Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2013 Mathematik mit CAS Aufgaben

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                        Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenwahl:              Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A undB. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungenablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben B1 und B2 ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:          Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:               Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: °   das an der Schule eingeführte Tafelwerk, °   deran der Schule zugelassene Taschenrechner und das zugelassene CAS, °   Zeichengeräte, °   ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Spracheist, könnenals zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheresregelt die Schule. Hinweis:                   Die Lösungen sindin einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe könnenergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängendkonzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                 Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, °    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, °    vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                      Seite 3 A1       Analysis 1.1      Eine ganzrationale Funktion g dritten Gradeshat die folgenden Eigenschaften. Der Graph der Funktion g verläuft durch den Koordinatenursprung sowie durch die Punkte A[2 | 2| und a(3 =) 5       3127 Die Tangente an den Graphen von g im Punkt B hat die Gleichung 3x2  3    2 Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion g. 1.2      Gegebenist die Funktion f durch die Gleichung f(x) = ax +x? mitxeR. 1.2.1 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall -1<x<6 in ein geeignetes Koordinatensystem. GebenSie die Nullstellen der Funktion fan. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f. BestimmenSie die Art der Extrema. Auf den Nachweis der Existenz des Wendepunktes kann verzichtet werden. 1.2.2 Durch die PunkteO(0 | 0), P(u | 0), Q(u | f(u)) und R(0 | f(u)) mit0<u<5 wird ein Rechteck eindeutig festgelegt. Bestimmen Sie den Wert von u so, dass der Flächeninhalt des Rechteckes maximal wird. GebenSie den Flächeninhalt dieses Rechtecksan. 1.2.3 Weiterhinist die Funktionenscharh, mit der Gleichung h,(x)=-t-x°-e”“ mit xeR und teN gegeben. Die Graphen von f, h, und die Gerade x = 5 schließen für x 20 jeweils eine Fläche vollständig ein. Bestimmen Sie den Inhalt und den Umfang der Fläche fürt = 2. Für größer werdendest nimmt derInhalt der Fläche zu. Ermitteln Sie, für welchen Wert von t dieser Inhalt erstmals größer als 55 FE ist.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                   Seite 4 A2       Analytische Geometrie 2        Die Dachfläche eines Bürogebäudes ist bestimmt durch die Punkte ABCDE. In einem kartesischen Koordinatensystem besitzen die Punkte A, B, C, D und E folgende Koordinaten: A(8|0|6), B(8|2|5), C(2|8 | 5), D(0|[8|6) und E(0 | 0 | 10). Der Punkt O liegt im Koordinatenursprung. (1LE=1m) 2.1       GebenSie eine Gleichung der Ebene an, in der die Punkte A, D und E liegen. Weisen Sie nach, dass die Punkte B und C in der Ebene e liegen. Zeichnen Sie die Dachflächein ein geeignetes Koordinatensystem. 2.2       Die Dachfläche wird durch eine Stütze OP abgesichert. Der Punkt P liegt innerhalb der Dachfläche. Die Strecke OP verläuft senkrecht zur Dachfläche. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P. 2.3      Es gibt einen Pfeiler OE. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesem Pfeiler und der Dachfläche. 2.4      Ermitteln Sie den Inhalt der Dachfläche. 0        1 2.5      Gegebenist die Gerade gmit x=|       O|+t-|   1|mitteR. 10      —1 Zeichnen Sie die Gerade g in das Koordinatensystem aus2.1 ein. Weisen Sie nach, dass die Gerade g Symmetrieachse des Fünfecks ABCDE ist.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS Seite 5 A3        Analysis und Stochastik 3         Kondensatoren sind Bauelementezur Speicherung von elektrischen Ladungen. Zur Bestimmung der Ladung eines Kondensators gibt es verschiedene Möglichkeiten. Ein Verfahrenist die zeitliche Ermittlung des Entladestromes. Währendeines Versuches wurden die folgenden Werte aufgenommen. Dabei bedeutett die Zeit in Sekunden, die seit Versuchsbeginn verstrichenist, und | die zum Zeitpunkt t gemessene Stromsstärke in Milliampere (mA). tins           0      10       20      30       40       50       60        70 lin mA        60      36       22      13        8        5       3         1,8 3.1       Stellen Sie die Wertepaare dieser Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar. Der Zusammenhangzwischent und I kann durch Funktionen näherungsweise beschrieben werden. Ermitteln Sie durch folgende Regressionen die Gleichung solcher Näherungsfunktionen. I=fı(t) ... lineare Regression = fa(t) ... Regressionsfunktion vierten Grades I=fz(t) ... exponentielle Regression Beurteilen Sie die Brauchbarkeit der ermittelten Funktionen hinsichtlich der Darstellung der Messwerte als auch der weiteren Veränderung der Stromstärke mit zunehmender Zeit. 3.2      Derzeitliche Verlauf der Stromstärke kann durch eine Funktion f mit der Gleichung f(x)=60-e * mit x>0,xe Rundk =20beschrieben werden. Dabeiist x die Maßzahl der Zeit und k eine vom elektrischen Widerstand und der Kapazität abhängige Konstante. 