Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Schriftliche Abiturprüfung Schuljahr 2017/2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau an allgemeinbildenden und beruflichen gymnasialen Oberstufen Haupttermin Mittwoch, 2. Mai 2018, 9:00 Uhr Unterlagen für die Lehrerinnen und Lehrer Wahlschwerpunkt Lineare Algebra Diese Unterlagen sind nicht für die Prüflinge bestimmt. Diese Unterlagen enthalten: 1. Allgemeines 2. den Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht 3. Hinweise für die Auswahl der Aufgaben 4. Hinweise für das Korrekturverfahren 5. den Erwartungshorizont und die Bewertungskriterien für jede Aufgabe 1. Allgemeines1 Weisen Sie bitte die Schülerinnen und Schüler auf die allgemeinen Arbeitshinweise am Anfang der Schülermaterialien hin. Die Schülerinnen und Schüler kennzeichnen alle Prüfungsunterlagen mit ihrem Namen. Die Arbeitszeit einschließlich der Auswahlzeit beträgt insgesamt 330 Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Formelsammlung „Das große Tafelwerk interaktiv“ (Cornelsen-Verlag ISBN 3-464-57144-0 oder ISBN 978-3-464-57144-6), Rechtschreibwörterbuch. 1 Hinweisezu den Erleichterungen für neu zugewanderte Schülerinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der deutschen Sprache finden sich auf S 2. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 1 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien Erleichterungen für neu Zugewanderte Entsprechend der „Richtlinie über die Gewährung von Erleichterungen für neu zugewanderte Schüle- rinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der deutschen Sprache“ (MBlSchul Nr. 08, 7. Oktober 2016, S. 60) werden für die betroffenen Prüflinge die folgenden Erleichterungen gewährt: Die Bearbeitungszeit wird um 30 Minuten auf 360 Minuten erhöht. Ein nicht-elektronisches Wörterbuch Deutsch – Herkunftssprache / Herkunftssprache – Deutsch wird bereitgestellt. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 2 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien 2. Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht Bitte umgehend ausfüllen und a) an die Schule faxen1 , die die externe Zweitdurchsicht übernimmt, oder ggf. b) an die Kollegin/den Kollegen geben, die/der die interne Zweitdurchsicht übernimmt. Information für die Zweitdurchsicht Fach: Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Kurs-Nummer: Bearbeitet wurden die folgenden Aufgaben: Aufgaben-Nr. Anzahl I.4.1 von Prüflingen I.4.2 von Prüflingen I.4.3 von Prüflingen Der gewählte Wahlschwerpunkt in der Aufgabe III: x Lineare Algebra Analytische Geometrie 1 Faxnummern siehe: https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/ Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 3 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien 3. Aufgabenauswahl Sie erhalten vier Aufgaben: I (hilfsmittelfreier Teil) und II (Analysis), III (Lineare Algebra) und IV (Stochastik). Sie reichen zuerst Aufgabe I an die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung weiter. Die Schülerinnen und Schüler wählen eine der Unteraufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 aus. Die Unterauf- gaben I.1, I.2 und I.3 müssen bearbeitet werden, insgesamt also vier Unteraufgaben von Aufgabe I. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgabe I ohne Unterstützung durch Formelsammlung und Taschenrechner. Nach Abgabe der Aufgabe I und der zugehörigen Lösungen geben Sie den Schülerinnen und Schülern den Taschenrechner, die Formelsammlung und die restlichen drei Aufgaben II, III und IV. Weisen die Schülerinnen und Schüler bitte darauf hin, die Vollständigkeit der Unterlagen zu überprüfen. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die restlichen drei Aufgaben in der restlichen Arbeitszeit. 