Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Vorgaben für die Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Beruflichen Gymnasiums Anlagen D 1 – D 28 im Jahr 2016 Weiterer Leistungskurs Fach Mathematik Fachbereich Informatik mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                     Seite 1 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 1        Gültigkeitsbereich Die Vorgaben für die Abiturprüfung im Fach Mathematik gelten für folgende Bil- dungsgänge: Allgemeine Hochschulreife                                      APO-BK (Mathematik, Informatik)                                       Anlage D 21 Informationstechnische Assistentin / AHR                       APO-BK Informationstechnischer Assistent / AHR                        Anlage D 3a Die Bildungsgänge sind dem Fachbereich Informatik zugeordnet. 2         Vorgaben für die schriftliche Abiturprüfung Grundlage für die Vorgaben der zentral gestellten schriftlichen Aufgaben der Abitur- prüfung in allen Fächern der (mindestens) dreijährigen AHR - Bildungsgänge des Be- ruflichen Gymnasiums (APO-BK, Anlagen D 1 – D 28) sind die verbindlichen Vorga- ben der Bildungspläne zur Erprobung (RdErl. d. Ministeriums für Schule und Weiter- bildung des Landes Nordrhein-Westfalen vom 18.06.2007): Teil I:     Pädagogische Leitideen Teil II:    Didaktische Organisation der Bildungsgänge im Fachbereich Informatik Teil III:   Fachlehrplan Mathematik Durch die Vorgaben werden inhaltliche Schwerpunkte festgelegt. Diese inhaltlichen Schwerpunkte sind Konkretisierungen der in den Fachlehrplänen beschriebenen Fachinhalte, deren Behandlung im Unterricht als Vorbereitung auf die schriftliche Abi- turprüfung vorausgesetzt wird. Durch diese Schwerpunktsetzungen soll sichergestellt werden, dass alle Schülerinnen und Schüler, die im Jahr 2016 das Abitur in den o. a. Bildungsgängen des Beruflichen Gymnasiums ablegen, über die Voraussetzungen zur Bearbeitung der zentral gestellten Aufgaben verfügen. Die folgenden fachspezifischen Schwerpunktsetzungen gelten für das Jahr 2016. Sie stellen keine dauerhaften Festlegungen dar. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                Seite 2 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 3       Verbindliche Unterrichtsinhalte im Fach Mathematik im Fachbereich Informatik für das Abitur 2016 3.1     Inhaltliche Schwerpunkte Analysis (ohne CAS) −     Funktionsklassen: ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktio- nen und deren Verknüpfungen −    Funktionseigenschaften Kurvenscharen und Parameter in Funktionsvorschriften Abschnittsweise definierte Funktionen Differenzierbarkeit und Stetigkeit Lokale und globale Eigenschaften Tangente und Normale −    Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen Lineare Gleichungssysteme mit bis zu 4 Unbekannten −    Extremwertprobleme z. B. minimaler Abstand Punkt – Graph −    Integralrechnung Anwendungen des Integrals Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals Analysis (mit CAS) − Funktionsklassen: ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, Loga- rithmusfunktionen zur Basis e und deren Verknüpfungen −    Funktionseigenschaften Kurvenscharen und Parameter in Funktionsvorschriften Abschnittsweise definierte Funktionen Differenzierbarkeit und Stetigkeit Lokale und globale Eigenschaften Tangente und Normale −    Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Bedingungen und natür- liche kubische Splines −     Extremwertprobleme z. B. minimaler Abstand Punkt - Graph −    Integralrechnung Anwendungen des Integrals Flächenberechnung mit Hilfe des Integrals mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                 Seite 3 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Lineare Algebra/Analytische Geometrie −    Geraden und Ebenen im IR³ Darstellungsformen von Geraden Darrstellungsformen von Ebenen (Parameter- und Koordinaten- form) Schnittpunkte und Schnittgeraden Berechnung von Abständen (Punkt – Punkt) −    Projektion dreidimensionaler Objekte in den IR² Stochastik −    Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten, Pfadregeln −    Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung −    Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vier-Felder-Tafeln, Baumdiagramm −    Satz von Bayes −    Binomialverteilung, Erwartungswert, Varianz und Standardabwei- chung, einseitiger Hypothesentest inkl. Fehler 1. Art −    Normalverteilung als stetige Verteilung Zahlentheorie −    Nachweis von Gruppeneigenschaften −    Grundlagen der Modularen Arithmetik - Modul-Begriff, Kongruenzen - Restklassen mod m inkl. Eigenschaften und Operationen - Eulersche φ-Funktion −    Euklidischer und Erweiterter Euklidischer Algorithmus in der Form ax+by=ggT(a,b) −    Anwendungen der Euklidischen Algorithmen (Bestimmung des ggT, Inversenbestimmung in primen Restklassengruppen) − •(n) Satz von Euler-Fermat a        ≡ 1(mod n) −    Anwendungen des Satzes von Euler-Fermat (Reduktion großer Exponenten modulo n) −    Anwendungen der Zahlentheorie in der Kryptologie (additive Chiff- re (Caesar), multiplikative Chiffre, RSA)) 3.2     Medien/Materialien Siehe Hilfsmittel, Punkt 5 mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                    Seite 4 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 3.3    Formale Hinweise Die mathematische Notation in den Abituraufgaben erfolgt gemäß der Formelsamm- lung, ISBN 978-3-507-73018-2, Schroedel-Verlag. 3.4     Hinweise zu den Arbeitsaufträgen Ausgewählte Formulierungen für Arbeitsaufträge, die in den zentral gestellten Aufga- ben verwendet werden, sind in der folgenden Tabelle definiert, durch Beispiele do- kumentiert und den Anforderungsbereichen (I, II und III) zugeordnet. Die konkrete Zuordnung erfolgt immer im Kontext der Aufgabenstellung, wobei eine eindeutige Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist. Spätestens in der Qualifikationsphase sollten entsprechende Formulierungen der Ar- beitsaufträge in den Klausuren und schriftlichen Übungen verwendet werden, um die Schülerinnen und Schüler auf die Abiturprüfung vorzubereiten. Anforde- Operator             rungs-     Erläuterung              Beispiel bereich analysieren            II - III Sachverhalte, Probleme, Analysieren Sie für a = 0,5 Fragestellungen genauer die folgende Entscheidung untersuchen und struktu- der Unternehmensleitung. rieren. angeben,                I - II  Objekte, Sachverhalte,   Nennen Sie die verwende- nennen                          Begriffe, Daten ohne nä- te Ableitungsregel. here Erläuterungen, Be- gründungen und ohne Darstellung von Lö- sungsansätzen oder Lö- sungswegen aufzählen anwenden                I – II  Einen bekannten Sach-    Wenden Sie das Newton- verhalt, eine bekannte   verfahren zur Bestimmung Methode auf eine neue    der Nullstelle an. Problemstellung bezie- hen aufstellen,             I - II  Daten nutzen, um sie in  Stellen Sie mit Hilfe der bilden                          einem mathematischen     gegebenen Daten ein Modell darzustellen      Gleichungssystem auf. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                  Seite 5 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Anforde- Operator             rungs-     Erläuterung               Beispiel bereich begründen              II – III Sachverhalte auf Ge-      Begründen Sie, dass die setzmäßigkeiten bzw.      gegebenen linearen Ab- kausale Zusammenhän-      bildungen den Nullpunkt ge zurückführen – hierbei als Fixpunkt haben. sind Regeln und mathe- matische Beziehungen zu nutzen berechnen               I – II  Ergebnisse von einem      Berechnen Sie die Eigen- Ansatz ausgehend durch werte der Abbildungs- Rechenoperationen ge-     matrix. winnen Ergänzen Sie die fehlen- den Werte in der Tabelle. beschreiben             I – II  Strukturen, Sachverhalte, Beschreiben Sie das Ver- Verfahren unter Verwen- fahren des Gauß- dung der Fachsprache      Algorithmus. angemessen wiederge- ben bestätigen              I – II  Aussagen oder Sachver- Bestätigen Sie, dass das halte mathematisch veri- gegebene Integral den fizieren                  Wert … hat. bestimmen,             II - III Zusammenhänge bzw.        