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Dieses Dokument ist Teil der Anfrage „Abiturklausuren Berufskolleg ITA 2018-2020“
Ministerium für Haupttermin 2019
Schule und Bildung WLK Mathematik-Inf
des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabenteil B: Hilfsmittel GTR
BERUFSKOLLEG
Berufliches Gymnasium
Zentrale Abiturprüfung 2019
Haupttermin
07.05.2019
Weiteres Leistungskursfach
Mathematik
Fachbereich Informatik
Aufgabenteil B: Hilfsmittel GTR
Unterlagen für die Schülerinnen und Schüler
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des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabenteil B: Hilfsmittel GTR
Aufgabenstellung
Aufgabe 2 – Analysis (32 Punkte)
Beschreibung der Ausgangssituation
In vielen Computerspielen gibt es neben den von den
Spielern gesteuerten Figuren zahlreiche computergesteuerte
Charaktere, sogenannte Non-Player Characters (NPC). Hinweis:
Aus urheberrechtlichen
Die NPCs laufen scheinbar frei in einer Spielwelt umher, Gründen kann das Bild
bewegen sich aber tatsächlich auf definierten Pfaden nicht veröffentlicht werden;
zwischen zwei Wegpunkten. es kann jedoch in der unten
Das Spielgeschehen wird von oben betrachtet und die angegebenen Quelle
eingesehen werden.
Charaktere werden als Punkte dargestellt.
Abb. 2.1
2.1 Ein NPC läuft von Punkt 0 | 2 zu Punkt 10 | 2 . Um ein Hindernis zu
umgehen, weicht er von der Strecke ab und bewegt sich dabei auf
Pfaden, die durch die Funktionenschar ; mit
; ∙ 2 mit ∈ 1 ;5 , ∈ 2 ; 8 und ∈ 0 ; 10
beschrieben werden.
Dabei wird die Position eines NPCs auf eine Nachkommastelle genau und
ohne Rundung bestimmt, d. h. die weiteren Nachkommastellen werden
einfach abgeschnitten.
Für die erste und zweite Ableitung gilt:
; ∙ 2∙ 2∙ ∙
; 2∙ ∙ 2∙ 4∙ ∙ 2∙ 1 ∙
2.1.1 Bestätigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass der Pfad für 5 und
8 im Rahmen der oben angegebenen Genauigkeit durch die Punkte
und verläuft.
(2 Punkte)
2.1.2 Beschreiben Sie den Einfluss der Parameter und auf den Verlauf der
Funktionsgraphen.
(4 Punkte)
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2.1.3 Die Entfernung des NPCs zur Strecke wird orthogonal zu
gemessen.
Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von den Parametern und die
Position des NPCs mit der maximalen Entfernung.
(6 Punkte)
2.1.4 Um seinen Weg abzukürzen, kann der NPC den Pfad verlassen, der durch
die Funktionenschar ; beschrieben wird. Dabei folgt er der
Verbindungsstrecke zwischen den beiden Wendepunkten der
Funktionenschar.
Berechnen Sie die Länge dieser Strecke.
Hinweis:
Auf den Nachweis der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.
(7 Punkte)
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2.2 In einer anderen Spielsituation befindet sich auf der Geraden durch die
Punkte 0|1 und 10|6 ein Hindernis.
Ein NPC soll dieses Hindernis umgehen. Dabei weicht er ab dem Punkt
von der Geraden ab und bewegt sich auf einem Pfad, der durch den Punkt
5|1 verläuft. Erst im Punkt trifft er wieder auf die Gerade .
2.2.1 Dieser Pfad kann durch eine ganzrationale Funktion vom Grad 6
beschrieben werden und schließt sich in den Punkten und knickfrei
und in einem schmiegsamen, d. h. krümmungsruckfreien Übergang an die
Gerade an.
Stellen Sie die zur Berechnung des Funktionsterms erforderlichen
Bedingungen auf.
(5 Punkte)
2.2.2 Im Folgenden wird der Pfad des NPCs durch die Funktion mit
0,004 ∙ 0,08 ∙ 0,4 ∙ 0,5 ∙ 1 mit ∈ 0; 10
beschrieben und das Hindernis befindet sich in dem Punkt 4|3 .
