Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2012 Mathematik ohne CAS Aufgaben

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS                                                       Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenwahl:              Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben Bund B2 ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:         Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungenablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:               Für die Bearbeitung der Aufgabensind zugelassen: e    das an der Schule eingeführte Tafelwerk, °    deran der Schule zugelassene Taschenrechner ohne CAS, °e   Zeichengeräte, °    ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. (Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Spracheist, könnenals zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule.) Hinweis:                   Die Lösungensindin einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängendkonzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfangesbeinhaltet. Sonstiges:                Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werdenbei °     guter Notation und Darstellung, °     eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, °     vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS                                                    Seite 3 Ai       Analysis               (25 BE) Gegebenist die ganzrationale Funktion f durch die Gleichung = ort a4, xeR. Der Graph von f ist G. 1        Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind. BegründenSie ihre Entscheidungen. f ist eine ganzrationale Funktion fünften Grades. G ist achsensymmetrisch zur y-Achse. G schneidetdie y-Achse im Punkt 6 >|‘ ) Die Funktion F mit E=x° -12x° +2 -7 ist eine Stammfunktion vonf. 1.2      Berechnen Sie die Nullstellen von f und die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen vonf. Weisen Sie die Art der Extrema nach. GebenSie die Gleichungen der benötigten Ableitungen an. 1.3      Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph G mit der x-Achse im 1. Quadranteneinschließt. GebenSie die Gleichung der Stammfunktion an. 1.4      Ermitteln Sie Gleichungen der Tangenten an G in den Punkten B, (-V3It(-3)) und 8, (V1r(3)). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Tangenten einander schneiden. Die Punkte Bı und Bz sowie der Schnittpunkt der Tangentensind die Eckpunkteeines Dreiecks. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. 1.5     Gegeben ist die Funktion h mit der Gleichung h(x)=-4x? +16x +12,         xeR. Es wird an jeder Stelle x im Intervall 0O<x<2,5 die Differenz h(x) - f(x) gebildet. BerechnenSie die Stelle x, an der diese Differenz extremal wird. Weisen Sie die Art des Extremums nach. 1.6      Im Folgenden wird die Funktionenscharf, mit der Gleichung f,(x) =>x -4x?+a, xeR,aeR betrachtet. 1.6.1    BerechnenSie die Werte vona, für die die Funktionen dieser Schar nur Funktionswerte haben, die größer als Null sind. 1.6.2 Berechnen Sie den Wert von a, für den die Wendepunkte des Graphen der Funktion f, auf der x-Achseliegen.

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS A2        Analytische Geometrie            (25 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(11210), B(01512)undC (-2| 3 | 4) gegeben. Die Ebene e wird durch die Punkte A, B und C bestimmt. 2.1       Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. 2.2        Ermitteln Sie rechnerisch eine Koordinatengleichung der Ebene e. (mögliches Ergebnis für e: 5x-y+4z-3=0) 2.3       Bestimmen Sie die Größe des Schnittwinkels, den e mit der z-Achse einschließt. 2.4       Gegebenist die Punktmenge ai e 3 mitteR. Berechnen Sie die Koordinaten aller Punkte dieser Menge, die in der Ebenee liegen. 2.5       Gegebenist das Prisma ABCDEF mit der Grundfläche ABC und dem Eckpunkt F(31 218), wobei CF eine Kante des Körpersist. 2.5.1     Weisen Sie nach, dass das Prisma geradeist. Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte D und E. 2.5.2     Stellen Sie das Prisma in einem kartesischen Koordinatensystem dar. 2.5.3     BerechnenSie das Volumen desPrismas. 2.5.4     Der Punkt S auf der Strecke AF teilt diese in folgendem Verhältnis: AS:SF=3:1. Der PunktS ist die Spitze der Pyramide ABCS. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABCS am Volumen des Prismas ABCDEF.