Bestimmen Sie die Koor- ermitteln                       Lösungswege finden und    dinaten des Schnittpunk- die Ergebnisse formulie-  tes zweier Funktionsgra- ren                       phen. Bestimmen Sie die Wahr- scheinlichkeiten der fol- genden Ereignisse. Ermitteln Sie die Ebenen- gleichung der durch drei Punkte gegebenen Ebe- ne. beurteilen,            II – III Zu einem Sachverhalt ein  Beurteilen Sie die Mat- Stellung nehmen                 eigenständiges Urteil un- rixverschlüsselung hin- ter Verwendung von        sichtlich ihrer Sicherheit. Fachwissen und Fach- methoden formulieren      Nehmen Sie zu den Er- und begründen             gebnissen des Hypo- thesentests Stellung. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                    Seite 6 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Anforde- Operator             rungs-     Erläuterung                Beispiel bereich bewerten,               I - II  Die Ergebnisse einer ma-   Bewerten Sie die Ergeb- deuten                          thematischen Überlegung    nisse aus Sicht des Un- rückübersetzen auf das     ternehmens. ursprüngliche Problem. Umdeuten in eine andere    Deuten Sie das Ergebnis Sichtweise                 aus Sicht eines Informati- kers. beweisen,              II – III Beweise im mathemati-      Beweisen Sie mit Hilfe der widerlegen,                     schen Sinne unter Ver-     vollständigen Induktion, nachweisen                      wendung von bekannten      dass… mathematischen Sätzen, logischen Schlüssen und    Beweisen oder widerlegen Äquivalenzumformungen,     Sie: Wenn f’(x0) = 0, dann ggf. unter Verwendung      folgt, x0 ist eine Extrem- von Gegenbeispielen und    stelle. Analogien führen Weisen Sie nach, dass Z7 ein Körper ist. definieren             II - III Kontextabhängige, ei-      Definieren Sie auf der Ba- genständige Begriffe       sis der gegebenen Werte bzw. Darstellungen fest-   eine Funktionsvorschrift. legen dokumentieren,          I - II  Gedankengang bzw. Her- Dokumentieren Sie Ihren darstellen                      leitung der Problemlö-     Lösungsweg. sung darlegen entscheiden            II - III Sich bei Alternativen ein- Entscheiden Sie, welcher deutig und begründet auf Funktionsgraph geeigne- eine Möglichkeit festle-   ter ist. gen entwickeln,            II - III Sachverhalte und Metho-    Entwickeln Sie eine Prog- entwerfen                       den zielgerichtet in einen nose auf der Basis des Zusammenhang bringen,      vorliegenden Datenmate- also eine Hypothese, ei-   rials. ne Skizze oder ein Mo- dell weiterführen und      Entwerfen Sie auf der Ba- ausbauen.                  sis der gegebenen Punkte einen Spline. ergänzen                I – II  Eine vorgegebene Rech- Ergänzen Sie die fehlen- nung, Grafik oder Tabelle den Werte in der Tabelle. vervollständigen. mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                      Seite 7 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Anforde- Operator             rungs-     Erläuterung                Beispiel bereich erklären                I - II  Sachverhalte mit Hilfe     Erklären Sie die Bedeu- eigener Kenntnisse ver-    tung der Parameter a, b, c ständlich und nachvoll-    und d in der allgemeinen ziehbar machen und in      Sinusfunktion. Zusammenhänge einord- nen erläutern               I – II  Strukturen und Zusam-      Erläutern Sie die Bedeu- menhänge erfassen, in      tung des Fehlers der 1. Einzelheiten verdeutli-    und 2. Art für diesen chen und durch zusätzli-   Sachverhalt. che Informationen ver- ständlich machen erstellen               I - II  Einen Sachverhalt in       Erstellen Sie ein Baumdi- übersichtlicher, fachlich  agramm. angemessener Form ausdrücken herleiten,             II – III Eine Formel oder einen     Leiten Sie die Formel für formulieren                     Zusammenhang aus be-       das Simpson-Verfahren kannten Sachverhalten      her. nachvollziehbar entwi- ckeln                      Formulieren Sie für den Kunden auf der Basis ei- nes Hypothesentests eine Entscheidungsregel. interpretieren         II – III Zusammenhänge bzw.         