Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018

Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg

Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.

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Freie und Hansestadt Hamburg
  Behörde für Schule und Berufsbildung




                                         Schriftliche Abiturprüfung
                                          Schuljahr 2017/2018

                                                  Mathematik
                                     auf erhöhtem Anforderungsniveau

                an allgemeinbildenden und beruflichen gymnasialen Oberstufen
                                                   Haupttermin
                                        Mittwoch, 2. Mai 2018, 9:00 Uhr


                               Unterlagen für die Lehrerinnen und Lehrer
                                  Wahlschwerpunkt Lineare Algebra


                      Diese Unterlagen sind nicht für die Prüflinge bestimmt.



 Diese Unterlagen enthalten:

    1.   Allgemeines
    2.   den Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht
    3.   Hinweise für die Auswahl der Aufgaben
    4.   Hinweise für das Korrekturverfahren
    5.   den Erwartungshorizont und die Bewertungskriterien für jede Aufgabe


1. Allgemeines1

   Weisen Sie bitte die Schülerinnen und Schüler auf die allgemeinen Arbeitshinweise am Anfang der
   Schülermaterialien hin.
   Die Schülerinnen und Schüler kennzeichnen alle Prüfungsunterlagen mit ihrem Namen.
   Die Arbeitszeit einschließlich der Auswahlzeit beträgt insgesamt 330 Minuten.
   Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar und nicht grafikfähig), Formelsammlung
   „Das große Tafelwerk interaktiv“ (Cornelsen-Verlag ISBN 3-464-57144-0
   oder ISBN 978-3-464-57144-6), Rechtschreibwörterbuch.



1 Hinweisezu den Erleichterungen für neu zugewanderte Schülerinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der
 deutschen Sprache finden sich auf S 2.
 Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018                                                         Lehrermaterialien, Seite 1 von 19
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Freie und Hansestadt Hamburg                                                  allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung                                           berufliche gymnasiale
Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                    Oberstufen
                                   Lehrermaterialien




Erleichterungen für neu Zugewanderte
Entsprechend der „Richtlinie über die Gewährung von Erleichterungen für neu zugewanderte Schüle-
rinnen, Schüler und Prüflinge bei Sprachschwierigkeiten in der deutschen Sprache“ (MBlSchul Nr. 08,
7. Oktober 2016, S. 60) werden für die betroffenen Prüflinge die folgenden Erleichterungen gewährt:
  Die Bearbeitungszeit wird um 30 Minuten auf 360 Minuten erhöht.
  Ein nicht-elektronisches Wörterbuch Deutsch – Herkunftssprache / Herkunftssprache – Deutsch wird
  bereitgestellt.




Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018                                          Lehrermaterialien, Seite 2 von 19
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Freie und Hansestadt Hamburg                                                                  allgemeinbildende und
 Behörde für Schule und Berufsbildung                                                           berufliche gymnasiale
 Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                    Oberstufen
                                    Lehrermaterialien



2. Rückmeldebogen für die Zweitdurchsicht

Bitte umgehend ausfüllen und

   a) an die Schule faxen1 , die die externe Zweitdurchsicht übernimmt,

       oder ggf.

   b) an die Kollegin/den Kollegen geben, die/der die interne Zweitdurchsicht übernimmt.




Information für die Zweitdurchsicht

Fach:
Mathematik
auf erhöhtem Anforderungsniveau                                                     Kurs-Nummer:

Bearbeitet wurden die folgenden Aufgaben:

       Aufgaben-Nr.                                                        Anzahl

           I.4.1                            von                                                   Prüflingen

           I.4.2                            von                                                   Prüflingen

           I.4.3                            von                                                   Prüflingen



  Der gewählte Wahlschwerpunkt in der Aufgabe III:                         x   Lineare Algebra
                                                                               Analytische Geometrie




1 Faxnummern   siehe: https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/
 Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018                                                          Lehrermaterialien, Seite 3 von 19
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Freie und Hansestadt Hamburg                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 allgemeinbildende und
 Behörde für Schule und Berufsbildung                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          berufliche gymnasiale
 Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Oberstufen
                                    Lehrermaterialien



