Mat1-gA-Paket3.2-AB-2018
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abituraufgabe Mathematik 2018 Hamburg“
Diese Anfrage wurde als Teil der Kampagne „Frag sie Abi!“ gestellt.
Freie und Hansestadt Hamburg allgemeinbildende und
Behörde für Schule und Berufsbildung berufliche gymnasiale
Abitur 2018 Mathematik auf grundlegendem Anforderungsniveau Oberstufen
Aufgabe II
Aufgabe II: Kosten
Schwerpunktthema: Analysis
1. Abbildung 1 zeigt den Graphen G f der in R definierten Funktion f mit
1
· x3 − 15x2 + 50x .
f (x) =
8
y Gf
6
5
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
Abb. 1
a) Zeigen Sie, dass G f im Punkt W (5|0) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung
der Tangente an G f im Punkt W . (6 BE)
b) G f geht aus dem Graphen der in R definierten Funktion g : x 7→ 18 · x3 − 25x durch eine Verschiebung
in positive x-Richtung hervor.
Geben Sie an, um wie viel der Graph von g dazu verschoben werden muss.
Begründen Sie mithilfe der Funktion g, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich seines
Wendepunkts ist. (4 BE)
c) Betrachtet wird das Dreieck ABC mit A (0|0), B (4|0) und C (4| f (4)). Rotiert dieses Dreieck um
seine Seite AB, so entsteht ein Körper.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche dieses Körpers. (4 BE)
R5
d) Berechnen Sie f (x) dx. (3 BE)
0
R8 R5
e) Begründen Sie ohne Rechnung, dass f (x) dx < f (x) dx gilt. (3 BE)
0 0
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Aufgabe II
f) Betrachtet wird eine in R definierte Funktion h. Abbildung 2 stellt h (x) − f (x) in Abhängigkeit von
x dar.
y
2
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 x
−1
−2
Abb. 2
Beschreiben Sie für x ∈ [0; 5] die gegenseitige Lage der Graphen von f und h.
Gehen Sie dabei – für den genannten Bereich – auf die Bedeutung der Schnittpunkte des abgebildeten
Graphen mit der x-Achse und auf die Bedeutung der x-Koordinate des Tiefpunkts dieses Graphen
ein. (4 BE)
2. Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch
die Funktion K : x 7→ x3 − 12x2 + 50x + 20 mit x ∈ [0; 9] beschrieben werden. Dabei gibt K (x)
die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von x Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt
entstehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen von K.
y
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
Abb. 3
a) Geben Sie mithilfe von Abbildung 3 die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro
betragen. (1 BE)
b) Geben Sie das Monotonieverhalten von K an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.
(2 BE)
Mat1-gA-Paket3.2-AB-2018 Aufgabe II, Seite 2 von 3
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Aufgabe II
c) Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion
eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.
(2 BE)
Die Funktion E mit E (x) = 23x gibt für 0 ≤ x ≤ 9 den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen
beim Verkauf von x Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion G gilt
G (x) = E (x) − K (x) .
Positive Werte von G werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
d) Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit
verkauft werden. (2 BE)
e) Zeichnen Sie den Graphen von E in Abbildung 3 ein.
Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge
der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt. (4 BE)
f) Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den
größten Gewinn erzielt. (5 BE)
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Aufgabe III
Aufgabe III: Kletteranlage
Schwerpunktthema: Analytische Geometrie
Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontalen Plattfor-
men, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer
der beiden Plattformen angebracht ist.
x3
Pfahl 1
Pfahl 2
4
C b
T
Plattform 1 b Plattform 2
b
B b
S
b 2 R b
D−8−6 A b x2
−4
P1 Kletterwand b
F 12 14 16
−2 b 6 8 10
2 4 P2
−4 −2 2 b
4 b
6 E
8
10
x1
Abb. 1
Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem beschreibt die x1 x2 -Ebene den horizontalen Unter-
grund; eine Längeneinheit entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Die Punkte, in denen die Pfähle aus dem
Untergrund austreten, werden durch P1 (0|0|0) und P2 (5|10|0) dargestellt. Außerdem sind die Koordina-
ten der Eckpunkte
A (3|0|2), B (0|3|2), E (6|0|0), F (0|6|0), R (5|7|3), S (8|13|3) und T (2|10|3)
gegeben. Die Materialstärke aller Bauteile der Anlage soll vernachlässigt werden.
a) In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt,
das 20 % länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte.
