Mat1-eA-Paket3.2-AB-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale
Abitur 2018 Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Kugelstoßen
Schwerpunktthema: Analysis
1. Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen
kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1m in der Realität;
die x-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenom-
men werden.
y
3
2
A
R 1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x
Abb. 1
Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athle-
tin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim
Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen
Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.
Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion f
mit f (x) = 0,4 + 1,6 · e0,5x und x ∈ [−2; 0] beschrieben werden.
a) Berechnen Sie die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise
als Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten. (2 BE)
b) Berechnen Sie den horizontalen Abstand der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand
der Athletin 1,50 m über dem Boden befindet. (4 BE)
c) Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die
fünf Stellen werden im Modell durch die x-Werte x1 bis x5 dargestellt, die gemessenen Höhen werden
mit h1 bis h5 bezeichnet.
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
5
Wenn der Wert des Terms ∑ (hi − f (xi )) klein ist, dann werden die gemessenen
i=1
Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.
(3 BE)
Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in R definierten Funk-
tionen pa mit pa (x) = −ax2 + bx + 2 und a ∈ R+ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel wei-
sen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.
d) Ermitteln Sie den Wert von b.
(Zur Kontrolle: b = 0,8) (4 BE)
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Aufgabe II
e) Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den der Graph von pa durch den Punkt (3|3,5) verläuft.
(2 BE)
f) Bei der Flugkurve zu a = 0,1 beträgt die Stoßweite 10 m.
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Kugel auf dieser Flugkurve auf den Boden
auftrifft. (3 BE)
0,4
g) Zeigen Sie, dass a 2 + 0,16
a Hochpunkt des Graphen von pa ist. (4 BE)
h) Es gibt eine Gerade, auf der die Hochpunkte aller Graphen von pa liegen.
Berechnen Sie die Steigung dieser Gerade. (3 BE)
Der Zusammenhang zwischen den Werten von a und den Stoßweiten s mit s > 0 lässt sich durch die
Gleichung a = 0,8 2
s + s2 darstellen.
i) Leiten Sie diese Gleichung her. (3 BE)
j) Bei einem Stoß beträgt die Stoßweite 20 m.
Berechnen Sie die Höhe der Flugkurve. (4 BE)
k) Abbildung 2 stellt den Zusammenhang zwischen den Werten von a und den Stoßweiten s graphisch
dar.
a
0,8
0,6
0,4
0,2
4 8 12 16 s
Abb. 2
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um 2 m, so ist der zur größeren Weite
gehörende Wert von a halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende.
(3 BE)
l) Zeichnen Sie in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur s-Achse ein, die durch die Punkte des
Graphen mit den s-Koordinaten 2 bzw. 10 verlaufen.
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der a-Achse und den beiden
eingezeichneten Parallelen einschließt. (7 BE)
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Aufgabe II
2. Auf dem Boden eines Behälters liegt eine Kugel. Abbildung 3 zeigt – um 90◦ gedreht – einen Querschnitt
dieses Behälters und der Kugel. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit
1 cm, d. h. die Kugel hat einen Durchmesser von 10 cm.
y
8
6
4
2
2 4 6 8 10 12 14 x
−2
−4
−6
−8
−10
Abb. 3
Die Seitenwand des Behälters lässt sich modellhaft durch Rotation des Graphen der Funktion q mit
√
q (x) = 5x + 40 und x ∈ [0;13] um die x-Achse beschreiben.
Der Behälter ist zum großen Teil mit Wasser gefüllt. Die Kugel befindet sich vollständig unterhalb der
Wasseroberfläche.
a) Zeigen Sie, dass sich im Behälter mehr als 1500 cm3 Wasser befinden. (5 BE)
b) In den Behälter werden zusätzliche 300 cm3 Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt
dadurch um 1 cm.