3. Aufgabenauswahl
                   Sie erhalten vier Aufgaben:
                   I (hilfsmittelfreier Teil) und II (Analysis), III (Lineare Algebra) und IV (Stochastik).
                   Sie reichen zuerst Aufgabe I an die Schülerinnen und Schüler zur Bearbeitung weiter.
                   Die Schülerinnen und Schüler wählen eine der Unteraufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 aus. Die Unterauf-
                   gaben I.1, I.2 und I.3 müssen bearbeitet werden, insgesamt also vier Unteraufgaben von Aufgabe I.
                   Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgabe I ohne Unterstützung durch Formelsammlung
                   und Taschenrechner.
                   Nach Abgabe der Aufgabe I und der zugehörigen Lösungen geben Sie den Schülerinnen und Schülern
                   den Taschenrechner, die Formelsammlung und die restlichen drei Aufgaben II, III und IV.
                   Weisen die Schülerinnen und Schüler bitte darauf hin, die Vollständigkeit der Unterlagen zu überprüfen.
                   Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die restlichen drei Aufgaben in der restlichen Arbeitszeit.

4. Korrekturverfahren
                   Die Korrekturen werden gemäß der gültigen „Richtlinie für die Aufgabenstellung und Bewertung der
                   Leistungen in der Abiturprüfung“ (Abiturrichtlinie) vorgenommen.
                   Die für den Unterricht zuständige Lehrkraft korrigiert die Arbeiten unter Kennzeichnung ihrer Vorzüge
                   und Mängel, der richtigen Lösungen und der Fehler, bewertet jede Arbeit mit einer Punktzahl und
                   fertigt ein Gutachten an. Die Randbemerkungen der Referentin/des Referenten sind Teil des Gutachtens.
                   Auf diese kann im Gutachten Bezug genommen werden. Jede Arbeit wird sodann von einer zweiten
                   Fachlehrkraft – i. d. R. einer Lehrkraft der gleichen Schule – durchgesehen, die sich entweder der
                   Bewertung durch die für das Fach zuständige Lehrkraft anschließt oder ein ergänzendes Gutachten mit
                   abweichender Bewertung anfertigt (siehe Erstkorrekturbogen und Zweitdurchsichtbogen).
                   Der Zweitdurchsichtbogen wird nur dann angelegt, wenn die Bewertung der Zweitdurchsicht um mindes-
                   tens einen Notenpunkt abweicht. Beträgt die Differenz der im Erstgutachten und in der Zweitdurchsicht
                   erteilten Punktzahlen mehr als drei Punkte wird ein Drittgutachten angefertigt (Drittkorrekturbogen).
                   Die Bewertungsbögen sind als Download hier zu finden:
                   https://www.hamburg.de/bsb/sekundarstufe-2-abitur/3834884/artikel-rueckmelde-bewertungsboegen/
                   Benutzername: bsb.hera@HH; Passwort: zentralepruefungen
                   Zu den Zeitvorgaben, den Warnmeldungen, der externen Zweitdurchsicht und dem weiteren Verlauf des
                   Verfahrens siehe den „Ablaufplan für die Durchführung der schriftlichen Prüfungen“ (veröffentlicht:
                   https://www.hamburg.de/bsb/hera/).

Beispiel – Bewertungsbögen
Abiturprüfung 2017                 Schulname                                                             BeBo Eko Mat       Abiturprüfung 2017                 Schulname                                                             BeBo Zdu Mat       Abiturprüfung 2017                 Schulname                                                             BeBo Dko Mat
Fach:                                Kurstyp                    gA/eA                                                       Fach:                                Kurstyp                    gA/eA                                                       Fach:                                Kurstyp                    gA/eA
                                                                                        Schülername                                                                                                                 Schülername                                                                                                                 Schülername
Mathematik                       Kurs-Nummer                                                                                Mathematik                       Kurs-Nummer                                                                                Mathematik                       Kurs-Nummer



  Aufgaben
                                                                                                                  BWE pro
 Nummer (z.B.                       Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe                                                                                                                                                                             Erstkorrekturbewertung und Zweitdurchsichtbewertung weichen mehr als drei Notenpunkte
    II.2)
                                                                                                                  Aufgabe       Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin/des Erstkorrektors nicht an.
                                       (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)                                                                                                                                                                              voneinander ab.