Berechnen Sie die Länge des Seils. (3 BE)
Die Punkte A, B, E und F liegen in der Ebene L : 2x1 + 2x2 + 3x3 − 12 = 0.
b) Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat, in dem zwei gegenüberliegende Seiten
gleich lang sind. (3 BE)
c) Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt. (3 BE)
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Aufgabe III
d) Auf die Anlage treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden.
Die Eckpunkte der Plattform 2 werden durch R, S und T dargestellt, die zugehörigen Eckpunkte des
Schattens dieser Plattform durch R0 (4|2|0), S0 bzw. T 0 (1|5|0). Der gesamte Schatten von Plattform 2
liegt auf dem horizontalen Untergrund.
Zeigen Sie rechnerisch, dass T 0 auf der Strecke EF liegt.
Berechnen Sie die Koordinaten von S0 und stellen Sie den Schatten der Plattform 2 in der obigen
Abbildung 1 grafisch dar. (6 BE)
e) Über ein Drahtseil kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Der eine Endpunkt dieses Seils
ist am Pfahl 1 auf der Höhe der Plattform 1 befestigt, der andere am Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2.
Das Seil ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es geradlinig verläuft. Es berührt
die Plattform 2 an der Seite, die durch RT dargestellt wird.
Betrachtet wird derjenige Endpunkt des Seils, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist.
Beschreiben Sie, wie man den Abstand dieses Endpunkts von der Plattform 2 berechnen könnte,
wenn bekannt wäre, in welchem Verhältnis die durch RT dargestellte Seite der Plattform durch den
Berührpunkt des Seils geteilt wird. (5 BE)
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Aufgabe IV
Aufgabe IV: Smartphones
Schwerpunktthema: Stochastik
1. Von allen Jugendlichen eines Landes im Alter von 14 bis 25 Jahren sind 49,20 % weiblich. 47,10 % der
Jugendlichen erledigen ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet. Der An-
teil der Jugendlichen, die weiblich sind und ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartpho-
ne oder Tablet erledigen, beträgt 19,68 %.
a) Stellen Sie den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel
dar. (3 BE)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den Jugendlichen zufällig ausgewählte
Person entweder männlich ist oder ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder
Tablet erledigt. (3 BE)
c) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine unter den weiblichen Jugendlichen
zufällig ausgewählte Person ihre Finanzangelegenheiten regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet
erledigt, 40 % beträgt. (2 BE)
d) Es werden 50 weibliche Jugendliche zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: „Die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigt Finanzangelegenheiten regelmäßig
mittels Smartphone oder Tablet.“
B: „Mehr als die Hälfte der ausgewählten weiblichen Jugendlichen erledigen Finanzangelegenheiten
regelmäßig mittels Smartphone oder Tablet.“
(4 BE)
Aus einer Gruppe von zehn Jugendlichen nutzen für Finanzangelegenheiten vier Personen nur Smartpho-
nes und sechs nur Tablets. Aus dieser Gruppe werden drei Jugendliche zufällig ausgewählt.
e) Begründen Sie, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten
Personen, die für Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen, nicht geeignet ist. (2 BE)
f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Personen für
Finanzangelegenheiten nur Smartphones nutzen. (3 BE)
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Aufgabe IV
2. Das abgebildete Diagramm 1 stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zu-
fallsgröße Y1 mit den Parametern n1 = 20 und p1 dar. Der Erwartungswert von Y1 ist ganzzahlig.
P(Y1 = k)
0,20
0,15
0,10
0,05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k
Abb. 1
Betrachtet wird zusätzlich die binomialverteilte Zufallsgröße Y2 mit den Parametern n2 = 40 und p2 .
Der Erwartungswert von Y2 ist halb so groß wie der Erwartungswert von Y1 .
Bestimmen Sie das Verhältnis der Varianzen von Y1 und Y2 . (3 BE)
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