mathe-wlk-inf-2019-ht-cas-l
Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abiturklausuren Berufskolleg ITA 2018-2020“
Ministerium für Haupttermin 2019
Schule und Bildung WLK Mathematik-Inf
des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabenteil B: Hilfsmittel CAS
BERUFSKOLLEG
Berufliches Gymnasium
Zentrale Abiturprüfung 2019
Haupttermin
07.05.2019
Weiteres Leistungskursfach
Mathematik
Fachbereich Informatik
Aufgabenteil B: Hilfsmittel CAS
Unterlagen für die Lehrkraft
Nur für den Dienstgebrauch! Seite 1 von 15
Ministerium für Haupttermin 2019 Schule und Bildung WLK Mathematik-Inf des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabenteil B: Hilfsmittel CAS 1 Aufgabenstellung (vgl. Unterlagen für die Schülerinnen und Schüler) 2 Materialgrundlage (vgl. Unterlagen für die Schülerinnen und Schüler) 3 Zugelassene Hilfsmittel (vgl. Unterlagen für die Schülerinnen und Schüler) 4 Arbeitszeit und Punktevergabe (vgl. Unterlagen für die Schülerinnen und Schüler) 5 Hinweise für die Aufgabenauswahl durch die Lehrkraft/den Prüfling In der Abiturprüfung sollen die Prüflinge die ihnen bekannte und vom Unterricht vertraute Rechnertechnologie einsetzen. Sie sollen in der Prüfung u. a. den sinnvollen Gebrauch der ihnen vertrauten Rechnertechnologie nachweisen. Die Schule muss zu Beginn der Qualifikationsphase festlegen, welche der in den Abiturvorgaben beschriebenen zwei Technologiekategorien in der Abiturprüfung in den jeweiligen Prüfungsgruppen angewendet werden soll. Durch diese Entscheidung wird ein Aufgabensatz für die Prüfungsgruppe festgelegt. Es findet keine Aufgabenauswahl durch die Fachlehrerin oder den Fachlehrer statt. Für die Prüflinge besteht ebenfalls keine Aufgabenauswahl. Sie erhalten keine zusätzliche Auswahlzeit. 6 Aufgabenart Aufgaben mit Hilfsmitteln aus den Themenbereichen Analysis, Stochastik, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Zahlentheorie. 7 Bezüge zu den Abiturvorgaben 2019 Die Aufgaben sind vollständig aus den Gebieten entnommen, die in den Abiturvorgaben 2019 im Leistungskursfach Mathematik, Fachbereich Informatik, aufgeführt sind. Nur für den Dienstgebrauch! Seite 2 von 15
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des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabenteil B: Hilfsmittel CAS
8 Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen
Der vom Prüfling gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der unten
dargestellten Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen sind mit entsprechender Punktzahl zu
bewerten.
a) Inhaltliche Leistung (Aufgabenteil B)
Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
2.1.1 Bestätigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass der Pfad für und
im Rahmen der oben angegebenen Genauigkeit durch die Punkte
und verläuft.
2.1.1.1 Betrachtet wird die Funktion ; mit ; 5∙ 2. 2 (I)
Es gilt:
; 0 5∙ 2 2 und ; 10 5∙ 2 2.
Somit verläuft der Pfad im Rahmen der vorgegebenen Genauigkeit durch die
Punkte und .
2.1.2 Beschreiben Sie den Einfluss der Parameter und auf den Verlauf der
Funktionsgraphen.
2.1.2.1 Der Parameter bewirkt als Faktor eine Streckung in Richtung der y-Achse. 4 (I)
Eine Veränderung des Parameters sorgt für eine Verschiebung des Graphen
entlang der x-Achse.
2.1.3 Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von den Parametern und die
Position des NPCs mit der maximalen Entfernung.
2.1.3.1 Da die Strecke parallel zur x-Achse verläuft, wird die maximale Entfernung im 4 (III)
Hochpunkt der Funktionenschar erreicht.
Ableitungen:
; 2∙ ∙ 2∙ ∙ ∙
; 4∙ ∙ 8∙ ∙ ∙ 4∙ ∙ 2∙ ∙
Notwendige Bedingung: ; 0 mit ∈ 0 ; 10
; 0 ⟺ mit ∈ 2 ;8 ⟹ ∈ 0 ; 10
Hinreichende Bedingung: ; 0 ∧ ; 0
; 2∙ 0, da ∈ 1 ;5
Somit liegt an der Stelle die maximale Entfernung vor.
2.1.3.2 Da der Abstand an den Rändern 0 beträgt, hat die Funktionenschar an der Stelle 2 (II)
die maximale Entfernung von der Geraden.