                  I.1      I.2       I.3       I.4.1    I.4.2    I.4.3                                                        Aufgaben
      I                                                                                                                      Nummer (z.B.                       Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
                                                                                                                                                                                                                                              BWE pro              Die Drittkorrektur erfolgt aus anderen Gründen (Gründe bitte im Gutachten kurz benennen).
                                                                                                                                                                                                                                              Aufgabe
                                                                                                                                II.2)                              (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)
                 1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                                                                                                                                                                                                                                                          Aufgaben
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          BWE pro
                                                                                                                                                                                                                                                         Nummer (z.B.                       Erreichte Bewertungseinheiten (BWE) je Teilaufgabe
                 2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)                                    I.1      I.2       I.3       I.4.1    I.4.2    I.4.3                                                                                                                                                                        Aufgabe
      II                                                                                                                            I                                                                                                                       II.2)                              (nicht verwendete Felder bitte durchstreichen)

                 3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)                                   1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                                                                                                                                                                                                                                                                          I.1      I.2       I.3       I.4.1    I.4.2    I.4.3
                                                                                                                                                                                                                                                              I
                 1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)                                   2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                                                                    II                                                                                                                                   1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
     III                                                                                                                                     3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)
                 2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                                                                                                                                                                                                         2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                                                                                                                                                                                              II
                 1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)                                   1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                                                                                                                                                                                                                                                                         3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)
                                                                                                                                    III
                 2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)                                   2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
     IV                                                                                                                                                                                                                                                                  1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                 3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)                                   1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                                                                                                                                                                                                                                                             III
                                                                                                                                                                                                                                                                         2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                                                                             2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                         Summe der BWE
                                                                                                                                 IV                                                                                                                                      1 a)     1 b)      1 c)       1 d)     1 e)      1 f)   1 g)      1 h)       1 i)    1 j)
                                                                                                                                             3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)
                                                       Bewertungstext                                                                                                                                                                                                    2 a)     2 b)      2 c)       2 d)     2 e)      2 f)   2 g)      2 h)       2 i)    2 j)
                                                                                                                                                                                                                                                             IV
                                                                                                                                                                                                                     Summe der BWE                                       3 a)     3 b)      3 c)       3 d)     3 e)      3 f)   3 g)      3 h)       3 i)    3 j)

                                                                                                                                                                                   Bewertungstext
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Summe der BWE


                                                                                                                                                                                                                                                                                                               Bewertungstext




                                                                                         Notenpunkte



                                                                                                                                                                                                                     Notenpunkte
Datum/Unterschrift/Erstkorrektor/in:___________________________________________________

Stellungnahme der Zweitkorrektorin/des Zweitkorrektors                                                                                                                                                                                                                                                                                           Notenpunkte
                                                                                                                            Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________
           Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors an.
           Ich schließe mich der Bewertung der Erstkorrektorin / des Erstkorrektors nicht an. Der                                                                                                                                                       Datum/Unterschrift/Drittgutachter/in: ___________________________________________________
           Bewertungsbogen Zweitdurchsicht (BeBo Zdu) liegt bei.
Datum/Unterschrift/Zweitdurchsicht: ___________________________________________________


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Freie und Hansestadt Hamburg                                                       allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung                                                berufliche gymnasiale
Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                         Oberstufen
                                   Lehrermaterialien



5. Erwartungshorizont und Bewertung
I.   Hinweise zur Bewertung
Prüfungsteil A (hilfsmittelfreier Teil): 20 Bewertungseinheiten (BE)
Prüfungsteil B: 100 BE (3 komplexe Aufgaben, Aufgabe II mit 50 BE, Aufgabe III mit 25 BE und Aufgabe
IV mit 25 BE)
Insgesamt sind 120 BE erreichbar.
Es dürfen auch halbe Bewertungseinheiten vergeben werden.
Bei der Festlegung von Notenpunkten gilt die folgende Tabelle.

