SH_M2019.pdf

Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Mathematik Abiturklausuren 2019“

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 1 - Analytische Geometrie (Pool 1) Gegeben sind die Punkte A(0 | 0 | 4), B(2 | 2 | 2) und C(0 | 3 | 1). 1.1 Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck ABCD ein Paralle- logramm mit einer Beschriftung der Eckpunkte im üblichen Umlaufsinn ist. (2 P) 1.2 Zeigen Sie, dass der Innenwinkel des Vierecks ABCD bei Punkt B ein rechter Winkel ist. (2 P) 1.3 Überprüfen Sie, ob es sich bei dem Viereck ABCD um ein Quadrat handelt. (1 P) 1.1 Vorgaben für die Bewertung von HMF 1 - Analytische Geometrie (Pool 1)       −2 −2 0 −−→ −→ −−→       1 = OD = OA + BC = 0 + 1 3 −1 4 D hat damit die Koordinaten (−2 | 1 | 3). 2P 1.2     −2 −2 −→ −−→     = 4 − 2 − 2 = 0 ist der Innenwinkel bei Wegen BA ◦ BC = −2 ◦ 1 −1 2 Eckpunkt B ein rechter Winkel. 1.3 √ √ −→ −−→ Wegen |BA| = 12 6= 6 = |BC| ist das Viereck ABCD kein Quadrat. 2P 1P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 1 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 2 - Analytische Geometrie (Pool 1)     2 0 Die Gerade g : ~x = 2 + r · 4 mit r ∈ R und die Ebene E : x1 + 2x2 − 2x3 = 2 1 0 schneiden sich im Punkt S. 2.1 Berechnen Sie die Koordinaten von S. (3 P) 2.2 Der Punkt P1 liegt auf g, aber nicht in E. Die Abbildung zeigt die Ebene E, die Gerade g sowie einen Repräsentanten des −−→ Vektors SP1 . −−→ −−→ −−→ Für den Punkt P2 gilt OP2 = OP1 − 4 · SP1 , wobei O den Koordinatenursprung be- zeichnet. Zeichnen Sie die Punkte S, P1 und P2 in die Abbildung ein. g E −−→ SP1 (2 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 2 - Analytische Geometrie (Pool 1) 2.1 2r + 2 · (2 + 4r) − 2r = 2 ⇔ r = 1 S(− 2 2.2 |1| − 1 −4, −→ d.h. OS =   0 2  0 1 4 − ·   2 4  1  = 1 −2 1  1 −4 und 1 ) 4 3P g P1 −−→ SP1 b E Sb P2 b 2P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 2 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 2) 3.1 Die Ebene E : 3x1 + 2x2 + 2x3 = 6 enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 P) 3.2 Begründen Sie, dass folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten ” übereinstimmen.“ (3 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 2) 3.1 3.2 Mit x1 = x2 = x3 = a ergibt sich 3a + 2a + 2a = 6 ⇔ a = 6 . 7 2P Alle Punkte, derendrei  Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden mit der Gleichung ~x = b · 1 1  1 mit b ∈ R. Es gibt unendlich viele Ebenen, die parallel zu dieser Geraden sind und die Gerade nicht enthalten. 3P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 3 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 4 - Stochastik (Pool 1) Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit 0“ beschrif- ” tet, einer mit 1“ und einer mit 2“, die anderen beiden Sektoren sind mit 9“ beschriftet. ” ” ” 4.1 Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden. (2 P) 4.2 Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 ist. (3 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 4 - Stochastik (Pool 1)  1 3 4.1 5 · 2 5 2 625 = 2P 4.2 2 5 2 5 2 5 · +2· · 1 5 = 8 25 3P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 4 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 5 - Stochastik (Pool 1) In einem Fitness-Studio wurde eine Umfrage unter den weiblichen und männlichen Kunden durchgeführt, ob sie mit der Sauberkeit der Umkleideräume zufrieden sind. Unter allen abgegebenen Fragebögen wird ein Bogen zufällig ausgewählt. In der folgenden Vierfeldertafel sind einige Wahrscheinlichkeiten bereits eingetragen. Dabei sind M : Die Person ist männlich.