Mat1-gA-Paket3.1-AB-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale
Abitur 2018 Mathematik auf grundlegendem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Kosten
Schwerpunktthema: Analysis
1. Abbildung 1 zeigt den Graphen G f der in R definierten Funktion f mit
1
· x3 − 15x2 + 50x .
f (x) =
8
y Gf
6
5
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
Abb. 1
a) Zeigen Sie, dass G f im Punkt W (5|0) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung
der Tangente an G f im Punkt W . (6 BE)
b) G f geht aus dem Graphen der in R definierten Funktion g : x 7→ 18 · x3 − 25x durch eine Verschiebung
in positive x-Richtung hervor.
Geben Sie an, um wie viel der Graph von g dazu verschoben werden muss.
Begründen Sie mithilfe der Funktion g, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich seines
Wendepunkts ist. (4 BE)
c) Betrachtet wird das Dreieck ABC mit A (0|0), B (4|0) und C (4| f (4)). Rotiert dieses Dreieck um
seine Seite AB, so entsteht ein Körper.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers. (4 BE)
R5
d) Berechnen Sie f (x) dx. (3 BE)
0
R8 R5
e) Begründen Sie ohne Rechnung, dass f (x) dx < f (x) dx gilt. (3 BE)
0 0
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Aufgabe II
f) Betrachtet wird eine in R definierte Funktion h. Abbildung 2 stellt h (x) − f (x) in Abhängigkeit von
x dar.
y
2
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 x
−1
−2
Abb. 2
Beschreiben Sie für x ∈ [0; 5] die gegenseitige Lage der Graphen von f und h.
Gehen Sie dabei – für den genannten Bereich – auf die Bedeutung der Schnittpunkte des abgebildeten
Graphen mit der x-Achse und auf die Bedeutung der x-Koordinate des Tiefpunkts dieses Graphen
ein. (4 BE)
2. Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch
die Funktion K : x 7→ x3 − 12x2 + 50x + 20 mit x ∈ [0; 9] beschrieben werden. Dabei gibt K (x)
die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von x Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt
entstehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen von K.
y
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
Abb. 3
a) Geben Sie mithilfe von Abbildung 3 die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro
betragen. (1 BE)
b) Geben Sie das Monotonieverhalten von K an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.
(2 BE)
Mat1-gA-Paket3.1-AB-2018 Aufgabe II, Seite 2 von 3
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Aufgabe II
c) Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion
eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.
(2 BE)
Die Funktion E mit E (x) = 23x gibt für 0 ≤ x ≤ 9 den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen
beim Verkauf von x Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion G gilt
G (x) = E (x) − K (x) .
Positive Werte von G werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
d) Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit
verkauft werden. (2 BE)
e) Zeichnen Sie den Graphen von E in Abbildung 3 ein.
Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge
der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt. (4 BE)
f) Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den
größten Gewinn erzielt. (5 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Baumärkte
Schwerpunktthema: Lineare Algebra
In einer Stadt gibt es zwei Baumärkte A und B. Modellhaft soll davon ausgegangen werden, dass von
einem Monat zum nächsten 70 % der Kunden des Baumarkts A und 80 % der Kunden des Baumarkts B
wieder beim selben Baumarkt einkaufen, während die übrigen Kunden zum jeweils anderen Baumarkt
wechseln.
a) Stellen Sie das Verbleiben bzw. Wechseln der Kunden zwischen den Baumärkten von einem Monat
zum nächsten in einem Übergangsdiagramm dar. (2 BE)
b) In einem bestimmten Monat hat der Baumarkt A 4000 Kunden und der Baumarkt B 6000 Kunden.
Ermitteln Sie für jeden der beiden Baumärkte die Anzahl der Kunden, die im folgenden Monat zum
jeweils anderen Baumarkt wechseln .
Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (3 BE)
In der Stadt eröffnet ein dritter Baumarkt C. DieVerteilungen
der Kunden auf die Baumärkte A, B und
a
C werden modellhaft durch Vektoren der Form b beschrieben, wobei a die Anzahl der Kunden des
c
Baumarkts A, b die Anzahl der Kunden des Baumarkts B und c die Anzahl der Kunden des Baumarkts
C bezeichnet. Damit kann
die Entwicklungder Kundenverteilung von einem Monat n zum nächsten
0,63 0,18 0,3
durch die Matrix M = 0,27 0,72 0,45 und die Gleichung M · → −
vn = −
v−→
n+1 beschrieben werden.