4. Korrekturverfahren Die Korrekturen werden gemäß der gültigen „Richtlinie für die Aufgabenstellung und Bewertung der Leistungen in der Abiturprüfung“ (Abiturrichtlinie) vorgenommen. Die für den Unterricht zuständige Lehrkraft korrigiert die Arbeiten unter Kennzeichnung ihrer Vorzüge und Mängel, der richtigen Lösungen und der Fehler, bewertet jede Arbeit mit einer Punktzahl und fertigt ein Gutachten an. Die Randbemerkungen der Referentin/des Referenten sind Teil des Gutachtens. Auf diese kann im Gutachten Bezug genommen werden. Jede Arbeit wird sodann von einer zweiten Fachlehrkraft – i. d. R. einer Lehrkraft der gleichen Schule – durchgesehen, die sich entweder der Bewertung durch die für das Fach zuständige Lehrkraft anschließt oder ein ergänzendes Gutachten mit abweichender Bewertung anfertigt (siehe Erstkorrekturbogen und Zweitdurchsichtbogen). Der Zweitdurchsichtbogen wird nur dann angelegt, wenn die Bewertung der Zweitdurchsicht um mindes- tens einen Notenpunkt abweicht. Beträgt die Differenz der im Erstgutachten und in der Zweitdurchsicht erteilten Punktzahlen mehr als drei Punkte wird ein Drittgutachten angefertigt (Drittkorrekturbogen). Die Bewertungsbögen sind als Download hier zu finden: https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/3834884/artikel-rueckmelde-bewertungsboegen/ Benutzername: bsb.hera@HH; Passwort: zentralepruefungen Zu den Zeitvorgaben, den Warnmeldungen, der externen Zweitdurchsicht und dem weiteren Verlauf des Verfahrens siehe den „Ablaufplan für die Durchführung der schriftlichen Prüfungen“ (veröffentlicht: https://www.hamburg.de/bsb/hera/). Beispiel – Bewertungsbögen Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Eko Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Zdu Mat Abiturprüfung 2017 Schulname BeBo Dko Mat Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA Fach: Kurstyp gA/eA Schülername Schülername Schülername Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer Mathematik Kurs-Nummer Aufgaben BWE pro Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe Erstkorrekturbewertung und Zweitdurchsichtbewertung weichen mehr als drei Notenpunkte II.2) Aufgabe Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin/des Erstkorrektors nicht an. (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen) voneinander ab. I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgaben I Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe BWE pro Die Drittkorrektur erfolgt aus anderen Gründen (Gründe bitte im Gutachten kurz benennen). Aufgabe II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) Aufgaben BWE pro Nummer (z.B. Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 Aufgabe II I II.2) (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen) 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) I.1 I.2 I.3 I.4.1 I.4.2 I.4.3 I 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) II 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) III 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) II 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) III 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) III 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) Summe der BWE IV 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f) 1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) Bewertungstext 2 a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 e) 2 f) 2 g) 2 h) 2 i) 2 j) IV Summe der BWE 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 f) 3 g) 3 h) 3 i) 3 j) Bewertungstext Summe der BWE Bewertungstext Notenpunkte Notenpunkte Datum/Unterschrift/Erstkorrektor/in:___________________________________________________ Stellungnahme der Zweitkorrektorin/des Zweitkorrektors Notenpunkte Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________ Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors an. Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors nicht an. Der Datum/Unterschrift/Drittgutachter/in: ___________________________________________________ Bewertungsbogen Zweitdurchsicht (BeBo Zdu) liegt bei. Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________ Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort Dieser Bogen kann auch aus dem Internet unter www.hamburg.de/hera mit dem Benutzernamen bsb.hera@HH und dem Passwort zentralepruefungen zum rechnergestützten Ausfüllen heruntergeladen werden. zentralepruefungen zum rechnergestützten Ausfüllen heruntergeladen werden. zentralepruefungen zum rechnergestützten Ausfüllen heruntergeladen werden. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 4 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien 5. Erwartungshorizont und Bewertung I. Hinweise zur Bewertung Prüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil): 20 Bewertungseinheiten (BE) Prüfungsteil B: 100 BE (3 komplexe Aufgaben, Aufgabe II mit 50 BE, Aufgabe III mit 25 BE und Aufgabe IV mit 25 BE) Insgesamt sind 120 BE erreichbar. Es dürfen auch halbe Bewertungseinheiten vergeben werden. Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle. Notenpunkte mindestens zu Notenpunkte mindestens zu erreichender Anteil an erreichender Anteil an den insgesamt zu den insgesamt zu erreichenden erreichenden Bewertungseinheiten Bewertungseinheiten 15 95 % 7 55 % 14 90 % 6 50 % 13 85 % 5 45 % 12 80 % 4 40 % 11 75 % 3 33 % 10 70 % 2 27 % 9 65 % 1 20 % 8 60 % 0 0% Für die Erteilung der Note „ausreichend“ (5 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerin- nen und Schüler annähernd die Hälfte der erwarteten Gesamtleistung und über den Anforderungsbereich I hinaus Leistungen in einem weiteren Anforderungsbereich erbracht haben. Für die Erteilung der Note „gut“ (11 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerinnen und Schüler annähernd vier Fünftel der erwarteten Gesamtleistung sowie Leistungen in allen drei Anforderungsbereichen erbracht haben. Die erbrachte Gesamtleistung ergibt sich aus der Summe der Bewertungseinheiten in den vier Aufgaben. Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit und der äußeren Form sind bei der Bewertung der schriftlichen Prüfungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 5 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien II. Erwartungshorizont Bei den auf den folgenden Seiten dargestellten erwarteten Schülerleistungen handelt es sich um Lösungs- skizzen. Oft sind aber Lösungsvarianten möglich, die in der Skizze nur zum Teil beschrieben werden konnten. Grundsätzlich gilt deshalb, dass alle Varianten, die zu richtigen Lösungen führen, mit voller Punktzahl bewertet werden, unabhängig davon, ob die gewählte Variante in der Lösungsskizze aufgeführt ist oder nicht. Kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise an die korrigierenden Lehrkräfte. Sie sind nicht Bestandteile der erwarteten Schülerleistung. Bei der Bearbeitung des Prüfungsteils B müssen die Schülerinnen und Schüler die Lösungswege sorgfältig dokumentieren. Dies gilt auch bei Berechnungen, die mit einigen Taschenrechnertypen per Knopfdruck möglich sind. Die Lösungswege sind so darzustellen, als stünden diese Taschenrechnerfunktionalitäten nicht zur Verfügung. Dies gilt in den folgenden Bereichen: Umformen von Termen mit Variablen, Lösen von Gleichungen oder Gleichungssystemen, Differenzieren oder Integrieren, Berechnen von Werten einer Ableitungsfunktion oder eines Integrals. Rechnen mit Koordinaten (z. B. zum Aufstellen der Gleichung einer Ebene aus den Koordinaten dreier gegebener Punkte), Rechnen mit Vektoren (z. B. Bestimmen des Werts eines Skalarprodukts oder der Größe des Winkels zwischen zwei Vektoren), Bestimmen der Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 6 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil Lösungsskizze BE I.1 Analysis a) Es ist f 0 (x) = −3x2 + 6x − 2. 2 Damit ist f 0 (1) = −3 · 12 + 6 − 2 = 1. b) Die Anzahl der Schnittpunkte ist 3 für m < 1 und 1 für m ≥ 1. 3 I.2 Lineare Algebra Aus der Abbildung geht hervor, dass M = 0,5 1 ist. a) 3 0,5 0 0,5 1 0,5 1 Daraus folgt M = 0,5 0 · 0,5 0 = 0,75 0,5 . 2 0,25 0,5 b) Alternative Lösungen: 2 a 1. Der Ansatz M 2 · xy = bn+2 liefert ein lineares Gleichungssystem mit zwei n+2 Gleichungen und den zwei Variablen x,y , welche für die Komponenten von → − vn stehen. Dieses Gleichungssystem ist zu lösen. Hinweis: Betrachtungen über die Lösbarkeit oder die Bedingungen x, y ∈ [0; 1] und x + y = 1 werden nicht erwartet. 2. Man bestimmt die zu M 2 inverse Matrix und multipliziert diese mit − v−→ n+2 . Hinweis: Eine Beschreibung, wie die inverse Matrix zu bestimmen wäre, wird nicht erwartet. I.3 Stochastik a) Abbildungen 3 und 5. 