Die Gerade und der Graph von umschließen vollständig eine kultivierte
Fläche. Ein Spieler teilt sich diese Ackerfläche mit einem NPC. Die Strecke
bildet dabei die Grenze.
Der Spieler erhält die linke und der NPC die rechte Teilfläche.
Abb. 2.2
Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Flächenanteil des NPCs an
der gesamten kultivierten Fläche.
(8 Punkte)
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Aufgabe 3 – Stochastik (32 Punkte)
Beschreibung der Ausgangssituation
Der Einzelhandel setzt verstärkt auf Selbstbedienung.
Hinweis:
Bei Self-Scanning-Systemen werden die eingekauften
Aus urheberrechtlichen
Waren im Laden mit dem eigenen Handy gescannt. Gründen kann das Bild
Eine Supermarktkette verwendet ein solches System. nicht veröffentlicht werden;
es kann jedoch in der unten
Dazu installiert der Kunde die App SCHNELLSCAN auf angegebenen Quelle
seinem Handy und scannt während des Einkaufs die eingesehen werden.
Barcodes der gekauften Artikel.
Abb. 3.1
Für die Bezahlung müssen die Daten des Einkaufs an
die Kasse übertragen werden.
Im Folgenden sollen die genannten Anteile als Wahrscheinlichkeiten verwendet
werden.
3.1 Es wird geschätzt, dass beim Scannen der Barcodes durch die App bei 3 %
der Artikel Probleme auftreten, so dass ein Verkäufer dem Kunden helfen
muss.
Die Zufallsgröße
X: „Anzahl der Artikel, bei denen beim Scannen ein Problem auftritt“
wird als binomialverteilt angesehen.
3.1.1 Ein Kunde scannt 27 Artikel.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zweimal die Hilfe
eines Verkäufers benötigt.
(3 Punkte)
3.1.2 Ermitteln Sie, wie viele Artikel ein Kunde mindestens scannen muss, damit
er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % mindestens zweimal
die Hilfe eines Verkäufers benötigt.
(3 Punkte)
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3.2 An der Kasse überträgt das Handy die Daten des Einkaufs. Aus Erfahrung
ist bekannt, dass bei 1 % der Einkäufe die Übertragung fehlerhaft ist.
74 % der Datenübertragungen an der Kasse erfolgen mit einem Android-
Handy. Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Übertragungsfehler auftritt und es
sich um ein Android-Handy handelt, liegt bei 73,35 %.
Folgende Ereignisse werden definiert:
: Die Datenübertragung an der Kasse erfolgt mit einem Android-Handy.
: Es tritt ein Übertragungsfehler an der Kasse auf.
3.2.1 Stellen Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel oder in einem vollständig
beschrifteten Baumdiagramm dar.
(4 Punkte)
3.2.2 Untersuchen Sie die beiden Ereignisse und auf stochastische
Unabhängigkeit.
(4 Punkte)
3.2.3 An der Kasse werden die Daten von Android-Handys zuverlässiger
übertragen als von Handys mit anderen Betriebssystemen.
Weisen Sie dies rechnerisch nach.
(4 Punkte)
3.3 Im Laufe eines Tages erledigen 75 Kunden ihren Einkauf mit der App
SCHNELLSCAN. Drei Kunden betrügen, indem sie einzelne Artikel in ihren
Einkaufswagen legen, ohne sie zuvor zu scannen.
Zufällig werden an diesem Tag fünf der 75 Kunden ausgewählt und deren
Einkauf wird kontrolliert.
Dabei können diese Ereignisse auftreten:
: Es wird kein Betrüger entdeckt.
: Es werden alle drei Betrüger entdeckt.
Bestimmen Sie rechnerisch die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse.
(6 Punkte)
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3.4 An Kassen entstehen häufig Warteschlangen.
Die Zufallsgröße
Y: „Zeit in Sekunden, die ein Kunde an einer Kasse wartet“
wird als normalverteilt angesehen.
3.4.1 Am Montag stehen die Kunden durchschnittlich 120 Sekunden in der
Warteschlange mit einer Standardabweichung von 13 Sekunden.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde weniger als
100 Sekunden an der Kasse wartet.
(2 Punkte)
3.4.2 Am Mittwoch beträgt die mittlere Wartezeit an der Kasse 180 Sekunden.
86 % der Kunden benötigen an der Kasse mindestens 110 Sekunden und
höchstens 200 Sekunden.
