Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2015 Mathematik ohne CAS Prüfungsaufgaben

Abitur 2015 Mathematik ohne CAS                                                         Seite 2 von 7 Hinweise für Schülerinnen und Schüler Aufgabenwahl:                  Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben Bund B2ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit:             Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                  Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: «   das an der Schule eingeführte Tafelwerk, °    deran der Schule zugelassene, nicht programmierbare und nicht grafikfähige Taschenrechner ohne CAS, °   Zeichengeräte, «   ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. (Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprachenicht die deutsche Spracheist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheresregelt die Schule.) Hinweis:                      Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängendkonzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfangesbeinhaltet. Sonstiges:                     Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei °    guter Notation und Darstellung, °    eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, °    vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2015 Mathematik onne CAS                                                     Seite 3 von 7 A1           Analysis               (35 BE) 1.1        Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung f(x) =x° +3x° Hr mit xeR. Der Graph von f ist G. 1] Berechnen Sie die Nullstellen von f. Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte sowie des Wendepunktes von G und weisen Sie jeweils eine hinreichende Bedingung nach. GebenSie die Art der Extremaan. Skizzieren Sie G in einem geeigneten Koordinatensystem. 1 Durch G und die x-Achse wird eine Fläche A vollständig begrenzt. Berechnen Sie den Inhalt von A. Geben Sie eine benötigte Stammfunktion an. Weisen Sie nach, dass der Punkt e[-4 4 zur Fläche A gehört. 1.1.3 Im Koordinatenursprung wird die Tangente t an G gelegt. BestimmenSie eine Gleichungfür t. Ermitteln Sie eine Stelle x mit x # 0, an der der Graph G den gleichen Anstieg wie die Tangente t hat. Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den t mit der x-Achseeinschließt. 1.1.4 Im Punkt 4 3) wird die Normale zu G betrachtet. 2 Diese Normale schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. 1.2        Betrachtet wird die Funktionenschar f, mit der Gleichung f(x)=x°+3x?+a-x mitxeR,aeR. Untersuchen Sie die Anzahl der Schnittpunkte der Graphen von f, mit der x-Achse in Abhängigkeit vona.

Abitur 2015 Mathematik ohne CAS                                                   Seite 4 von 7 A2           Analytische Geometrie und Stochastik                      (35 BE) Die Abbildung zeigt einen Oxer. Als einen Oxer                                  deoo. bezeichnet man ein Hindernis im Springreiten. Im Folgenden sollen einige geometrische Sachver- halte an einem Oxer untersucht werden. Dazu                          Bi     nen           = werden modellhaft Punkte, Geraden und Ebenen im                    En en er ind Raum betrachtet.                                                 %HT                   De Pa Gegeben sind folgende Punkte mit den Koordinaten: Aß]|2|1), B(5| 316), C(6 | 0 | 0,5), D(7 | 0,5 | 4,5), E(4|8|0), F(6]9]5), G(7 |6 | -0,5) und H(8 | 6,5 | 3,5). 2.1        Zeichnen Sie diese Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem. Zur Veranschaulichung des Hindernisses verbinden Sie jeweils die Punkte Amit B, C mit D, E mit F, G mit H, Bmit F, Dmit Gund C mit H. 2.2        Der Punkt Mon ist der Mittelpunkt der Strecke DH. Der Punkt Mg-ist der Mittelpunkt der Strecke BF. Bestimmen Sie den Abstand der Punkte Mor und Mer. 2.3        Betrachtet werden die Geraden: e g.durch die Punkte C und HH, e hdurch die Punkte D und G und e kdurch die Punkte A und B. Die Punkte A, C und liegenin der Ebenee. 2.3.1 Die Geraden g und h schneideneinanderin einem Punkt S unter dem Winkel «. Berechnen Sie die Koordinaten von S und die Größe von «a. 2.3.2 Untersuchen Sie rechnerisch die Lage der Geraden k bezüglich der z-Achse. 2.3.3 Geben Sie eine Koordinatengleichung für e an. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den e mit der xy-Ebene einschließt Berechnen Sie den Abstand des Punktes P(6 |6 | 17) zue. 2.3.4 Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes der Geraden g mit der yz-Ebene. 2.4        Berechnen Sie den Inhalt der Fläche ACGE. 2.5        Zum Aufstellen eines Oxers stehen gelbe, blaue und weiße Stangen zur Verfügung. Bei der Auswahl jeder Stange gelten folgende Wahrscheinlichkeiten: P(gelb) =, ‚ P(blau) - und P(weiß) = =. Es werdenzufällig drei Stangen für einen Oxer ausgewählt und jeweils ihre Farbe festgestellt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: e A: Genau eine Stange ist gelb. B: Höchstens zwei Stangen sind blau. C: Mehr als zwei Stangen sind weiß. D: Alle drei Stangen habendie gleiche Farbe.