“ und Z: Die Person ist mit der Sauberkeit zufrieden.“ ” ” M M 9 16 Z Z 1 4 3 8 1 5.1 Ergänzen Sie die übrigen Einträge der Vierfeldertafel. (2 P) 5.2 Beschreiben Sie die Bedeutung des grau hinterlegten Feldes im Sachzusammenhang. (1 P) 5.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Frau mit der Sauberkeit der Umkleideräume nicht zufrieden ist. (2 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 5 - Stochastik (Pool 1) 5.1 M M Z 7 16 1 8 9 16 Z 3 16 1 4 7 16 5 8 3 8 1 2P 5.2 5.3 Im grau hinterlegten Feld ist die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben, dass der zufällig ausgewählte Fragebogen zu einer Person gehört, die sowohl weiblich als auch mit der Sauberkeit der Umkleideräume unzufrieden ist. 1P 1  P (M ∩Z ) 2 4 PM Z = P M = 3 = 3 ( ) 8 2P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 5 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 6 - Analysis (Pool 1) Der abgebildete Graph stellt eine Funktion f dar. y 2 f 1 x 1 −3 −2 −1 −1 2 3 −2 6.1 Einer der folgenden Graphen I, II oder III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von f . Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen. y I y 2 II 1 y 2 III 1 1 x −3 −2 −1 −1 1 2 3 x −3 −2 −1 −1 −2 2 1 2 −2 3 x −3 −2 −1 −1 1 2 3 −2 (3 P) 6.2 Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f . Geben Sie das Monotonieverhalten von F im Intervall [1 ; 3] an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 6 - Analysis (Pool 1) 6.1 6.2 Graph I Begründung: Graph II kommt nicht infrage, da die Extremstellen von f Nullstellen ′ von f sein müssen. Graph III kommt nicht infrage, da die Steigung des Graphen von  f im Punkt 0 | f (0) nicht kleiner als −1 ist. 3P ′ Für 1 ≤ x ≤ 3 gilt F (x) = f (x) ≤ 0. Damit ist F im gegebenen Intervall monoton fallend. Alternative Lösung: ′ Für 1 ≤ x ≤ 3 gilt F (x) = f (x) < 0. Damit ist F im gegebenen Intervall streng monoton fallend. 2P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 6 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 7 - Analysis (Pool 1) 1 Gegeben ist die in R \ {0} definierte Funktion f mit f (x) = 1 − 2 , die die Nullstellen −1 x und 1 hat. Die Abbildung zeigt den Graphen von f , der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. y x −3 −2 1 −1 2 3 −1 −2 −3 Weiterhin ist die Gerade g mit der Gleichung y = −3 gegeben. 7.1 Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen g den Graphen von f schneidet, die 1 x-Koordinate hat. 2 (1 P) 7.2 Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von f , die x-Achse und die Gerade g einschließen. (4 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 7 - Analysis (Pool 1) 7.1 f  1 2 =1− 1 1 2 2 ( ) = 1 − 4 = −3 1P 7.2 1·3+2· R1 1 2  f (x) dx = 3 + 2 · x +  1 1 x 1 2 =3+2· 2− 5 2 =3+2· 1 2 =4 4P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 7 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF 8 - Analysis (Pool 2) 2 2 Für jede reelle Zahl a ist die Funktion fa durch fa (x) = x + a · (3 − 4 x) + a gegeben. 