Berechnung der Position des NPCs: ; 2 ⟹ ; | 2
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
2.1.4 Berechnen Sie die Länge dieser Strecke.
2.1.4.1 Ableitungen: 4 (II)
; 4∙ ∙ 8∙ ∙ ∙ 4∙ ∙ 2∙ ∙
; 8∙ ∙ 24 ∙ ∙ ∙ 24 ∙ ∙ ∙ 12 ∙ ∙ 8∙ ∙ 12 ∙ ∙
∙
Notwendige Bedingung: ; 0 mit ∈ 0 ; 10
√ √
; 0 ⟺ ∨ mit ∈ 2 ;8 ⟹ / ∈ 0 ; 10
⟹ 0,7071 ∨ 0,7071
Hinreichende Bedingung: ; 0 ∧ ; 0
√ ∙√ ∙
; ∙ 3,4311 ∙ 0, da ∈ 1 ;5
√
⟹ Wendestelle bei
√ ∙√ ∙
; ∙ 3,4311 ∙ 0, da ∈ 1 ;5
√
⟹ Wendestelle bei
2.1.4.2 Berechnung der Funktionswerte und Angabe der Wendepunkte: 3 (II)
√ √ √ √
; ∙ 2 0,60653 ∙ 2 ⟹ ∙ 2
√ √ √ √
; ∙ 2 0,60653 ∙ 2 ⟹ ∙ 2
Da die Funktionswerte der beiden Wendepunkte übereinstimmen, berechnet sich
die Länge der Strecke durch die Differenz der Wendestellen:
√2 √2
| | 2
2 2
Summe Aufgabe 2.1 19
Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
2.2.1 Stellen Sie die zur Berechnung des Funktionsterms erforderlichen
Bedingungen auf.
2.2.1.1 Die Gleichung der Geraden durch die Punkte und lautet: 1 (II)
0,5 ∙ 1
2.2.1.2 Bedingungen zur Berechnung der gesuchten Funktion : 4 (II)
(1) 0 1 (2) 10 6 (3) 5 1
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
(4) ′ 0 0,5 (5) ′ 10 0,5
(6) ′′ 0 0 (7) ′′ 10 0
Nicht verlangt: ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1
2.2.2 Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Flächenanteil des NPCs an der
gesamten kultivierten Fläche.
2.2.2.1 Gegeben: 0,004 ∙ 0,08 ∙ 0,4 ∙ 0,5 ∙ 1 2 (III)
Die Gleichung der Geraden durch die Punkte und lautet:
0,5 ∙ 1.
Herleitung der Gleichung der Geraden durch die Punkte und :
∙
Für die Steigung gilt:
3 1
2
4 5
und einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu berechnen:
1 2∙5 ⟺ 11
Ergebnis: 2∙ 11
2.2.2.2 Die rechte Teilfläche wird auf dem Intervall 4 ; 5 von und 3 (III)
und auf dem Intervall 5 ; 10 von und begrenzt.
1,25 6,6667 7,9167
2.2.2.3 Die Gesamtfläche wird auf dem Intervall 0 ; 10 von und begrenzt. 3 (III)
Die Schnittstellen von und liegen bei 0 und bei 10.
13,333
Der prozentuale Flächenanteil des NPCs an der gesamten kultivierten Fläche
beträgt 59,38 %.
Summe Aufgabe 2.2 13
Summe Aufgabe 2 32
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
3.1.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zweimal die Hilfe eines
Verkäufers benötigt.
3.1.1.1 Die Zufallsgröße 3 (I)
X: „Anzahl der Artikel, bei denen beim Scannen ein Problem auftritt“
ist binomialverteilt mit 27 und 0,03.
2 0,1475
Der Kunde benötigt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 14,75 % genau zweimal
die Hilfe eines Verkäufers.
3.1.2 Ermitteln Sie, wie viele Artikel ein Kunde mindestens scannen muss, damit er
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % mindestens zweimal die
Hilfe eines Verkäufers benötigt.
3.1.2.1 Die Zufallsgröße 3 (III)
X: „Anzahl der Artikel, bei denen beim Scannen ein Problem auftritt“
ist binomialverteilt mit unbekanntem und 0,03.
2 0,5
⇔ 1 1 0,5
⇔ 1 0,97 ∙ 0,97 ∙ 0,03 0,5
⇔ 56
Alternativ kann die Ungleichung durch strukturiertes Probieren bzw. durch Ablesen
aus einer selbst erstellten Tabelle der Binomialverteilung ermittelt werden.
55 ∶ 1 1 0,494
56 ∶ 1 1 0,5038
Der Kunde muss also mindestens 56 Artikel scannen.
Summe Aufgabe 3.1 6
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
3.2.1 Stellen Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel oder in einem vollständig
beschrifteten Baumdiagramm dar.
3.2.1.1 : Die Datenübertragung an der Kasse erfolgt mit einem Android-Handy. 4 (I)
̅: Die Datenübertragung an der Kasse erfolgt nicht mit einem Android-Handy.
: Es tritt ein Übertragungsfehler an der Kasse auf.
: Es tritt kein Übertragungsfehler an der Kasse auf.
Σ
0,0065 0,7335 0,74
̅ 0,0035 0,2565 0,26
Σ 0,01 0,99 1
F P(A∩F)=0,0065
A
0,74
F P(A∩F)=0,7335
F P(A∩F)=0,0035
0,26
A
F P(A∩F)=0,2565
3.2.2 Untersuchen Sie die beiden Ereignisse und auf stochastische
Unabhängigkeit.
