der Kunden des Baumarkts A, b die Anzahl der Kunden
c
des Baumarkts B und c die Anzahl der Kunden des Baumarkts C bezeichnet.
Damit kann die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat n zum nächsten durch die Matrix
0,63 0,18 0,3
M = 0,27 0,72 0,45
0,1 0,1 0,25
und die Gleichung M · →
−
vn = −
v−→
n+1 beschrieben werden.
In einem Sommermonat hat der Baumarkt A 3700 Kunden, der Baumarkt B 5100 Kunden und der Baumarkt
C 1200 Kunden.
c) Berechnen Sie die jeweilige Anzahl der Kunden der Baumärkte zwei Monate vor dem beschriebenen
Sommermonat. (3 BE)
d) Berechnen Sie für den Monat, der dem beschriebenen Sommermonat folgt, die jeweilige Anzahl der
Kunden in den drei Baumärkten.
Geben Sie den prozentualen Anteil der Kunden des Baumarkts C an der Gesamtzahl der Kunden der
drei Baumärkte an. (3 BE)
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Aufgabe III
e) Geben Sie an, für welchen der drei Baumärkte der Anteil der Kunden, die von einem Monat zum
nächsten zu einem anderen Baumarkt wechseln, am kleinsten ist.
Nennen Sie den zugehörigen Anteil. (2 BE)
f) Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms M · M · M im Sachzusammenhang. (2 BE)
Der Baumarkt C muss befürchten, den für seinen wirtschaftlichen Erfolg notwendigen Anteil von 25 %
der Kunden aller drei Baumärkte nicht zu erreichen. Der Baumarkt führt deshalb Rabattaktionen durch,
mit deren Hilfe Kunden gebunden werden sollen. Ab dem Monat, in dem die Aktionen beginnen, lässt
sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten im Modell durch eine Matrix
0,63 0,18 0,4 · (1 − p)
N = 0,27 0,72 0,6 · (1 − p)
0,1 0,1 p
mit p ∈ [0; 1] beschreiben.
g) In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen beträgt die Anzahl der Kunden für den Baumarkt A
3650,38 − 470,6 · p und für den Baumarkt B 5467,27 − 705,9 · p; die drei Baumärkte haben zusammen
10000 Kunden.
Ermitteln Sie, in welchem Bereich der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts C in diesem
Monat liegen kann. (4 BE)
h) In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen hat der Baumarkt A 3556 Kunden, der Baumarkt
B 5326 Kunden und der Baumarkt C 1118 Kunden. Im folgenden Monat hat der Baumarkt C 1112
Kunden.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von p. (2 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Smartphones
Schwerpunktthema: Stochastik
Von allen Jugendlichen eines Landes im Alter von 14 bis 25 Jahren sind 49,20 % weiblich. 47,10 % der Ju-
gendlichen erledigen ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet. Der Anteil
der Jugendlichen, die weiblich sind und ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigen, beträgt 19,68 %.
a) Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel
dar. (3 BE)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte
Person entweder männlich ist oder ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigt. (3 BE)
c) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den weiblichen Jugendlichen
zufällig ausgewählte Person ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet
erledigt, 40 % beträgt. (2 BE)
Es werden 50 weibliche Jugendliche zufällig ausgewählt.
d) Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: „Die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigt Finanzangelegenheiten regelmäßig
mittels Smartphone oder Tablet.“
B: „Mehr als die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigen Finanzangelegenheiten
regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
(4 BE)
e) Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von k, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens
k der 50 ausgewählten weiblichen Jugendlichen Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone
oder Tablet erledigen, mindestens 85 % beträgt. (3 BE)
Aus einer Gruppe von zehn Jugendlichen nutzen für Finanzangelegenheiten vier Personen nur Smartpho-
nes und sechs nur Tablets. Aus dieser Gruppe werden drei Jugendliche zufällig ausgewählt.
f) Begründen Sie, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten Personen,
die für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen, nicht geeignet ist. (2 BE)
g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Personen für
Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen. (3 BE)
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