Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

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Erreichbar

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zone | I I I FL FL

a) Die Funktion f sowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Aussage Entscheidung und Begründung

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion
hat im Punkt P(-2]4,5)
einen Tiefpunkt.

 

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex= 1 eine
waagrechte Tangente.

 

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
gAHT 13 S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 1von 7

OHNE CAS

b) Bestimmen Sie die Parameter der Funktionsgleichung f(x) = a-cos(b-(x+c))+dund
tragen Sie diese in die Tabelle ein.

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie

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13. März 2013
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(Abschnitt 1)

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG
gAHT 13 S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS

Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r e) • • OHNE CAS ML. Der Vektor cL ist der Summenvektor der Vektoren MaL und b Berechnen Sie den Wert des Parameters t mit t ∈ ℝ: 3 −1 2 ML = N 2t O, cL = N−4O. MaL = N 4 O, b −3 1 −2 x−4 4 0 Bestimmen Sie die Werte x, y ∈ ℝ, so dass gilt: P Q + P Q = R S. y−1 1 −2 f) Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den Geradengleichungen 0 b g: MxL = N1O + s ∙ N2O a 6 und 1 h: MxL = N2O + t ∙ 1 2 N1O mit a, b ∈ ℝ. 3 Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Für b = 4 sind die Geraden parallel zueinander. Für a = −2 und b = 5 schneiden sich die Geraden in P(5|2|8). wahr falsch Für b = −10 sind die Geraden orthogonal zueinander. Für a = 0 und b = 0 verläuft die Gerade g in der y-z-Ebene. g) Bestimmen Sie jeweils eine Ebenengleichung in Koordinaten- oder Parameterform, die die entsprechende Ebene im Raum beschreibt. • Ein Ausschnitt der Ebene E1 ist in folgender Abbildung dargestellt: • Die Ebene E2 ist die x-z-Ebene. • Die Ebene E3 verläuft durch den Koordinatenursprung, durch den Punkt A(1|2|5) und durch den Punkt B(2|4|3). Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 3 von 7

Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r OHNE CAS h) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Punkte A(1|2|1), B(3| − 1|5) und C(−3|8|a) kein Dreieck bilden. 3 1 2 i) Weisen Sie nach, dass für die Ebene E: MxL = N1O + r ∙ N1O + t ∙ N 0 O die Koordinaten- 0,5 1 0 gleichung E: x − 2y − 6z = −7 lautet. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 4 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS

 

Punkteverteilung Aufgabe 2: Bergwerk

Erstkorrektur 1.1
Zweitkorrektur 1.1

Die ständig steigenden Preise für Roh-
stoffe am Weltmarkt lassen es zu, dass =
stillgelegte Bergwerksanlagen wieder
profitabel betrieben werden können.
Insbesondere die sogenannten „Seltenen
Erden“ sind stark nachgefragte Rohstoffe.
90% der weltweiten Förderung „Seltener
Erden“ fällt auf China, das damit den
Weltmarkt und damit die Preise kontrol-
liert. In jüngster Zeit wurden im Ruhr-
gebiet Spuren dieser „Seltenen Erden“
nachgewiesen. Ein stillgelegtes Bergwerk
muss hierfür allerdings zunächst vermes-
sen und erweitert werden. Der prinzi-
pielle Aufbau eines Bergwerkes ist als
Querschnitt in Abb. 2.1 dargestellt.

 

 

     
    

lotrechter Hauptschacht

Nebenstollen

Abb. 2.1: Bergwerksquerschnitt mit schrägen
Gesteinsschichten (nicht maßstäblich)

Die plane (ebene) Erdoberfläche wird hier als waagerecht angesehen. Soweit nicht anders
angegeben, wird die räumliche Ausdehnung von Hauptschacht, Stollen und Bohrungen
vernachlässigt. Der lotrecht nach unten führende Hauptschacht beginnt an der Oberfläche
im Punkt A(300|200]0) und hat eine Tiefe von 500 m (1 Längeneinheit (LE) & 1 m).

a) Nennen Sie den Endpunkt des Hauptschachtes und erläutern Sie, warum der
Hauptschacht durch die folgende Gleichung vektoriell modelliert werden kann:

300 0
#8 (20) +r-(0)
0 zu |

Ein bereits vorhandener Nebenstollen 1 führt in einer Tiefe von 300 m vom Hauptschacht
ausgehend zum Endpunkt B(800]100]| — 280).

b) Berechnen Sie die Länge des Nebenstollens 1.

Für die vorgesehenen Förderbänder zum Abtransport des Gesteins im Nebenstollen 1 ist es
erforderlich, dass der Stollen nicht zu steil verläuft.

c) Bestimmen Sie den Winkel des Nebenstollens 1 gegenüber dem Hauptschacht.