     Notenpunkte             mindestens zu                 Notenpunkte              mindestens zu
                         erreichender Anteil an                                 erreichender Anteil an
                            den insgesamt zu                                       den insgesamt zu
                              erreichenden                                           erreichenden
                          Bewertungseinheiten                                    Bewertungseinheiten
          15                      95 %                           7                       55 %
          14                      90 %                           6                       50 %
          13                      85 %                           5                       45 %
          12                      80 %                           4                       40 %
          11                      75 %                           3                       33 %
          10                      70 %                           2                       27 %
           9                      65 %                           1                       20 %
           8                      60 %                           0                        0%

Für die Erteilung der Note „ausreichend“ (5 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerin-
nen und Schüler annähernd die Hälfte der erwarteten Gesamtleistung und über den Anforderungsbereich I
hinaus Leistungen in einem weiteren Anforderungsbereich erbracht haben.
Für die Erteilung der Note „gut“ (11 Notenpunkte) ist mindestens erforderlich, dass die Schülerinnen
und Schüler annähernd vier Fünftel der erwarteten Gesamtleistung sowie Leistungen in allen drei
Anforderungsbereichen erbracht haben.
Die erbrachte Gesamtleistung ergibt sich aus der Summe der Bewertungseinheiten in den vier Aufgaben.
Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit und der äußeren Form sind bei der Bewertung
der schriftlichen Prüfungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte
abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in
Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text.




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Freie und Hansestadt Hamburg                                                          allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung                                                   berufliche gymnasiale
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II.      Erwartungshorizont
Bei den auf den folgenden Seiten dargestellten erwarteten Schülerleistungen handelt es sich um Lösungs-
skizzen. Oft sind aber Lösungsvarianten möglich, die in der Skizze nur zum Teil beschrieben werden
konnten. Grundsätzlich gilt deshalb, dass alle Varianten, die zu richtigen Lösungen führen, mit voller
Punktzahl bewertet werden, unabhängig davon, ob die gewählte Variante in der Lösungsskizze aufgeführt
ist oder nicht.
Kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise an die korrigierenden Lehrkräfte. Sie sind nicht Bestandteile der
erwarteten Schülerleistung.
Bei der Bearbeitung des Prüfungsteils B müssen die Schülerinnen und Schüler die Lösungswege sorgfältig
dokumentieren. Dies gilt auch bei Berechnungen, die mit einigen Taschenrechnertypen per Knopfdruck
möglich sind. Die Lösungswege sind so darzustellen, als stünden diese Taschenrechnerfunktionalitäten
nicht zur Verfügung. Dies gilt in den folgenden Bereichen:
      Umformen von Termen mit Variablen,
      Lösen von Gleichungen oder Gleichungssystemen,
      Differenzieren oder Integrieren,
      Berechnen von Werten einer Ableitungsfunktion oder eines Integrals.
      Rechnen mit Koordinaten (z. B. zum Aufstellen der Gleichung einer Ebene aus den Koordinaten dreier
      gegebener Punkte),
      Rechnen mit Vektoren (z. B. Bestimmen des Werts eines Skalarprodukts oder der Größe des Winkels
      zwischen zwei Vektoren),
      Bestimmen der Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen.