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS                                                   Seite 5 A3       Analysis        (25 BE) 3.1      In einem Labor wächst in einer Nährlösung eine Kultur von Einzellern heran. Die Anzahl N der zu einem Zeitpunkt t (tin Tagen) vorhandenen Einzeller kann durch folgende Gleichung errechnet werden: | N(t)=200-e?, teR,0<t<5.                              |                5 3.1.1    Ermitteln Sie die Anzahl der Einzeller zu Beginn (t = 0) und am Ende der Beobachtung (t = 5). Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt t etwa 80 % der Höchstanzahl an Einzellern erreicht wurde. 3.1.2 Die erste Ableitung der Funktion N zu einem Zeitpunktt ist die Änderungsrate. Geben Sie den Wert der Änderungsrate zum Zeitpunkt tı =2 an. Errechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt t2 die Änderungsrate den Wert 200 annimmt. Die mittlere Änderungsrate wird als Anstieg der Sekante des Graphen durch die Punkte A(0 | N(0)) und B(5 | N(5)) festgelegt. BestimmenSie denZeitpunktts, an dem die Änderungsrate N'(t3) der mittleren Änderungsrate entspricht. 3.1.3 Durch EinwirkungeinesZellgiftes verläuft das Wachstum der Einzelleranzahl ab dem Zeitpunkt t4 = 5 mit der aktuellen Änderungsratelinear weiter. Ermitteln Sie die Gleichung dieserlinearen Funktion. BerechnenSie, wie viele Einzeller ohne Einwirkung desZellgiftes zusätzlich zum Zeitpunktt; = 6 vorhanden wären. 3.2.     Im Folgenden wird eine Funktionenschar f, betrachtet mit der Gleichung f,(x)=200:.e®”, xeR,aeN. 3.2.1 Berechnen Sie den Wert von a, für dengilt: f, (4) =423,40. 3.2.2 Berechnen Sie den Wert von a, für den bei jeder Stelle x der Funktionswert mit dem Wert der ersten Ableitung übereinstimmt. GebenSie an, warum diese Übereinstimmung bei dem berechneten Wert von a für alle folgenden Ableitungengilt. 3.2.3 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f,, der x-Achse und den Geraden x = O0 und x = a begrenzt wird.

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS                                                      Seite 6 B1       Analysis und Stochastik            (20 BE) Gegebenist die Funktion f durch die Gleichung f(x)=x-v4-x,       xeD.. Der Graph von fistK. 1.1      Geben Sie den Definitionsbereich D; an. K besitzt genau einen Hochpunkt H. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten von H. GebenSie die Gleichung der benötigten Ableitungsfunktion an. Weisen Sie rechnerisch die Art des Extremums nach. 1.2       K und die x-Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Bei der Drehung dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen Volumen. 1.3       Die x-Achse, die Gerade x = 4 und die Tangente an K im Koordinatenursprung begrenzenein Dreieck. K verläuft innerhalb des Dreiecks und zerlegt diesesin zweiTeilflächen. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen. Die Gleichung einer Stammfunktion vonf lautet: En) = (2x -8x| var a9”. 1.4       Eine Firma stellt die Rotationskörper aus Stahl für den Einbau in eine Maschine her. Von den Rotationskörpern sind durchschnittlich 14 % defekt. 1.4.1     BerechnenSie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Höchstens ein Rotationskörper ist defekt, wenn der laufenden Produktion sechs Rotationskörper entnommen werden. B: Höchstens ein Rotationskörperist defekt, wenn man einerbereits produzierten Tageseinheit von 100 Stück, die genau 14 defekte Teile enthält, sechs Stück entnimmt. 1.4.2 Der Pressesprecher der Firma behauptet, dass ein Rotationskörpermit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit das erste Betriebsjahr ohne Defekt übersteht. Die Anzahl der fehlerhaften Rotationskörper wird als binomialverteilt angenommen. Diese Behauptung soll anhandeiner Stichprobe vom Umfang 50 überprüft werden. Ermitteln Sie den Ablehnungsbereichbei einerIrrttumswahrscheinlichkeit von 8 %. Tabelle der Binomialverteilung        (Summenfunktion) für n = 50 und p = 0,8 Kk                  31     32     33     34     35     36      37     38     39     40 Fo. 0,8(K)      0,0025 0,0063 0,0144 0,0308 0,0607 0,1106 0,1861 0,2893 0,4164 0,5563

Abitur 2012 Mathematik ohne CAS                                                  Seite 7 B2       Analytische Geometrie             (20 BE) tz | Gegebensind die Koordinaten der Punkte A(0 |0 | 0), B(-3]5| 4), C(-6| 08) und D(-3 | -5 | 4). 2.1      Zeigen Sie, dass die vier Punkte A, B, C und D in einer Ebenee liegen. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene e und die xy-Ebene einschließen. 2.2      Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Quadfrat ist. 2.3      Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes E so, dass die Vierecke EFGH und ABCD gegenüberliegende Seitenflächen eines Würfels sind und alle Punkte nichtnegative z-Koordinaten besitzen. zur Kontrolle: E(4V2 10] 3/2 2.4      Der Würfelist das Modell eines Erdrotationsbeobachtungskubus (siehe Abbil- dung oben rechts). 2.4.1    Der Kubus wurde zum sicheren Stand 40 cm tief in den Erdbodeneingelassen (1 LE entspricht 10 cm). Die Erdoberfläche verläuft im Koordinatensystem parallel zur xy-Ebene. Berechnen Sie das Verhältnis des im Boden befindlichen Volumens zum Gesamtvolumen. 1 2.4.2 Parallele Lichtstrahlen haben die Richtung a=| 0 |undfallen durch eine -2 Bohrung im Punkt P der Seitenfläche EFGH, sodass sie auf den Mittelpunkt der Fläche ABCDtreffen. BestimmenSie die Koordinaten des Punktes P.