Stellen Sie eine Gleichung auf, aus der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der 300 cm3 Wasser
berechnen ließe. (3 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Kletteranlage
Schwerpunktthema: Analytische Geometrie
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattfor-
men, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer
der beiden Plattformen angebracht ist.
x3
Pfahl 1
Pfahl 2
4
C b
T
Plattform 1 b Plattform 2
b
B b
S
b 2 R b
D−8−6 A b x2
−4
P1 Kletterwand b
F 12 14 16
−2 b 6 8 10
2 4 P2
−4 −2 2 b
4 b
6 E
8
10
x1
Abb. 1
Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die x1 x2 -Ebene den horizontalen Unter-
grund; eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem
Untergrund austreten, werden durch P1 (0|0|0) und P2 (5|10|0) dargestellt. Außerdem sind die Koordina-
ten der Eckpunkte
A (3|0|2), B (0|3|2), E (6|0|0), F (0|6|0), R (5|7|3), S (8|13|3) und T (2|10|3)
gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
a) In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt,
das 20 % länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte.
Berechnen Sie die Länge des Seils. (3 BE)
Die Punkte A, B, E und F liegen in der Ebene L : 2x1 + 2x2 + 3x3 − 12 = 0.
b) Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat. (2 BE)
c) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt. (3 BE)
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Aufgabe III
d) Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden.
Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch R, S und T dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des
Schattens dieser Plattform durch R0 (4|2|0), S0 bzw. T 0 (1|5|0). Der gesamte Schatten von Plattform 2
liegt auf dem horizontalen Untergrund.
Zeigen Sie rechnerisch, dass T 0 auf der Strecke EF liegt.
Berechnen Sie die Koordinaten von S0 und stellen Sie den Schatten der Plattform 2 in der obigen
Abbildung 1 grafisch dar. (6 BE)
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des
Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt: einer der beiden unteren Eckpunkte am Pfahl 1 auf der
Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt oberhalb der Plattform 2.
An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes 1,80 m. Das Netz ist
so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.
e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes. (3 BE)
f) Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch RT dargestellt wird. Betrachtet
wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist.
Berechnen Sie den Abstand dieses Eckpunkts von der Plattform 2. (8 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Kunststoffteile
Schwerpunktthema: Stochastik
Hinweis: Zur Bearbeitung der folgenden Aufgabe kann nach Bedarf die Tabelle 1 in der Anlage genutzt
werden.
1. Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die
Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
Farbe Blau Rot Grün
Mittelpunktswinkel 180◦ 120◦ 60◦
Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler
dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird
ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist 16 .
a) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden,
ebenfalls 16 beträgt. (2 BE)
b) Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange
Sicht ausgleichen.
Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen. (3 BE)
c) Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei wird der grüne Sektor verkleinert. Die Abbildung 1
zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen
beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
B 0,14
R R
2p
p
G G
Abb. 1
Bestimmen Sie die Größe des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels. (5 BE)
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Aufgabe IV
2. Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehler-
haft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenom-
men werden.
a) 50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A: „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft.“
B: „Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft.“
(3 BE)
b) Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit
davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens drei Teile keinen Fehler haben.
(4 BE)
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermu-
tet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Daher soll ein Hypo-
thesentest mit einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt wer-
den. Dabei wird die Nullhypothese wie folgt gewählt: „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindes-
tens 4 %.“
c) Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)
d) Das neue Granulat ist teurer als das vorherige.
Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und
begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
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Aufgabe IV
Anlage zur Aufgabe „Kunststoffteile“
Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen
liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten.
p
k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5
0 0176 0023 0003 0000 199
1 0894 0162 0027 0004 198
2 2351 0593 0125 0023 197
3 4315 1472 0395 0090 196
4 6288 2810 0950 0264 195
5 7867 4432 1856 0623 0000 194
6 8914 6063 3084 1237 0001 193
7 9507 7461 4501 2133 0005 192
8 9798 8504 5926 3270 0014 191
9 9925 9192 7192 4547 0035 190
10 9975 9599 8200 5831 0081 189
11 9992 9816 8925 6998 0168 188
12 9998 9922 9401 7965 0320 187
13 9999 9969 9688 8701 0566 186
14 9989 9848 9219 0929 0000 185
15 9996 9930 9556 1431 0001 184
16 9999 9970 9762 2075 0003 183
17 9988 9879 2849 0006 182
18 9995 9942 3724 0013 181
19 9998 9973 4655 0027 0000 180
20 9999 9988 5592 0052 0001 179
21 9995 6484 0094 0002 178
22 9998 7290 0163 0005 177
23 9999 7983 0269 0010 176
24 8551 0426 0020 175
25 8995 0648 0036 174
26 9328 0945 0064 173
27 9566 1329 0110 172
28 9729 1803 0179 171
29 9837 2366 0283 170
30 9905 3007 0430 169
31 9946 3711 0632 168
32 9971 4454 0899 167
33 9985 5210 1239 166
34 9992 5953 1656 165
35 9996 6658 2151 0000 164
36 9998 7305 2717 0001 163
37 9999 7877 3345 0001 162
38 8369 4019 0003 161
39 8777 4718 0005 160
40 9106 5422 0009 159
41 9362 6108 0016 0000 158
42 9556 6758 0027 0001 157
43 9699 7355 0045 0002 156
44 9801 7887 0072 0003 155
0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k
p
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Aufgabe IV
Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen
liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten.
