Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2013 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Analysis 2. 1 Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage  entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2013 1. Inhaltliche Schwerpunkte  Untersuchung von ganzrationalen Funktionen einschließlich Funktionenscharen und Exponentialfunktionen einschließlich notwendiger Ableitungsregeln (Produkt- und Kettenregel) in Sachzusammenhängen  Untersuchungen von Wirkungen (Änderungsrate)  Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien  entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 2 von 7 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Die Höhe der Buche, deren Höhenwachstum durch die Funktion f beschrieben wird, nimmt mit der Zeit ständig zu auf knapp 35 m am Ende des in der Abbildung 1 dar- gestellten Zeitintervalls. Der Graph von f ist erst links-, danach rechtsgekrümmt: Die Wachstumsgeschwindig- keit nimmt daher zunächst zu, nach knapp 40 Jahren wieder ab und sinkt gegen Ende des dargestellten Zeitintervalls auf weniger als 1 Meter pro 40 Jahre [2,5 cm/Jahr].  (2) f  20   0,3  35  1  e  0,4  2  4,1 . 20 Jahre nach dem Einpflanzen ist die Buche ungefähr 4,1 m hoch. (3) Für t  0 gilt 0  e  0 ,02t  1 und daher f (t )  0,3  35  1  0   35,3 . 2 [Eine alternative Begründung könnte über Funktionswerte für „größere t“ bzw. anhand des Grenzwertes von f (t ) für t   erfolgen.] Modelllösung b) Gesucht ist das globale Maximum von f  .   f   t   0,3  35  1  2  e   35  2  0,02  e   1, 4  e  0,02  t   0,02  t e f   t   1, 4  0,02  e f   t1   0  0,028  e  0,02 t1   0,02  t  0,04  e  0,04  t  0,02 t  2e e  0,04  t  0,04  t   0,04 t   0,028   2  e ,  0,04  e  0,02 t1    1  0  2e  0,02 t1  0,04 t e  0,02 t . 1  0  t1  50  ln 2   34,7  Da f  an der Stelle t1  50  ln 2 das Vorzeichen von + nach – wechselt, ist f   t1  lokales Maximum von f  . Als einziges lokales Extremum ist f   t1  auch globales Maximum von f  . Die Buche wächst zum Zeitpunkt t1  50  ln 2 , d. h. knapp 35 Jahre nach dem Anpflanzen am stärksten. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 3 von 7 Modelllösung c) (1) Die Wachstumsgeschwindigkeiten beider Buchen nehmen bis etwa 35 Jahre nach dem Einpflanzen ständig zu, erreichen zu diesem Zeitpunkt ihre Höchstwerte von ca. 0,35 m/Jahr (Buche 1) bzw. ca. 0,28 m/Jahr (Buche 2). Beide Wachstumsge- schwindigkeiten nehmen danach ständig ab. Die Wachstumsgeschwindigkeit der ersten Buche ist [bis auf Gleichheit für t  0 ] im gesamten in der Abbildung 2 dargestellten Zeitintervall größer als die Wachstums- geschwindigkeit der zweiten Buche. [Weitere Aussagen sind denkbar. Nicht alle Gesichtspunkte müssen vom Prüfling genannt werden.] 1,1  f   t  . Der Graph von g geht daher durch Streckung (2) Für alle t  0 gilt: g  t   1, 4 11 [mit dem Streckfaktor s   1 ] aus dem Graphen von f  hervor. 14 Daher besitzt g dieselben Extremstellen wie f  . [Alternativ kann beispielsweise auch die Maximalstelle von g berechnet bzw. mit Hilfe der Faktorregel argumentiert werden.] (3) Die Fläche unter dem Graphen von f  bzw. g im Intervall [0; t ] stellt den Höhen- zuwachs des betreffenden Baumes von der Anpflanzung bis zum Zeitpunkt t dar. Da die Wachstumsgeschwindigkeit der ersten Buche [bis auf Gleichheit für t  0 ] zu jedem Zeitpunkt t des in der Abbildung 2 dargestellten Zeitintervalls größer als die Wachstumsgeschwindigkeit der zweiten Buche ist (siehe (1)) und die Anfangshöhen gleich waren, ist die Höhe der ersten Buche zu jedem Zeitpunkt t  0 größer als die Höhe der zweiten Buche. [Alternative Lösungswege sind denkbar.] Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 7 Modelllösung d) (1) Es gilt:  h  t   27,5   e  0,04  t 2e  27,5    0,04  e  27,5  0,04   e  1,1   e  0,02  t  0,04  t  0,02  t e  0,02  t  2    0,02   e e  0,04  t    0,04  t  0,02  t     g  t  . (2) Gemäß den Modellierungen beträgt der Höhenunterschied der beiden Buchen 50 Jahre nach Anpflanzen der Bäume: 50 d  f  50   f  0    g  t  dt 0  f  50   f  0   h  t   0 50  f  50   f  0   h  50   h  0    2,996...  3. Da der Höhenunterschied nur knapp 3 m beträgt, ist die Behauptung falsch. 6.2 Teilleistungen – Kriterien Teilaufgabe a) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) beschreibt den Verlauf des Graphen von f im Sachzusammenhang. 4 2 (2) berechnet f (20) und nennt die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang. 3 3 (3) begründet, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als 35,3 m werden kann. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 1 Seite 5 von 7 Teilaufgabe b) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 berechnet die ersten beiden Ableitungen von f. 5 2 berechnet die Nullstelle von f  . 4 3 bestimmt den Zeitpunkt, zu dem die Buche am stärksten wächst. 5 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe c) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) beschreibt den zeitlichen Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Buchen im Vergleich. 5 2 (2) begründet, dass der Graph von g an derselben Stelle ein Maximum besitzt wie der Graph von f  . 4 3 (3) begründet anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt t  0 eine größere Höhe hat als die zweite Buche. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Teilaufgabe d) maximal erreichbare Punktzahl Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeigt, dass die Funktion h eine Stammfunktion von g ist. 4 2 (2) prüft, ob die Behauptung wahr ist. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender Punktzahl bewertet. Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 7 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:____________________________________ Kursbezeichnung:____________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) beschreibt den Verlauf … 4 2 (2) berechnet f (20) und … 3 3 (3) begründet, dass gemäß … 4 EK 2 ZK DK sachlich richtige Alternativen: (11) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe a) 11 Teilaufgabe b) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 berechnet die ersten … 5 2 berechnet die Nullstelle … 4 3 bestimmt den Zeitpunkt … 5 sachlich richtige Alternativen: (14) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe b) 2 14 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK ZK DK