Ermitteln Sie die Standardabweichung.
(3 Punkte)
3.4.3 Die durchschnittliche Wartezeit beträgt am Samstag 350 Sekunden mit einer
Standardabweichung von 40 Sekunden.
Ein Kunde behauptet, er habe bei seinen letzten vier Samstagseinkäufen
jedes Mal länger als 360 Sekunden an der Kasse gebraucht.
Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Szenario kleiner
als 5 % ist.
(3 Punkte)
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Aufgabe 4 – Lineare Algebra/Analytische Geometrie (32 Punkte)
Beschreibung der Ausgangssituation
In Filmen werden immer eindrucksvollere
Spezialeffekte eingesetzt.
Hinweis:
Insbesondere Science-Fiction- Aus urheberrechtlichen
Produktionen wie die neu aufgelegten Gründen kann das Bild
Star-Trek-Filme enthalten viele mit nicht veröffentlicht werden;
3D-Grafikprogrammen berechnete es kann jedoch in der unten
Sequenzen. angegebenen Quelle
eingesehen werden.
Abb. 4.1 Star-Trek-Raumschiff
Zu Beginn des Films „Star Trek Beyond“ wird das von Captain Kirk befehligte
Raumschiff, die USS Enterprise, durch Kirks Gegenspieler Krall und seine
Gefolgsleute zerstört.
Kirk stürzt mit der Untertassensektion seines Raumschiffs auf den Planeten Altamid.
Seine Mannschaft dagegen rettet sich mithilfe von Rettungskapseln dorthin und wird
dabei getrennt.
Am Ende des Films muss Captain Kirk mit seiner wieder vereinten Mannschaft
verhindern, dass die Raumstation Yorktown von Krall und seinen Gefolgsleuten
vernichtet wird.
Vereinfacht werden Personen als Punkte und die Untertassensektion als
vollständiger Kreis dargestellt. Die Oberfläche des Planeten liegt in der x1-x2-Ebene.
4.1 Die Rettungskapsel des Chefingenieurs Mr. Scott wird vereinfacht als Punkt
dargestellt und bewegt sich entlang einer Geraden mit der Gleichung
500 1
Scott : 2 000 ∙ 2 mit ∈
2 400 1
auf eine senkrechte Felswand zu.
Die Felswand hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit den
Eckpunkten
300 | 400 | 0 , 700 | 800 | 0) und 200 | 600 | 2 500 .
Das Dreieck liegt in der Ebene mit
: 2∙ 5∙ 2 600.
Eine Längeneinheit entspricht 1 m.
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4.1.1 Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Felswand in der Ebene liegt.
(4 Punkte)
4.1.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass Mr. Scotts Rettungskapsel auf die dreieckige
Felswand trifft.
(6 Punkte)
4.2 Captain Kirk hat ebenfalls den Planeten erreicht und befindet sich jetzt in
dem Punkt 20 | 80 | 0 .
Die senkrecht zur Planetenoberfläche aufgerichtete Untertassensektion mit
dem Mittelpunkt 60 | 20 | 65 berührt die Oberfläche des Planeten im
Punkt 60 | 20 | 0 und liegt in der Ebene mit
60 4 0
: 20 ∙ 5 ∙ 0 mit , ∈ .
0 0 1
Die Gefolgsleute von Krall halten sich in dem Punkt 60 | 20 | 5 auf
(vgl. Abb. 4.2).
Eine Längeneinheit entspricht 1 m.
Abb. 4.2 Aufgerichtete Untertassensektion
4.2.1 Überprüfen Sie rechnerisch, ob Captain Kirk von den Gefolgsleuten von
Krall gesehen werden kann.
(8 Punkte)
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4.2.2 Die Untertassensektion schlägt im Punkt 60 | 20 | 0 um und liegt dann
auf der Planetenoberfläche.
Der Mittelpunkt ′ der umgefallenen Untertassensektion liegt von aus
5
gesehen in Richtung des Vektors 4 (vgl. Abb. 4.3).
0
Abb. 4.3
Berechnen Sie die Koordinaten von ′.
(4 Punkte)
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