3.2.1 BestimmenSie die Maßzahl der Stromstärke zum Zeitpunkt x = 15. Ermitteln Sie den Zeitpunkt x, zu dem die Maßzahl der Stromstärke 10 beträgt. 3.2.2 Die Maßzahl des Flächeninhaltes zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im ersten Quadraten entspricht der Maßzahl, der vom Kondensator abgegebenen Ladung. Berechnen Sie diesen Wert für den Zeitraum O<x<70. UntersuchenSie, ob derInhalt der Fläche für unbegrenzt wachsendesx beliebig groß werden kann. Die Aufgabe wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                   Seite 6 3.3.1 Es ist bekannt, dass bei der Produktion von Kondensatoren 7 % fehlerhaft sind. Der laufenden Produktion werden zufällig 500 Kondensatoren entnommen und auf Funktionstüchtigkeit überprüft. BegründenSie, dass dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Experiment betrachtet werden darf. Berechnen Sie die Anzahl der defekten Kondensatoren, die zu erwartenist. BerechnenSie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit. A: Genau 30 Kondensatoren sind defekt. B: Höchstens 40 Kondensatoren sind defekt. C: Die Anzahl der Kondensatoren ohne Fehler ist größer als 460 aber kleiner als 470. 3.3.2 Ein Produzent behauptet, seine Kondensatoren seien zu höchstens 4% fehlerhaft. Es werden zufällig 1000 Kondensatoren ausgewählt und überprüft. Bei dieser Kontrolle werden 48 defekte Kondensatorenfestgestellt. Prüfen Sie, ob man der Aussage des Produzenten mit einer Irttumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% vertrauen kann.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                   Seite 7 B1       Analysis Beim sportlichen Schießen mit Pfeil und Bogen ist    /     ZB der Erfolg wesentlich von den Eigenschaften des           ER Pfeils abhängig. Es werden unter anderem Pfeile      N verwendet, bei denendie Spitze und der Schaft           n                 chaft aus Aluminium der Dichte 2,7 — gefertigt sind.       GE Der Schaft ist ein Hohlzylinder. Der äußere                    Ba. Durchmesser des Schaftes stimmt mit dem größten Durchmesser der Spitze überein. Der innere Durchmesser des Schaftes ist gleich dem Durchmesser des einzusetzendenTeils der Spitze. Die Spitze wird in den Schaft eingepasst(s. Skizze). Die Pfeilspitze kann in einem kartesischen Koordinatensystem mithilfe der 0,0375x? -0,2625x? +0,6000x   fürx<2 Funktion f mit f(x) = |                                        mitxeR 0,425                         fürx>2 beschrieben werden. Dabeirotiert die Fläche zwischen der x — Achse und dem Graphender Funktion f für 0<x<5 um die x - Achse. Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter. u       Weisen Sie nach, dass an der Stelle x = 2 der Durchmesser der Spitze am größtenist. Berechnen Sie das VolumenderPfeilspitze. Der Schaft ist 70 cm lang. BerechneSie die Masse des gesamtenPfeiles. 1.2     Ermitteln Sie durch Berechnung den Spitzenwinkel «a der Pfeilspitze. 1.3     Durch die Beobachtung der Flugbahn bei einem Schuss wurden folgende Angabenermittelt: - Abschusshöhe 1,8 m - Abschusswinkel gegenüber der Horizontalen 7,5° - maximale Flughöhe 3,10 m in 50 m Entfernung von Abschusspunkt - Weite 90 m, gemessen im Auftreffpunkt mit der Höhe 0 m Zur modellhaften Beschreibung der Flugbahn in einem kartesischen Koordinatensystem wird eine ganzrationale Funktion u vierten Grades verwendet. Dabeigibt x den horizontalen Abstand vom Abschusspunkt und u(x) die jeweilige Höhean. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung von u.

Abitur 2013 Mathematik mit CAS                                                         Seite 8 B2        Analytische Geometrie Ebene, lichtreflektierende Flächen werden zur Änderung der geradlinigen Lichtausbreitung in verschiedenen Bereichen der Beleuchtungstechnik verwendet. Die Richtungsänderung desLichtes bei der Reflexion kann mit dem Modell Lichtstrahl bestimmt werden. Zur Beschreibung der Richtungsänderung wird dasEinfallslot betrachtet, eine Gerade, die senkrecht zur reflektierenden Ebene im Auftreffpunkt des Lichtstrahls auf die Ebene verläuft. Dabei ist die Größe des Winkels zwischen dem einfallenden Lichtstrahl und dem Einfallslot gleich der Größe des Winkels zwischen dem reflektierten Strahl und dem Einfallslot. Der einfallende Stahl, das Einfallslot und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene. In einem kartesischen Koordinatensystemist die Richtung von parallel -4 verlaufendenLichtstrahlen durch den Vektor v =          —4 gegeben. - 15,5 Ein Teil der Strahlentrifft auf eine ebene und rechteckige Fläche ABCD mit A(4|2]0), B(1|5|0) sowie D(-2 |-4 | 7) und wird reflektiert. 2.1       GebenSie eine Gleichung der Ebenean, in der sich das Rechteck ABCD befindet. BestimmenSie die Koordinaten von C. BerechnenSie den Inhalt der Fläche ABCD. 2.2       Einer dieser Lichtstrahlen verläuft durch den Punkt L(5 | 10 | 40). Prüfen Sie, ob er auf die Fläche ABCD trifft. 2.3        Ein Lichtstrahl s triff im Punkt P(-4 | = | 2) auf die Fläche ABCD und wird als Strahl s’ reflektiert. 2.3.41 Begründen Sie, dass der Verlauf des einfallenden Strahls s zum Punkt P 11,5       -8 durch die Gleichung x=| 12,5 |+t-|       -8    mit einem geeigneten 50       - 31 Definitionsbereich für den Parameter t beschrieben werden kann. Geben Sie diesen Definitionsbereich an. 2.3.2 Weisen Sie nach, dass das Einfallslot zur Fläche ABCD im Punkt P auf der 3         7 Geraden mit der Gleichung x=|         4|+r-|    7|mitreR liegt. 9,5       12 2.3.3 Ermitteln Sie eine Gleichung, mit deren Hilfe der Verlauf des reflektierten Strahls s’ beschrieben werden kann.