8.1 Sei zunächst a = 1. Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f1 . (2 P) 8.2 Untersuchen Sie, ob der Punkt P (1 | ist. 3 ) 4 Tiefpunkt des Graphen einer der Funktionen fa (3 P) Vorgaben für die Bewertung von HMF 8 - Analysis (Pool 2) 8.1 f1 (x) = 0 2 2 ⇔ x + 1 · (3 − 4 x) + 1 = 0 2 ⇔ x − 4x + 4 = 0 2 ⇔ (x − 2) = 0 ⇔ x=2 Damit ist die Stelle 2 die einzige Nullstelle der Funktion f1 . 2P 8.2 ′ fa (x) ′ fa (1) = 2x − 4 a 1 = 0 ⇔ 2 − 4a = 0 ⇔ a = 2 1 1 2 1 1 f 1 (1) = 1 + 2 · (3 − 4 · 1) + ( 2 ) = 1 − 2 + 4 = 2 ′ f 1 (x) = 2 x − 2 2 ′′ f 1 (x) = 2 > 0 für alle x 2 3 Damit ist (1 | 4 ) Tiefpunkt des Graphen von f 1 . 3 4 2 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte 3P Seite 8 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil HMF-Bewertungsbogen für: 1.1 Vorgaben für die Bewertung von HMF 1 - Analytische Geometrie (Pool 1)       −2 −2 0 −−→ −→ −−→       1 = OD = OA + BC = 0 + 1 3 −1 4 D hat damit die Koordinaten (−2 | 1 | 3). 2P 1.2     −2 −2 −→ −−→     = 4 − 2 − 2 = 0 ist der Innenwinkel bei Wegen BA ◦ BC = −2 ◦ 1 −1 2 Eckpunkt B ein rechter Winkel. 1.3 2P √ √ −→ −−→ Wegen |BA| = 12 6= 6 = |BC| ist das Viereck ABCD kein Quadrat. 1P Vorgaben für die Bewertung von HMF 2 - Analytische Geometrie (Pool 1) 2.1 2r + 2 · (2 + 4r) − 2r = 2 ⇔ r = 1 S(− 2 2.2 |1| − 1 −4, −→ d.h. OS =   0 2  0 1 4 − ·   2 4  1  = 1 −2 1  − 14 und 1 ) 4 3P g P1 −−→ SP1 E b Sb P2 b 2P Vorgaben für die Bewertung von HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 2) 3.1 3.2 Mit x1 = x2 = x3 = a ergibt sich 3a + 2a + 2a = 6 ⇔ a = 6 . 7 2P Alle Punkte, derendrei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden mit der  Gleichung ~x = b · 1 1  1 mit b ∈ R. Es gibt unendlich viele Ebenen, die parallel zu dieser Geraden sind und die Gerade nicht enthalten. 3P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 9 von 11

Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik Schriftliche Abiturprüfung 2019 Hilfsmittelfreier Teil Vorgaben für die Bewertung von HMF 4 - Stochastik (Pool 1)  1 3 4.1 5 · 2 5 2 625 = 2P 4.2 2 5 2 5 2 5 · +2· · 1 5 8 25 = 3P Vorgaben für die Bewertung von HMF 5 - Stochastik (Pool 1) 5.1 M M Z 7 16 1 8 9 16 Z 3 16 1 4 7 16 5 8 3 8 1 2P 5.2 5.3 Im grau hinterlegten Feld ist die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben, dass der zufällig ausgewählte Fragebogen zu einer Person gehört, die sowohl weiblich als auch mit der Sauberkeit der Umkleideräume unzufrieden ist. 1P 1  P (M ∩Z ) 2 4 PM Z = P M = 3 = 3 ( ) 8 2P Vorgaben für die Bewertung von HMF 6 - Analysis (Pool 1) 6.1 6.2 Graph I Begründung: Graph II kommt nicht infrage, da die Extremstellen von f Nullstellen ′ von f sein müssen. Graph III kommt nicht infrage, da die Steigung des Graphen von  f im Punkt 0 | f (0) nicht kleiner als −1 ist. 3P ′ Für 1 ≤ x ≤ 3 gilt F (x) = f (x) ≤ 0. Damit ist F im gegebenen Intervall monoton fallend. Alternative Lösung: ′ Für 1 ≤ x ≤ 3 gilt F (x) = f (x) < 0. Damit ist F im gegebenen Intervall streng monoton fallend. 2P 2019-M-H-HMF-L nur für Lehrkräfte Seite 10 von 11

Zur nächsten Seite