3.2.2.1 z. zg. ∙ ∩ , d.h. die Ereignisse sind stochastisch abhängig. 4 (II)
Nachweis: Es gilt: 0,74 , 0,01 und ∩ 0,0065.
Es ist ∙ 0,0074 0,0065
Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
3.2.3 Weisen Sie dies rechnerisch nach.
3.2.3.1 Anteil fehlerhafter Übertragungen bei einem Android-Handy: 4 (III)
∩ 0,0065 13
0,0088
0,74 1480
Anteil fehlerhafter Übertragungen bei einem Nicht-Android-Handy:
̅∩ 0,0035 7
̅ 0,0135
̅ 0,26 520
Bei den Nicht-Android-Handys gibt es bei ca. 1,35 % der Datenübertragungen
einen Fehler, bei Android-Handys nur bei ca. 0,88 %. Somit arbeiten die Android-
Handys bei der Übertragung der Daten zur Kasse zuverlässiger.
Summe Aufgabe 3.2 12
Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
3.3 Bestimmen Sie rechnerisch die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse.
3.3.1 72 71 70 69 68 10 948 3 (II)
∙ ∙ ∙ ∙ 0,8107
75 74 73 72 71 13 505
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 81,07 % wird kein Betrüger entdeckt.
3.3.2 3 72 3 (III)
∙ 2
3 2 0,000148
75 13 505
5
Alternativ:
3 2 1 5
∙ ∙ ∙ 0,000148
75 74 73 3
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0,015 % werden alle drei Betrüger entdeckt.
Summe Aufgabe 3.3 6
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
3.4.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde weniger als
100 Sekunden an der Kasse wartet.
3.4.1.1 Die Zufallsgröße 2 (I)
Y: „Zeit in Sekunden, die ein Kunde an einer Kasse wartet“
ist normalverteilt mit 120 und 13.
100 0,0620
Der Kunde wartet mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 6,2 % weniger als 100
Sekunden an der Kasse.
3.4.2 Ermitteln Sie die Standardabweichung.
3.4.2.1 Die Zufallsgröße 3 (II)
Y: „Zeit in Sekunden, die ein Kunde an einer Kasse wartet“
ist normalverteilt mit 180 und unbekanntem .
110 200 0,86 ⇒ 18,51
Die Standardabweichung beträgt ca. 18,51 Sekunden.
3.4.3 Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Szenario kleiner
als 5 % ist.
3.4.3.1 Die Zufallsgröße 3 (II)
Y: „Zeit in Sekunden, die ein Kunde an einer Kasse wartet“
ist normalverteilt mit 350 und 40.
360 0,4013
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde für einen Samstagseinkauf länger als 360
Sekunden an der Kasse benötigt, beträgt etwa 40,13 %.
Für die Wahrscheinlichkeit, bei 4 von 4 Samstagseinkäufen länger als 360
Sekunden an der Kasse zu benötigen, gilt:
0,4013 0,0259
Die Wahrscheinlichkeit ist mit ca. 2,59 % kleiner als 5 %.
Summe Aufgabe 3.4 8
Summe Aufgabe 3 32
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Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
4.1.1 Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Felswand in der Ebene liegt.
4.1.1.1 Nachweis z.B. durch Punktprobe: 4 (I)
Einsetzen von 300 |400 | 0 , 700 |800 | 0 und 200 |600 | 2500 in die
Ebenengleichung : 2 ∙ 5∙ 2600 liefert in allen drei Fällen eine wahre
Aussage.
4.1.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass Mr. Scotts Rettungskapsel auf die dreieckige
Felswand trifft.
4.1.2.1 500 1 4 (II)
Flugbahn von Mr. Scott: Scott : 2000 ∙ 2 mit ∈
2400 1
Ebene, in der die Felswand liegt: :2 ∙ 5∙ 2600
Berechnung des Durchstoßpunkts durch Einsetzen:
2 ∙ 500 5 ∙ 2000 2 2600 ⟺ 700
Einsetzen von 700 in Scott :
500 1 200
⟹ 2000 700 ∙ 2 600 ⟹ 200 |600 | 1700
2400 1 1700
4.1.2.2 Anhand der Koordinaten erkennt man, dass der Punkt 200|600 | 1700 exakt 2 (III)
senkrecht unterhalb der Spitze 200 |600| 2500 der Felswand in 1700 Höhe
liegt.
Da das Dreieck gleichschenklig ist, liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks
.
Somit wird Mr. Scotts Kapsel im Punkt auf der dreieckigen Felswand landen.
Summe Aufgabe 4.1 10
Punkte
Anforderungen maximal
(AFB)
4.2.1 Überprüfen Sie rechnerisch, ob Captain Kirk von den Gefolgsleuten von
Krall gesehen werden kann.
4.2.1.1 Aufstellen der Geradengleichung der Geraden durch die Punkte 20 |80 | 0 3 (II)
und 60 | 20 | 5 :
20 60 20 20 40
: 80 ∙ 20 80 80 ∙ 100 mit ∈
0 5 0 0 5
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