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Aufgaben 1 und Geometrie u d 2 gA A Analytische a i G o r OHNE CAS Eine Probebohrung im Punkt L(0|500| − 410) hat ergeben, dass dort ein Vorkommen an Lanthan (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. Für den Abbau soll der 600 m lange Nebenstollen 2 (ebenfalls im Hauptschacht beginnend) genutzt werden, der durch die Gerade g _`D mit der folgenden Geradengleichung modelliert werden kann: 300 −1 g _`D : MxL = N 200 O + s ∙ N0,5O. −400 0 d) Untersuchen Sie, ob man vom Nebenstollen 2 aus mit Hilfe einer lotrechten Bohrung den Punkt L erreichen könnte. Eine weitere Probebohrung im Punkt N(−314|507| − 400) hat ergeben, dass dort ein Vor- kommen an Neodym (Element der „Seltenen Erden“) vermutet wird. e) Zeigen Sie, dass das Neodymvorkommen erreicht werden kann, indem man den Nebenstollen 2 knickfrei verlängert. Eine Alternative zur Verlängerung des 600 m langen Nebenstollens 2 ist eine lotrechte Bohrung von der Erdoberfläche aus. Die Kosten einer Lotrechtbohrung betragen 1500 € pro laufendem Meter im Vergleich zu 4500 € pro laufendem Meter bei einer unterirdischen Verlängerung des Nebenstollens 2. f) Untersuchen Sie, welche der beiden Möglichkeiten die preiswertere Variante ist. Bei weiteren Probebohrungen stieß man auf eine Granitschicht, deren plane Oberfläche durch die Punkte GC (200|100| − 500), GD (300|100| − 550) und GI (400|300| − 600) verläuft. Zur weiteren Planung wurde für die Ebene Ea die folgende Ebenengleichung der Granitschichtoberfläche erstellt: Ea : xC + 2xI = −800. g) Begründen Sie, dass der Hauptschacht nicht orthogonal zur Granitschicht verläuft, und weisen Sie nach, dass der Punkt G2 in der Ebene EG liegt. Zum Ausbau des Bergwerkes soll der Hauptschacht geradlinig verlängert werden. Allerdings ist das Durchbohren der Granitschicht so aufwändig, dass aus Rentabilitäts- gründen darauf verzichtet werden soll. h) Bestimmen Sie, um wie viele Meter der Hauptschacht maximal verlängert werden kann. Zentrale ra e Abschlussprüfung s u ü u Mathematik t a k BG G gA HT 13 S A1 und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) 13. 2013 1 März M Seite 6 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Analytische Geometrie OHNE CAS

Für die folgende Aufgabe wird davon ausgegangen, dass der Hauptschacht die Form eines
Zylinders mit einem Radius von r = 2,5 m hat.

Infolge eines plötzlich eintretenden Wassereinbruchs füllt sich der Hauptschacht mit
Wasser. Messungen der momentanen Änderungsrate (m3/min) des im Hauptschacht
vorhandenen Wasservolumens ergeben für die ersten Minuten folgende Werte:

©: |: = |: |: | 5

 

i) Bestimmen Sie das Wasservolumen in m?, das in den ersten zehn Minuten in den
Hauptschacht strömen wird. Gehen Sie davon aus, dass der zeitliche Verlauf der
Änderungsrate näherungsweise durch eine exponentielle Funktion in der
Form f(t) = a: e*tmita,k,t € Rundt > 0 beschrieben werden kann.

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gAHT 13 S Al und A2 AnaGeo OHNE CAS (Abschnitt 1) Seite 7 von 7

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS

Punkteverteilung Aufgabe 1:

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zweioree | I I [I | PL

a) Die Funktion f sowie deren erste und zweite Ableitung sind in der folgenden Werte-
tabelle dargestellt.

 

 

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre
Entscheidung.

Aussage Entscheidung und Begründung

Der Graph der Funktion f
schneidet die x-Achse nur
im Punkt S(-3]0).

Der Graph der Funktion
hat an der Stellex= 1 eine
waagrechte Tangente.

 

Der Graph der Funktion
hat im Punkt P(-2]4,5)
einen Tiefpunkt.

Zentrale Abschlussprüfung Mathematik BG 13. März 2013
gAHT 13S Al und A2 LinAlg OHNE CAS (Abschnitt 2) Seite 1 von 6

OHNE CAS

b) Bestimmen Sie die Parameter der Funktionsgleichung f(x) = a:cos(b-(x+c))+dund

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra

     

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e) Gegeben sind die Matrizen A und B mit:

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13. März 2013
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2-Bgilt.

(Abschnitt 2)

Bestimmen Sie die Matrizenelemente a,b, c, dE R so, dass A

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gAHT 13 S Al und A2 LinAlg OHNE CAS

Aufgaben 1 und 2 gA Lineare Algebra OHNE CAS

f) Gegeben sind zwei quadratische, invertierbare Matrizen A und B.
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

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g) Gegeben ist die Matrix A = (5 *):

e Berechnen Sie für s = 3 die Inverse der Matrix A.
e Begründen Sie, warum die Matrix A für s = 4 nicht invertierbar ist.

16 18

32 36/

e Begründen Sie, unter welchen Bedingungen eine Matrix X existiert, die diese
Matrizengleichung erfüllt.

h) Gegeben ist die Matrizengleichung: A-X=Bmit A= () undB = (

e Berechnen Sie die Matrix X, sofern möglich.

i) Gegeben sind die Startverteilung X, = (£) und die Verteilung x; = (2) nach einem

5
Übergang sowie der unvollständige Übergangsgraph.

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©

0,3 —

Ermitteln Sie die fehlenden Werte für a,b, ce R und die zugehörige stochastische Über-
gangsmatrix.

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