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Aufgabe I: Hilfsmittelfreier Prüfungsteil

                                               Lösungsskizze                                         BE
 I.1 Analysis

    a)   Es ist f 0 (x) = −3x2 + 6x − 2.                                                             2
         Damit ist f 0 (1) = −3 · 12 + 6 − 2 = 1.


   b)    Die Anzahl der Schnittpunkte ist 3 für m < 1 und 1 für m ≥ 1.                               3

 I.2 Lineare Algebra

         Aus der Abbildung geht hervor, dass M = 0,5   1 ist.
                                                       
    a)                                                                                               3
                                                0,5 0
                            0,5  1      0,5  1
         Daraus folgt M = 0,5 0 · 0,5 0 = 0,75           0,5 .
                                                         
                       2
                                                   0,25 0,5

   b)    Alternative Lösungen:                                                                       2
                                        a
            1. Der Ansatz M 2 · xy = bn+2 liefert ein lineares Gleichungssystem mit zwei
                                           
                                          n+2
               Gleichungen und den zwei Variablen x,y , welche für die Komponenten von →
                                                                                       −
                                                                                       vn
               stehen. Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.
                Hinweis: Betrachtungen über die Lösbarkeit oder die Bedingungen x, y ∈ [0; 1]
                und x + y = 1 werden nicht erwartet.

            2. Man bestimmt die zu M 2 inverse Matrix und multipliziert diese mit −
                                                                                  v−→
                                                                                   n+2 .

                Hinweis: Eine Beschreibung, wie die inverse Matrix zu bestimmen wäre, wird
                nicht erwartet.

 I.3 Stochastik

    a)   Abbildungen 3 und 5.                                                                        3
         Abbildung 3 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht dar, weil X keine Werte
         über 10 annehmen kann. Abbildung 5 stellt sie nicht dar, weil nach dieser Abbildung die
         Gesamtsumme der Wahrscheinlichkeiten größer als 1 wäre.


   b)    Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt p = 0,5.                      2
         Also ist n · 0,5 = 8 und damit n = 16.

 I.4.1 Analysis
                                 4
    a)   Es ist p = f (0,5) =   0,52
                                       = 16.                                                         2




Mat1-eA-2.1-3.1-LM-AB-2018                                               Lehrermaterialien, Seite 7 von 19
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Freie und Hansestadt Hamburg                                                            allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung                                                     berufliche gymnasiale
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                                                  Lösungsskizze                                            BE

   b)    Eine mögliche Skizze:                                                                             3


                                              y
                                          5
                                          4
                                          3
                                          2
                                                      Q
                                          1

                                                  1   2   3      4   5   x


         Es ist f 0 (x) = − x83 .
         Nach Voraussetzung ist f 0 (u) = −1, also ist − u83 = −1 und damit u = 2.
         Es ist f (2) = 1, also Q(2|1).

 I.4.2 Lineare Algebra
          −1 0 · a = −a , d. h. P0 (−a|b)
                    
    a)      0 1      b        b                                                                            2
         Die x-Koordinate von P0 ist die Gegenzahl der x-Koordinate von P, die y-Koordinate von
         P0 stimmt mit der von P überein.
         Dies entspricht der Spiegelung von P an der y-Achse.


         Die Spiegelung von P an der x-Achse ließe sich durch M = 10 −1    0 beschreiben. Die
                                                                            
   b)                                                                                                      3
         Koordinaten von P0 gehen jeweils aus der entsprechenden Koordinate von P∗ durch
         Multiplikation mit 2 hervor. Damit wird die Zuordnung von P zu P0 durch M = 20 −20
                                                                                            

         beschrieben.

 I.4.3 Stochastik

         Es ist E(X) = 13 · 3 + 14 · 4 + 1 − 31 − 14 · 5 =    49
                                                    
    a)                                                        12 .                                         2


   b)    Der kleinste Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 5) = 16 .                                      3
         Dann ergibt sich P (Y = 4) = 1 − 13 − 16 = 21 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 12 + 5 · 61 = 23
                                                                                                6.
                                                                   1
         Der größte Erwartungswert ergibt sich für P (Y = 4) = 6 .
         Dann ergibt sich entsprechend P (Y = 5) = 12 und E (Y ) = 3 · 13 + 4 · 61 + 5 · 21 = 25 6 .
         Für den Erwartungswert kommen alle Werte von 23    6  bis  25
                                                                     6 infrage.
         Hinweis: Ein Argument, dass der Erwartungswert mit zunehmendem P (Y = 5) monoton
         steigt, wird nicht erwartet.