M GK HT 1 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 7 von 7 Teilaufgabe c) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) beschreibt den zeitlichen … 5 2 (2) begründet, dass der … 4 3 (3) begründet anhand der … 6 EK ZK DK sachlich richtige Alternativen: (15) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe c) 15 Teilaufgabe d) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) zeigt, dass die … 4 2 (2) prüft, ob die … 6 EK ZK sachlich richtige Alternativen: (10) ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. Summe Teilaufgabe d) 10 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK

M GK HT 1 Seite 1 von 3 Name: _______________________ Abiturprüfung 2013 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum. Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von 0,3 m. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion f mit der Gleichung  f  t   0,3  35  1  e  0,02  t  2   0,3  35  1  2  e  0,02  t e  0,04  t , t  0. Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, f (t ) als Maßzahl zur Einheit 1 Meter aufgefasst. Der Zeitpunkt der Pflanzung der kleinen Buche wird durch t  0 festgelegt. Der Graph von f ist in Abbildung 1 auf Seite 2 dargestellt. a) (1) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f im Sachzusammenhang. (2) Berechnen Sie f (20) und nennen Sie die Bedeutung des Wertes im Sachzusammen- hang. (3) Begründen Sie, dass gemäß der Modellierung die Buche nicht höher als 35,3 m werden kann. (11 Punkte) b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t1 , zu dem die Buche am stärksten wächst. [Hinweis: In Abbildung 2 auf Seite 2 ist auch der Graph von f  dargestellt. Zur Kontrolle: f   t   1, 4   e  0,02 t e  0,04 t  ; f   t   0,028   2  e  0,04 t e  0,02 t ] (14 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Seite 2 von 3 Name: _______________________ c) In Abbildung 2 ist neben dem Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit f ' der oben genannten Buche auch der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit g' einer zweiten Buche  0,02  t  0,04  t mit der Gleichung g  t   1,1   e e  , t  0 , dargestellt. Die zweite Buche wurde an einem anderen Standort zum selben Zeitpunkt wie die erste Buche gepflanzt. Bei der Pflanzung war auch die zweite Buche 0,3 m hoch. (1) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Wachstumsgeschwindigkeiten der beiden Buchen im Vergleich. (2) Begründen Sie, dass der Graph von g' an derselben Stelle ein Maximum besitzt wie der Graph von f ' . (3) Begründen Sie anhand der Abbildung 2, dass die erste Buche zu jedem Zeitpunkt t  0 eine größere Höhe hat als die zweite Buche. (15 Punkte) d) (1) Zeigen Sie, dass die Funktion h mit der Gleichung h  t   27,5   e t  0 , eine Stammfunktion von g ist.  0,04  t 2e  0,02  t , (2) Jemand behauptet, dass die beiden Buchen 50 Jahre nach ihrer Anpflanzung gemäß den Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens 3,50 m aufweisen müssten. Prüfen Sie, ob die Behauptung wahr ist. (10 Punkte) [Meter/Jahr] [Meter] f t [Jahre] t [Jahre] Abbildung 1 Abbildung 2 Nur für den Dienstgebrauch!

M GK HT 1 Seite 3 von 3 Name: _______________________ Zugelassene Hilfsmittel:  Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit)  Mathematische Formelsammlung  Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!