M LK HT 1 (GG) Seite 1 von 4 Name: _______________________ Abiturprüfung 2015 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung Ein Schüler beobachtet in einem Experiment insgesamt sechs Tage lang die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung. Zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage verwendet er für 0 ≤ t ≤ 3 die Funktion N 1 mit der Gleichung 500 ⋅ e N1 (t ) = 0,6⋅t , t ∈ IR . Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und N 1 ( t ) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt t aufgefasst. Der Graph von N 1 ist in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1 a) (1) Berechnen Sie den Funktionswert von N 1 an der Stelle t = 3 und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. (2) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 2 von 4 Name: _______________________ (3) Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung. [Zur Kontrolle: Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr 583.] (4) Der Schüler berechnet einen Näherungswert für die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages, indem er das arithmetische Mittel der Funktionswerte N 1 ( 0 ) und N 1 ( 0,5 ) bildet. Zeigen Sie, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte N 1 ( 0 ) und N 1 ( 0, 5 ) um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht. (5) Weisen Sie nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte N 1 ( a ) und N 1 ( a + 0, 5 ) von der durchschnittlichen Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall [a; a+0,5] mit 0 ≤ a ≤ 2, 5 unabhängig von a weniger als 1 % beträgt. (2 + 3 + 5 + 4 + 7 Punkte) b) Während der ersten drei Tage (für 0 ≤ t ≤ 3 ) wird im Modell des Schülers die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen durch die Funktion r1 mit der Gleichung 300 ⋅ e r1 ( t ) = 0 ,6⋅t , t ∈ IR , beschrieben. Dabei wird r1 ( t ) als Maßzahl zur Einheit 1 Tier pro Tag aufgefasst. (1) Für die Funktion r1 und die zugehörige Ableitungsfunktion r1′ gilt für alle t ∈ IR die Aussage: r1 ( t ) > 0 und r1′ ( t ) > 0 . [Die Gültigkeit dieser Aussage müssen Sie nicht nachweisen.] Interpretieren Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang. (2) Ermitteln Sie die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. (5 + 4 Punkte) Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 3 von 4 Name: _______________________ c) Bei der weiteren Beobachtung erkennt der Schüler, dass nach etwa drei Tagen die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen geringer wird. Um die Ent- wicklung ab dem Zeitpunkt t = 3 zu prognostizieren, sucht er eine Funktion, für deren momentane Änderungsrate r2 zu jedem Zeitpunkt t= 3 + a mit 0 ≤ a ≤ 3 die Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) gilt. (1) Interpretieren Sie die Bedeutung der Gleichung r2 ( 3 + a )= r1 ( 3 − a ) , 0 ≤ a ≤ 3, im Sachzusammenhang. t ) 300 ⋅ e (2) Leiten Sie aus der Gleichung r1 (= für die momentane Änderungsrate r1 und der Gleichung r2 ( 3 + a )= r1 ( 3 − a ) , 0 ≤ a ≤ 3, die Gleichung 0 ,6⋅t r2 ( t )= 300 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅t , 3≤t ≤6, zur Modellierung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag her. (3) Ermitteln Sie ausgehend von den Funktionen N 1 und r2 eine Gleichung der Funk- tion N 2 , durch die die Anzahl der Pantoffeltierchen nach dem dritten Tag bis zum Ende der Beobachtung (also für 3 ≤ t ≤ 6 ) beschrieben werden kann. [Zur Kontrolle: N 2 ( t ) = 1000 ⋅ e 1,8 − 500 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅t .] Abbildung 2 Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Seite 4 von 4 Name: _______________________ (4) Erklären Sie anhand von Abbildung 2, weshalb die folgende Gleichung gilt: 3 6 0 3 N t d t + N t d t = 6 ⋅ N 3 . ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ∫ ∫ [Die Punktsymmetrie des Graphen zu ( 3 | N1 (3) ) muss nicht nachgewiesen werden.] (5) Der Schüler verwendet die Funktion N 2 auch zur Modellierung der Anzahl der Pantoffeltierchen für t ≥ 6 . Begründen Sie, dass in diesem Modell die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird. (3 + 4 + 6 + 4 + 3 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch!