0,1 0,1 0,25
In einem Sommermonat hat der Baumarkt A 3700 Kunden, der Baumarkt B 5100 Kunden und
der Baumarkt C 1200 Kunden.
c) Geben Sie ein Gleichungssystem an, mit dem die jeweilige Anzahl der Kunden der Baumärkte im
Monat vor dem beschriebenen Sommermonat ermittelt werden können. (2 BE)
d) In dem Monat, der auf den beschriebenen Sommermonat folgt, hat der Baumarkt A 3609 Kunden.
Berechnen Sie für diesen Monat die jeweilige Anzahl der Kunden der Baumärkte B und C.
Geben Sie den prozentualen Anteil der Kunden des Baumarkts C an der Gesamtzahl der Kunden der
drei Baumärkte an. (3 BE)
e) Geben Sie an, für welchen der drei Baumärkte der Anteil der Kunden, die von einem Monat zum
nächsten zu einem anderen Baumarkt wechseln, am kleinsten ist.
Nennen Sie den zugehörigen Anteil. (2 BE)
f) Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms M · M · M im Sachzusammenhang. (2 BE)
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Aufgabe III
Der Baumarkt C muss befürchten, den für seinen wirtschaftlichen Erfolg notwendigen Anteil von 25 %
der Kunden aller drei Baumärkte nicht zu erreichen. Der Baumarkt führt deshalb Rabattaktionen durch,
mit deren Hilfe Kunden gebunden werden sollen. Ab dem Monat, in dem die Aktionen beginnen, lässt
sich das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten im Modell durch eine Matrix
0,63 0,18 0,4 · (1 − p)
N = 0,27 0,72 0,6 · (1 − p)
0,1 0,1 p
mit p ∈ [0; 1] beschreiben.
g) In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen beträgt die Anzahl der Kunden für den Baumarkt A
3650,38 − 470,6 · p und für den Baumarkt B 5467,27 − 705,9 · p; die drei Baumärkte haben zusammen
10000 Kunden.
Ermitteln Sie, in welchem Bereich der prozentuale Anteil der Kunden des Baumarkts C in diesem
Monat liegen kann. (4 BE)
h) In einem Monat nach Beginn der Rabattaktionen hat der Baumarkt A 3556 Kunden, der Baumarkt
B 5326 Kunden und der Baumarkt C 1118 Kunden. Im folgenden Monat hat der Baumarkt C 1112
Kunden.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von p. (2 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Smartphones
Schwerpunktthema: Stochastik
1. Von allen Jugendlichen eines Landes im Alter von 14 bis 25 Jahren sind 49,20 % weiblich. 47,10 % der
Jugendlichen erledigen ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet. Der An-
teil der Jugendlichen, die weiblich sind und ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartpho-
ne oder Tablet erledigen, beträgt 19,68 %.
a) Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel
dar. (3 BE)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte
Person entweder männlich ist oder ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigt. (3 BE)
c) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den weiblichen Jugendlichen
zufällig ausgewählte Person ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet
erledigt, 40 % beträgt. (2 BE)
d) Es werden 50 weibliche Jugendliche zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: „Die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigt Finanzangelegenheiten regelmäßig
mittels Smartphone oder Tablet.“
B: „Mehr als die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigen Finanzangelegenheiten
regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
(4 BE)
Aus einer Gruppe von zehn Jugendlichen nutzen für Finanzangelegenheiten vier Personen nur Smartpho-
nes und sechs nur Tablets. Aus dieser Gruppe werden drei Jugendliche zufällig ausgewählt.
e) Begründen Sie, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten
Personen, die für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen, nicht geeignet ist. (2 BE)
f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Personen für
Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen. (3 BE)
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Aufgabe IV
2. Das abgebildete Diagramm 1 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zu-
fallsgröße Y1 mit den Parametern n1 = 20 und p1 dar. Der Erwartungswert von Y1 ist ganzzahlig.
P(Y1 = k)
0,20
0,15
0,10
0,05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
Abb. 1
Betrachtet wird zusätzlich die binomialverteilte Zufallsgröße Y2 mit den Parametern n2 = 40 und p2 .
Der Erwartungswert von Y2 ist halb so groß wie der Erwartungswert von Y1 .
Bestimmen Sie das Verhältnis der Varianzen von Y1 und Y2 . (3 BE)
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