3 Abbildung 3 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht dar, weil X keine Werte über 10 annehmen kann. Abbildung 5 stellt sie nicht dar, weil nach dieser Abbildung die Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten größer als 1 wäre. b) Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt p = 0,5. 2 Also ist n · 0,5 = 8 und damit n = 16. I.4.1 Analysis 4 a) Es ist p = f (0,5) = 0,52 = 16. 2 Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 7 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien Lösungsskizze BE b) Eine mögliche Skizze: 3 y 5 4 3 2 Q 1 1 2 3 4 5 x Es ist f 0 (x) = − x83 . Nach Voraussetzung ist f 0 (u) = −1, also ist − u83 = −1 und damit u = 2. Es ist f (2) = 1, also Q(2|1). I.4.2 Lineare Algebra −1 0 · a = −a , d. h. P0 (−a|b) a) 0 1 b b 2 Die x-Koordinate von P0 ist die Gegenzahl der x-Koordinate von P, die y-Koordinate von P0 stimmt mit der von P überein. Dies entspricht der Spiegelung von P an der y-Achse. Die Spiegelung von P an der x-Achse ließe sich durch M = 10 −1 0 beschreiben. Die b) 3 Koordinaten von P0 gehen jeweils aus der entsprechenden Koordinate von P∗ durch Multiplikation mit 2 hervor. Damit wird die Zuordnung von P zu P0 durch M = 20 −20 beschrieben. I.4.3 Stochastik Es ist E(X) = 13 · 3 + 14 · 4 + 1 − 31 − 14 · 5 = 49 a) 12 . 2 b) Der kleinste Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 5) = 16 . 3 Dann ergibt sich P (Y = 4) = 1 − 13 − 16 = 21 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 12 + 5 · 61 = 23 6. 1 Der größte Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 4) = 6 . Dann ergibt sich entsprechend P (Y = 5) = 12 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 61 + 5 · 21 = 25 6 . Für den Erwartungswert kommen alle Werte von 23 6 bis 25 6 infrage. Hinweis: Ein Argument, dass der Erwartungswert mit zunehmendem P (Y = 5) monoton steigt, wird nicht erwartet. Insgesamt (Bei Bearbeitung einer der Aufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3) 20 Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 8 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien Standardbezug zur Aufgabe „Hilfsmittelfreier Prüfungsteil“ Teil- BE Leitideen allgemeine mathematische Anforderungs- aufg. Kompetenzen bereich L1 L2 L3 L4 L5 K1 K2 K3 K4 K5 K6 I II III 1 a) 2 X X I 2 b) 3 X X II II II 3 2.1 a) 3 X I II I 2 1 b) 2 X II II I 2 3 a) 3 X X II I 1 2 b) 2 X X X II II I 2 4.1 a) 2 X X III III I 1 1 b) 3 X X X X III III II 1 2 4.2 a) 2 X X II I 1 1 b) 3 X X III III III 3 4.3 a) 2 X X X II I 2 b) 3 X X X III III II 3 Bei Bearbeitung der Aufgabe I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 erhält man den folgenden Anteil der Bewertungseinhei- ten: Anteil der Bewertungseinheiten in Prozent im Anforderungsbereich I Anforderungsbereich II Anforderungsbereich III (15 % - 35 %) (45 % - 70 %) (15 % - 20 %) 30 % 55 % 15 % Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 9 von 19
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen Lehrermaterialien Aufgabe II: Kugelstoßen Schwerpunktthema: Analysis Lösungsskizze BE 1.a) Die Koordinaten pder beiden Punkte lassen sich ablesen: R(−2|1) und A(0|2). 2 √ √ 2 2 Dann ist RA = (2 − 1) + (0 − (−2)) = 1 + 4 = 5 ≈ 2,24. Die Länge der Bahn beträgt etwa 2,24 m. b) Es ist 4 f (x) = 1,5 0,4 + 1,6 · e0,5x = 1,5 11 x = 2 · ln 16 x ≈ −0,75 Damit ist der gefragte horizontale Abstand −0,75 − (−2) = 1,25. Der Abstand beträgt 1,25 m. c) Die Aussage ist falsch. 3 Begründung: Die gebildeten Differenzen können sich beim Summieren gegenseitig aufheben, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben. Dadurch kann sich auch bei großen Abweichungen ein kleiner Endbetrag ergeben. d) Die Ableitungen von f und pa sind: 4 f 0 (x) = 0,8 · e0,5·x und p0a (x) = −2ax + b Es gilt die Bedingung der Knickfreiheit: f 0 (0) = p0a (0) 0,8 = b Es ist b = 0,8. e) Der Graph der Funktion pa läuft durch den Punkt (3|3,5) für pa (3) = 3,5, also ist 2 −a · 32 + 0,8 · 3 + 2 = 3,5. Daraus ergibt sich a = 0,1. f) Es ist p00,1 (x) = −0,2x + 0,8. 3 Bei 10 m ergibt sich der Auftreffwinkel α auf den Boden mit tan α = p00,1 (10) = −1,2, also ist α = tan−1 (−1,2) ≈ −50,19◦ . Die Kugel trifft unter einem Winkel mit einer Größe von etwa 50◦ gegen die Horizontale auf. Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018 Lehrermaterialien, Seite 10 von 19