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 1 (GG) Seite 1 von 6 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 2015 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Analysis 2. Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage • entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben 2015 1. Inhaltliche Schwerpunkte • Untersuchung von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen einschließ- lich Funktionenscharen sowie Logarithmusfunktionen in Sachzusammenhängen, notwendige Ableitungsregeln (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) • Untersuchung von Wirkungen (Integral der Änderungsrate) • Integrationsregeln (partielle Integration, Substitution) • Flächenberechnung durch Integration 2. Medien/Materialien • entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel • Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 6. Seite 2 von 6 Modelllösungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung“). Teilaufgabe a) (1) N 1 ( 3 ) =500 ⋅ e 0 ,6⋅3 ≈ 3025 Im gegebenen Modell sind drei Tage nach Beobachtungsbeginn ungefähr 3025 Pantoffel- tierchen in der Nährlösung vorhanden. (2) N 1 (= t ) 2000 ⇔ 500 ⋅ e = 2000 ⇔ e = 4 ⇔= t 0 ,6⋅t 0 ,6⋅t ln ( 4 ) 0, 6 ≈ 2, 31 . Im Modell sind ungefähr 2,31 Tage nach Beobachtungsbeginn 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung enthalten. 0,5 0,5 1 1  1 5000 0,3 5000 0 0,6⋅t  . (3) ⋅ ∫ N1 ( t ) d= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ≈ t 500 e e e 583   0,5 − 0 0 0,5  0,6 3 3 0 Die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung beträgt ungefähr 583. N1 ( 0 ) + N1 ( 0,5 ) 500 ⋅ e + 500 ⋅ e (4) = 2 2 0 0,3 ≈ 587. N1 ( 0 ) + N1 ( 0,5 ) 2 . ≈ 1,0075 0,5 1 ⋅ ∫ N1 ( t ) dt 0,5 − 0 0 Das arithmetische Mittel der Funktionswerte N 1 ( 0 ) und N 1 ( 0, 5 ) weicht um ungefähr 0,75 % und damit um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt ab. (5) Arithmetisches Mittel M ( a ) der Funktionswerte N 1 ( a ) und N 1 ( a + 0, 5 ) : N 1 ( a ) + N 1 ( a + 0,5 ) 500 ⋅ e = 2 0,6⋅a + 500 ⋅ e 2 0,6⋅( a + 0,5 ) = 250 ⋅ e Nur für den Dienstgebrauch! 0,6⋅a ⋅ (1 + e 0,3 ).

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 3 von 6 Durchschnittliche Anzahl D ( a ) der Pantoffeltierchen in einem Zeitintervall [a; a+0,5] : 1 ⋅ a + 0,5 − a a + 0,5 ∫ a a + 0,5 1  1 0,6⋅t  ⋅ 500 ⋅ ⋅e  N 1 ( t ) dt = 0,5  0,6 a 5000 0,6⋅( a+0,5 ) 5000 0,6⋅a = ⋅e − ⋅e 3 3 5000 0,6⋅a 0,3 = ⋅ e ⋅ ( e − 1) . 3 3 ⋅ (1 + e ) M ( a ) 250 ⋅ e ⋅ (1 + e ) . = = ≈ 1,0075 0,3 5000 D ( a) 0,6⋅a 0,3 ⋅ − e 20 1 ( ) ⋅ e ⋅ ( e − 1) 3 0,6⋅a 0,3 0,3 Das arithmetische Mittel der Funktionswerte N 1 ( a ) und N 1 ( a + 0, 5 ) weicht also unab- hängig von a um ungefähr 0,75 % und damit um weniger als 1 % von der durchschnittli- chen Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall [a; a+0,5] ab. Teilaufgabe b) (1) Da für alle t ∈ IR die Aussage r1 ( t ) > 0 gilt, ist die Änderungsrate von N 1 immer positiv, im Modell des Schülers nimmt daher die Anzahl der Pantoffeltierchen während der ersten drei Tage ständig zu. Da zusätzlich für alle t ∈ IR die Aussage r1′ ( t ) > 0 gilt, ist auch die Änderungsrate von r1 immer positiv, die Anzahl der Pantoffeltierchen wächst daher im Modell des Schülers immer schneller. (2) Da die Anzahl der Pantoffeltierchen immer schneller wächst, liegt die größte Wachstums- rate im Intervall [0; 3] an der Stelle 3 vor. r1 ( 3 ) = 300 ⋅ e 1,8 ≈ 1815 . Die größte Wachstumsrate, die sich aus dem Modell für die ersten drei Tage ergibt, beträgt ungefähr 1815 Pantoffeltierchen pro Tag. Teilaufgabe c) (1) Im Sachzusammenhang bedeutet die Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) , dass die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung im gleichen zeitlichen Abstand vor und nach dem Zeitpunkt „drei Tage nach Beobachtungsbeginn“ jeweils gleich schnell wächst. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 4 von 6 (2) Mit 3 + a =t ⇔ a =t − 3 ergibt sich: r2 ( t )= r1 ( 3 − ( t − 3 ) )= r1 ( 6 − t )= 300 ⋅ e t (3) N 2 ( t ) =N 1 ( 3 ) + ∫ r2 ( u ) du =500 ⋅ e 3 = 500 ⋅ e 1 ,8 − 500 ⋅ e 3 ,6 − 0 ,6⋅t 0 ,6⋅( 6 −t ) = 300 ⋅ e 3 ,6 − 0 ,6⋅t . t 0 ,6⋅3  1 3 ,6 − 0 ,6⋅u  + 300 ⋅ ⋅e  − 0, 6  3 + 500 ⋅ e 1 ,8 = 1000 ⋅ e 1 ,8 − 500 ⋅ e 3 ,6 − 0 ,6⋅t . (4) 3 6 0 3 N t d t + N t d t kann geometrisch als Inhalt der Fläche interpretiert werden, die ( ) ( ) 1 2 ∫ ∫ in der Abbildung oben schraffiert ist, 6 ⋅ N 1 ( 3 ) kann als Inhalt des grauen Rechtecks in der Abbildung interpretiert werden. Da der Anteil der grau eingefärbten Fläche, die im Intervall [0; 3] oberhalb des Graphen von N 1 liegt, genauso groß ist wie der Anteil der schraffierten Fläche, die im Intervall [3; 6] oberhalb des grau eingefärbten Rechtecks liegt (vgl. Hinweis in der Aufgabenstellung), sind die grau eingefärbte Rechteckfläche und die schraffierte Fläche gleich groß, es gilt daher (5) Für alle t ∈ IR gilt 500 ⋅ e N 2 ( t ) = 1000 ⋅ e 1,8 3,6 − 0,6⋅t − 500 ⋅ e 3,6 − 0,6⋅t 3 6 0 3 N t d t + N t d t = 6 ⋅ N 3 . ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ∫ ∫ > 0 . Daraus folgt für alle t ∈ IR : < 1000 ⋅ e 1,8 ≈ 6049,6 < 6050 . Bei Modellierung mit N 2 wird somit die Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nähr- lösung nie größer als 6050. Nur für den Dienstgebrauch!

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW 7. Seite 5 von 6 Teilleistungen – Kriterien / Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings:__________________________________ Kursbezeichnung:_________ Schule: _____________________________________________ Teilaufgabe a) Anforderungen Lösungsqualität Der Prüfling maximal erreichbare Punktzahl 1 (1) berechnet den Funktionswert von N 1 an der Stelle t = 3 und interpretiert diesen Wert im Sachzusammenhang. 2 2 (2) bestimmt rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem 2000 Pantoffeltierchen in der Nährlösung vorhanden sind. 3 3 (3) berechnet die durchschnittliche Anzahl von Pantoffel- tierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung. 5 4 (4) zeigt, dass das arithmetische Mittel der Funktionswerte N 1 ( 0 ) und N1 ( 0,5 ) um weniger als 1 % von dem in (3) berechneten Durchschnitt abweicht. 4 5 (5) weist nach, dass die prozentuale Abweichung des arithmetischen Mittels der Funktionswerte N 1 ( a ) und N1 ( a + 0,5 ) von der durchschnittlichen Anzahl der Pan- toffeltierchen in der Nährlösung in einem Zeitintervall [a;a+0,5] mit 0 ≤ a ≤ 2,5 unabhängig von a weniger als 1 % beträgt. 7 Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (21) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe a) 2 21 EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur Nur für den Dienstgebrauch! EK 2 ZK DK

M LK HT 1 (GG) Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW Seite 6 von 6 Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare DK Punktzahl 1 (1) interpretiert die Bedeutung der Aussage r1 ( t ) > 0 und 5 r1′ ( t ) > 0 im Sachzusammenhang. 2 (2) ermittelt die größte momentane Änderungsrate der Anzahl der Pantoffeltierchen in der Nährlösung in den ersten drei Tagen. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… Summe Teilaufgabe b) 4 9 Teilaufgabe c) Anforderungen Der Prüfling Lösungsqualität maximal EK ZK erreichbare Punktzahl 1 (1) interpretiert die Bedeutung der Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) im Sachzusammenhang. 3 2 (2) leitet aus der Gleichung für die momentane Ände- rungsrate r1 und der Gleichung r2 ( 3 + a ) = r1 ( 3 − a ) die 4 Gleichung r2 (= t ) 300 ⋅ e 3 4 3,6 − 0,6⋅t her. (3) ermittelt ausgehend von den Funktionen N 1 und r2 eine Gleichung der Funktion N 2 , durch die die Anzahl der Pan- toffeltierchen nach dem dritten Tag beschrieben werden kann. (4) erklärt anhand von Abbildung 2, weshalb die Gleichung 3 6 0 3 6 4 N t d t + N t d t = 6 ⋅ N 3 gilt. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ∫ ∫ 5 (5) begründet, dass im Modell die Anzahl der Pantoffel- tierchen in der Nährlösung zu keinem Zeitpunkt größer als 6050 wird. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (20) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3 Summe Teilaufgabe c) 20 Summe insgesamt 50 Die Festlegung der Gesamtnote der Prüfungsleistung erfolgt auf dem Bewertungsbogen einer Aufgabe aus der Aufgabengruppe 2. Nur für den Dienstgebrauch! DK