p
k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5
45 9872 8349 0111 0005 154
46 9919 8738 0169 0009 153
47 9950 9056 0249 0016 152
48 9970 9310 0359 0026 151
49 9983 9506 0506 0042 150
50 9990 9655 0695 0067 149
51 9995 9764 0934 0103 148
52 9997 9843 1228 0154 147
53 9998 9897 1579 0226 0000 146
54 9999 9934 1988 0323 0001 145
55 9959 2455 0453 0002 144
56 9975 2972 0621 0003 143
57 9985 3532 0833 0005 142
58 9991 4123 1094 0008 141
59 9995 4733 1409 0013 140
60 9997 5348 1778 0021 139
61 9998 5953 2202 0034 138
62 9999 6533 2677 0052 137
63 7079 3198 0080 136
64 7579 3755 0119 135
65 8028 4338 0173 134
66 8421 4934 0247 133
67 8758 5530 0346 132
68 9040 6113 0475 131
69 9272 6670 0639 130
70 9458 7192 0844 129
71 9604 7670 1094 128
72 9716 8097 1393 0000 127
73 9800 8473 1742 0001 126
74 9862 8794 2142 0001 125
75 9906 9065 2590 0002 124
76 9938 9287 3080 0004 123
77 9959 9466 3607 0007 122
78 9974 9607 4161 0011 121
79 9984 9716 4732 0018 120
80 9990 9799 5307 0028 119
81 9994 9860 5875 0044 118
82 9996 9904 6424 0066 117
83 9998 9936 6945 0097 116
84 9999 9958 7428 0141 115
85 9999 9973 7868 0200 114
86 9983 8261 0280 113
87 9989 8603 0384 112
88 9993 8897 0518 111
89 9996 9143 0687 110
90 9998 9345 0895 109
91 9999 9508 1146 108
92 9999 9637 1444 107
93 9737 1790 106
94 9812 2184 105
0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k
p
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Aufgabe IV
Tab. 1: Summierte Binomialverteilung P(X ≤ k) für n = 200. Alle freien Plätze, die unterhalb der Zahlenkolonnen
liegen, würden durch das Runden auf 4 Dezimalen den Wert 1,0000 enthalten.
p
k 0,02 0,03 0,04 0,05 0,1 1/6 0,2 0,3 1/3 0,4 0,5
95 9869 2623 104
96 9910 3104 103
97 9939 3619 102
98 9960 4160 101
99 9974 4718 100
100 9983 5282 99
101 9989 5840 98
102 9993 6381 97
103 9996 6896 96
104 9998 7377 95
105 9999 7816 94
106 9999 8210 93
107 8556 92
108 8854 91
109 9105 90
110 9313 89
111 9482 88
112 9616 87
113 9720 86
114 9800 85
115 9859 84
116 9903 83
117 9934 82
118 9956 81
119 9972 80
120 9982 79
121 9989 78
122 9993 77
123 9996 76
124 9998 75
125 9999 74
126 9999 73
0,98 0,97 0,96 0,95 0,9 5/6 0,8 0,7 2/3 0,6 0,5 k
p
Beachte: Wenn Werte über den zweiten, dunkelgrau unterlegten Eingang der Tabelle abgelesen werden
sollen, d. h. p ≥ 0,5, muss die Differenz 1 − (abgelesener Wert) ermittelt werden.
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