Interpretieren Sie das In- Ergebnisse begründet       tegral aus physikalischer / auf gegebene Fragestel-    technischer Sicht. lungen beziehen klassifizieren         II - III Eine Menge von Objek-      Klassifizieren Sie die ten nach vorgegebenen      Funktionen der Schar an oder sinnvoll selbststän-  Hand charakteristischer dig zu wählenden Krite-    Eigenschaften. rien in Klassen einteilen prüfen,                II – III Die Gültigkeit einer Aus-  Prüfen Sie die Aussage überprüfen                      sage, z. B. einer Hypo-    des Produktionsleiters. these oder einer Modell- vorstellung, verifizieren, falsifizieren mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                     Seite 8 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen Anforde- Operator             rungs-     Erläuterung              Beispiel bereich skizzieren,             I – II  Wesentliche Eigenschaf-  Skizzieren Sie auf der Ba- graphisch darstel-              ten von Sachverhalten    sis Ihrer Ergebnisse den len                             oder Objekten graphisch  Verlauf der Straßentras- darstellen – auch Frei-  sierung. handskizzen möglich übertragen             II – III Einen untersuchten       Übertragen Sie den Lö- Sachverhalt bzw. allge-  sungsansatz auf … meingültige Aussagen auf ähnliche Sachverhal- te anwenden untersuchen             I – II  Sachverhalte, Probleme,  Untersuchen Sie die vor- Fragestellungen nach     gegebene Projektion des bestimmten, fachlich üb- Körpers unter Verwen- lichen bzw. sinnvollen   dung Ihres Computeral- Kriterien bearbeiten     gebrasystems. veranschauli-           I – II  Einen Sachverhalt mit    Veranschaulichen Sie den chen,                           verbalen oder graphi-    Sachverhalt in einem Dia- verdeutlichen                   schen Erläuterungen ver- gramm. sehen vereinfachen,           I - II  Terme, Aussagen, For-    Vereinfachen Sie den umformen                        meln mittels geeigneter  Ausdruck so weit wie Strategien an den jewei- möglich. ligen Sachverhalt anpas- sen vergleichen             I – II  Gemeinsamkeiten, Ähn-    Vergleichen Sie die Ver- lichkeiten und Unter-    fahren der numerischen schiede ermitteln        Integration miteinander. zeichnen                I – II  Hinreichend exakte gra- Zeichnen Sie die Ebene phische Darstellungen    mit Hilfe der Spurpunkte. von Objekten oder Daten anfertigen zeigen                 II – III Aussagen oder Sachver- Zeigen Sie, dass die Flä- halte unter Nutzung von che durch die y-Achse gültigen Schlussregeln,  halbiert wird. Berechnungen bestätigen mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                  Seite 9 von 13

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4       Bearbeitungszeit für die schriftliche Abiturprüfung Es gelten die Vorgaben der APO-BK § 17 Abs. 2. Die schriftliche Abiturprüfung um- fasst 255 Minuten. 5       Hilfsmittel Aufgabensatz 1 (ohne CAS) • Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2016 zugelassen: -   Gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielauf- gaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerin- nen und Schüler zu überprüfen. -   Tabellierte kumulierte Binomialverteilungen und Normalverteilungen liegen - falls benötigt - jedem Aufgabensatz bei. Ein Beispiel ist exemplarisch dem Anhang dieses Dokumentes zu entnehmen. -   nicht programmierbare wissenschaftliche Taschenrechner. • Für den Aufgabensatz 1 sind in der Abiturprüfung 2016 nicht zugelassen: -   Schulinterne eigene Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathemati- sche Lexika, -   Computeralgebrasysteme, -   Taschenrechner, die über eines der folgenden Leistungsmerkmale verfügen: o Darstellen von Funktionsgraphen o Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen o Numerisches Integrieren oder Differenzieren o Rechnen mit Matrizen und Vektoren Aufgabensatz 2 (CAS-Aufgabensatz) • Für den Aufgabensatz 2 sind in der Abiturprüfung 2016 zugelassen: -   Gedruckte Formelsammlungen der Schulbuchverlage, die keine Beispielauf- gaben enthalten. Die Formelsammlungen sind vor Ausgabe an die Schülerin- nen und Schüler zu überprüfen. -   Computeralgebrasysteme (CAS) Das eingesetzte CAS sollte mindestens über folgende Funktionalitäten verfü- gen: o Wertetabellen erstellen o algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen o Gleichungen algebraisch und numerisch lösen o Gleichungssysteme lösen o Matrizenberechnungen durchführen mathe_wlk_inf_abivorgaben2016_130528.doc                                  Seite 10 von 13