                                  Insgesamt (Bei Bearbeitung einer der Aufgaben I.4.1, I.4.2 oder I.4.3)   20




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Freie und Hansestadt Hamburg                                                                   allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung                                                            berufliche gymnasiale
Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                                     Oberstufen
                                   Lehrermaterialien



Standardbezug zur Aufgabe „Hilfsmittelfreier Prüfungsteil“

  Teil-      BE                   Leitideen                  allgemeine mathematische                 Anforderungs-
  aufg.                                                            Kompetenzen                           bereich
                      L1     L2      L3       L4   L5      K1 K2 K3 K4 K5 K6                          I    II    III
 1    a)      2              X                X                                      I                2
      b)      3                      X        X             II    II        II                             3
 2.1 a)       3        X                                          I         II       I                2     1
      b)      2        X                                          II                 II    I               2
 3    a)      3                               X    X              II        I                         1     2
      b)      2              X                X    X        II    II                 I                     2
 4.1 a)       2                      X        X             III   III                I                1           1
      b)      3        X     X       X        X             III   III                II                     1     2
 4.2 a)       2        X             X                      II                       I                1     1
      b)      3        X             X                            III       III            III                   3
 4.3 a)       2              X                X    X              II                 I                     2
      b)      3              X                X    X        III   III                II                          3


Bei Bearbeitung der Aufgabe I.4.1, I.4.2 oder I.4.3 erhält man den folgenden Anteil der Bewertungseinhei-
ten:

                                   Anteil der Bewertungseinheiten in Prozent im
     Anforderungsbereich I                    Anforderungsbereich II                Anforderungsbereich III
           (15 % - 35 %)                            (45 % - 70 %)                         (15 % - 20 %)
               30 %                                     55 %                                  15 %




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Behörde für Schule und Berufsbildung                                               berufliche gymnasiale
Abitur 2018                 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau                        Oberstufen
                                   Lehrermaterialien



Aufgabe II: Kugelstoßen
Schwerpunktthema: Analysis



                                                 Lösungsskizze                                     BE

  1.a)   Die Koordinaten
                       pder beiden Punkte lassen sich ablesen: R(−2|1) und A(0|2).                  2
                                                  √         √
                                2             2
         Dann ist RA = (2 − 1) + (0 − (−2)) = 1 + 4 = 5 ≈ 2,24.
         Die Länge der Bahn beträgt etwa 2,24 m.


   b)    Es ist                                                                                    4
                     f (x) = 1,5
          0,4 + 1,6 · e0,5x = 1,5
                                        11
                                             
                           x = 2 · ln   16
                        x ≈ −0,75
         Damit ist der gefragte horizontale Abstand −0,75 − (−2) = 1,25.
         Der Abstand beträgt 1,25 m.


    c)   Die Aussage ist falsch.                                                                    3
         Begründung:
         Die gebildeten Differenzen können sich beim Summieren gegenseitig aufheben, wenn sie
         unterschiedliche Vorzeichen haben. Dadurch kann sich auch bei großen Abweichungen
         ein kleiner Endbetrag ergeben.


   d)    Die Ableitungen von f und pa sind:                                                        4
         f 0 (x) = 0,8 · e0,5·x und
         p0a (x) = −2ax + b
         Es gilt die Bedingung der Knickfreiheit:
           f 0 (0) = p0a (0)
            0,8 = b
         Es ist b = 0,8.


    e)   Der Graph der Funktion pa läuft durch den Punkt (3|3,5) für pa (3) = 3,5, also ist         2
         −a · 32 + 0,8 · 3 + 2 = 3,5.
         Daraus ergibt sich a = 0,1.


    f)   Es ist p00,1 (x) = −0,2x + 0,8.                                                            3
         Bei 10 m ergibt sich der Auftreffwinkel α auf den Boden mit
         tan α = p00,1 (10) = −1,2, also ist α = tan−1 (−1,2) ≈ −50,19◦ .
         Die Kugel trifft unter einem Winkel mit einer Größe von etwa 50◦ gegen die Horizontale
         auf.




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