CAS-Mat1-gA-Paket3.2-A-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende
Behörde für Schule und Berufsbildung gymnasiale
Abitur 2018 CAS Mathematik auf grundlegendem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Papierflieger
Schwerpunktthema: Analysis
Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimm-
ten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhän-
gig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich
verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbil-
dung 1 schematisch dargestellt sind.
Sturzflug (S)
Gleitflug (G)
Parabelflug (P)
Abb. 1
Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung
eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch
den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden.
Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen,
der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).
1. Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in R definier-
ten Funktion s mit s (x) = −x4 + 2x3 + 12 x + 2 beschrieben werden.
a) Geben Sie die Abwurfhöhe an und zeigen Sie, dass die Flugweite etwa 2,27 m beträgt. (3 BE)
b) Zeigen Sie, dass der Papierflieger seine maximale Flughöhe besitzt, wenn seine horizontale
Entfernung vom Abwurfpunkt etwa 1,55 m beträgt.
Geben Sie diese Flughöhe an. (3 BE)
c) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Wendepunkte des Graphen von s und geben Sie die
jeweilige Steigung des Graphen von s in den Wendepunkten an. (4 BE)
d) Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts mit der größeren x-Koordinate im Hinblick auf
die Steigung der Flugkurve des Papierfliegers. (2 BE)
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Aufgabe II
2. Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom
Typ P bewegt.
Er wird in 2 m Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von
2 m vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationa-
ler Funktionen zweiten Grades beschreiben.
a) Begründen Sie, dass die möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell durch den
Punkt (4|2) verlaufen. (2 BE)
b) Zeigen Sie, dass sich alle möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell mithilfe der in R
definierten Funktionen pk mit pk (x) = −0,25k · x2 + k · x + 2 und k ∈ R+ beschreiben lassen.
(5 BE)
c) Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den der Papierflieger eine Flugweite von 6 m hat.
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen p 1 und p 2 . (4 BE)
4 3
d) Allgemein gilt:
Ist ein Kurvenstück Graph einer in [a; b] mit a, b ∈ R definierten Funktion h mit erster Ableitungs-
funktion h0 , so gilt für die Länge L dieses Kurvenstücks:
Zb q
L= 1 + (h0 (x))2 dx
a
Untersuchen Sie rechnerisch, ob p 1 oder p 2 die längere Flugkurve beschreibt. (4 BE)
4 3
e) Bestimmen Sie den Wert von k so, dass der Abwurfwinkel der mithilfe von pk beschriebenen
Flugkurve ebenso groß ist wie der Abwurfwinkel der mithilfe der Funktion s beschriebenen
Flugkurve. (3 BE)
3. Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve soll
2
mithilfe der in R definierten Funktion g mit g (x) = 2e−0,02x +0,1x beschrieben werden.
a) Beurteilen Sie die Eignung von g zur modellhaften Beschreibung der Flugkurve, bezogen auf den
Verlauf des Graphen von g für x → ∞. (3 BE)
b) Die Flugweite beträgt 15,3 m. Der erste Teil der Flugkurve lässt sich mithilfe von g beschreiben. Ab
einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade
dargestellt werden. Dieser zweite Teil der Flugkurve hat eine Länge von 10,6 m.
Bestimmen Sie die horizontale Entfernung des Übergangs vom ersten zum zweiten Teil der
Flugkurve vom Abwurfpunkt und prüfen Sie, ob dieser Übergang ohne Knick erfolgt. (7 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Bohrplattform
Schwerpunktthema: Analytische Geometrie
Die Position einer Bohrplattform im Meer kann in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft
durch den Punkt P (8|43,2|0) dargestellt werden. Die xy-Ebene beschreibt die Wasseroberfläche. Eine
Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität.
Die Besatzungen eines Boots und eines Hubschraubers werden gleichzeitig beauftragt, die Besatzung
der Plattform in einer Notsituation zu unterstützen. Zum Zeitpunkt des Auftrags wird die Position des
Boots durch den Punkt B (13|31,2|0) dargestellt. Unmittelbar anschließend fährt es geradlinig mit der
Geschwindigkeit 52 km/h in Richtung der Plattform.
Die Position des Hubschraubers
kann vom
Zeitpunkt
des Auftrags bis zum Beginn seiner Landephase
0,8 48
durch die Gleichung ~x = 0,3 + t · 286 beschrieben werden. Dabei ist t die Zeit in Stunden, die
0,25 0
seit dem Auftrag vergangen ist. Die Landephase beginnt im Modell im Punkt HL (7,76|41,77|0,25)
a) Veranschaulichen Sie die Positionen der Plattform, des Boots und des Hubschraubers zum Zeitpunkt
des Auftrags – unter Vernachlässigung der Flughöhe des Hubschraubers – in der xy-Ebene. (2 BE)
b) Begründen Sie, dass der Hubschrauber bis zur Landephase parallel zur Wasseroberfläche fliegt, und
geben Sie seine Flughöhe über der Wasseroberfläche an. (2 BE)
c) Begründen Sie, dass die Position des
Boots vomZeitpunkt
des Auftrags bis zum Erreichen der
13 −20
Plattform durch die Gleichung ~x = 31,2 + t · 48 beschrieben wird, wobei t die seit dem
0 0
Auftrag vergangene Zeit in Stunden ist. (4 BE)
d) Ermitteln Sie, wie viel Zeit ab dem Zeitpunkt des Auftrags vergeht, bis das Boot die Plattform erreicht.
(2 BE)
0,8 13 48 −20
e) Betrachtet wird die Funktion e mit e (t) = 0,3 − 31,2 + t · 286 − 48 und
0,25 0 0 0
0 < t < 0,145.
Bestimmen sie denjenigen Wert von t, für den die Funktion e ihren kleinsten Wert annimmt, und
beschreiben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang. (4 BE)
f) Der Hubschrauber bewegt sich während seiner Landephase mit verringerter Geschwindigkeit geradlinig
auf die horizontale Landefläche der Plattform zu, die im Modell durch den Punkt L (8|43,2|0,06)
dargestellt wird.
Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn während der Landephase gegenüber der
Horizontalen. (3 BE)
g) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform, in der sich der Hubschrauber vom
Auftrag bis zur Landung im Modell bewegt. (3 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Smartphones
Schwerpunktthema: Stochastik
Von allen Jugendlichen eines Landes im Alter von 14 bis 25 Jahren sind 49,20 % weiblich. 47,10 % der Ju-
gendlichen erledigen ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet. Der Anteil
der Jugendlichen, die weiblich sind und ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigen, beträgt 19,68 %.
a) Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel
dar. (3 BE)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte
Person entweder männlich ist oder ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigt. (3 BE)
c) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den weiblichen Jugendlichen
zufällig ausgewählte Person ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet
erledigt, 40 % beträgt. (2 BE)
Es werden 50 weibliche Jugendliche zufällig ausgewählt.
d) Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: „Die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigt Finanzangelegenheiten regelmäßig
mittels Smartphone oder Tablet.“
B: „Mehr als die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigen Finanzangelegenheiten
regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
(4 BE)
e) Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert von k, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens
k der 50 ausgewählten weiblichen Jugendlichen Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone
oder Tablet erledigen, mindestens 85 % beträgt. (3 BE)
Aus einer Gruppe von zehn Jugendlichen nutzen für Finanzangelegenheiten vier Personen nur Smartpho-
nes und sechs nur Tablets. Aus dieser Gruppe werden drei Jugendliche zufällig ausgewählt.
f) Begründen Sie, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten Personen,
die für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen, nicht geeignet ist. (2 BE)
g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Personen für
Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen. (3 BE)
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