Abitur 2015 Mathematik ohne CAS                                                  Seite 5 von 7 A3         Analysis            (35 BE) Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung 4    2 jo nen, X             x Ihr Graph ist G. 3.1        Geben Sie den maximalen D; an. Begründen Sie, dass G achsensymmetrisch zur y-Achseist. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G mit der x-Achse und der lokalen Extrempunkte von G. Weisen Sie die Art der Extrema nach. GebenSie die benötigten Ableitungsfunktionen an. Stellen Sie den Graphen G in einem geeigneten Koordinatensystem dar. Beschreiben Sie das Verhalten von G bei Annäherung an die Stellex = 0. 3.2        G und die x-Achse begrenzen zwei Flächen vollständig. Berechnen Sie die Summe der Inhalte beider Flächen. GebenSie die verwendete Stammfunktion an. 3.3         Im Punkt P(2] f(2))wird die Tangente t an G gelegt. BestimmenSie eine Gleichung für t. 3.4        Gegeben ist eine ganzrationale Funktion p mit einer Gleichung der Form Pix)=a-x’+c mit 46,XxeR. Der Graph von p schneidet G in den Punkten (1| f(1)) und (2 f(2)). 3.4.1 Bestimmen Sie die Werte von a und c. 3.4.2 Der Graph von p und die x-Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Durch Rotation dieser Fläche um die x-Achseentsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie die Größe des Volumens dieses Körpers. 3.9        Gegeben ist eine Schar von Funktionen h, mit der Gleichung E28. Pa            a? N ee und ihre erste Ableitung ;      22-20,   2   298 ee: mitxeRx#0,aeR,a>0. Die Graphen von h, sind H.,. 2.9.1 Weisen Sie nach, dass kein Graph H, einen Wendepunkt besitzt. 3.5.2 Berechnen Sie den Wert von a für den Fall, dass die Normale im Punkt (3 | ha(3)) an den Graphen von h, den Anstieg - besitzt.

Abitur 2015 Mathematik ohne CAS                                                     Seite 6 von 7 B1         Analysis und Stochastik              (30 BE) 1.1       Gegeben ist eine Funktionenschar fs durch die Gleichung (x)=x-e” mit xeR,aeR,a>0. Die zugehörige Kurvenschar ist G.. Ermitteln Sie die Nullstelle von f, und die Koordinaten des Extrempunktes von G, in Abhängigkeit von a. Ermitteln Sie die Art des Extrempunktes. Geben Sie eine Gleichung der Wendetangente in Abhängigkeit von a an. Zeigen Sie, dass F(x)=(-x-1N):e®” mitxeRaceR,.a>0 eine Stammfunktion von f;ist. Die x-Achse, G, und die Gerade mit der Gleichung x = 10 schließen eine Fläche vollständig ein. BerechnenSie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a. 1.183 Für jeden Wert von a schneidet die Gerade mit der Gleichung x = t mit teR,t>0,5 G, im Punkt V, und den Graphender ersten Ableitung von f, im Punkt W.. Geben Sie den Wert von tso an, dass die Länge der Strecke V.W, maximal ist. Weisen Sie die Art des Extremums nach. Ermitteln Sie für diesen Fall die Länge der Strecke in Abhängigkeit von a. 12        In einer Urne liegen sechs rote und eine blaue Kugel. Aus dieser Urne wird wiederholt eine Kugel zufällig gezogen. Ist die gezogene Kugel blau, wird sie in die Urne zurückgelegt. Ist die gezogene Kugel rot, wird sie nicht zurückgelegt und wird in der Urne durch eine neue blaue Kugel ersetzt. 1.2.1      Erik bietet Katrin folgendes Spiel an: Nach einem Einsatz von x Euro durch Katrin wird nach oben stehender Regel dreimal gezogen. Katrin erhält von Erik: e 10 € für drei gezogene blaue Kugeln, e 3 € für zwei gezogene blaue Kugeln, e 1 € für eine gezogene blaue Kugel. Ermitteln Sie den Mindesteinsatz in Cent, den Erik von Katrin fordern müsste, damit er langfristig bei vielen Durchführungen dieses Spiels gewinnt. 1.2.2 Berechnen Sie, wie oft man nach obenstehender Regel mindestens ziehen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9 % mindestens eine rote Kugel zu erhalten.

Abitur 2015 Mathematik ohne CAS                                                   Seite 7 von 7 B2           Analytische Geometrie           (30 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A312 1-9), Be71-11 9, CA 17-512) EiT218), Q(71510), S(31210) und Je Ze gegeben. Die Punkte A, B und C bestimmen die Ebene e. 21           Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenee in Koordinatenform. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von e mit der y-Achse. 2.2          BestimmenSie eine Gleichung der Ebene, die die Punkte A und E enthält und orthogonal zu ist. 2,3          Betrachtet wird ein gerader Pyramidenstumpf PARSTUVW mit quadratischer Grundfläche PORS. 2.3.1        Die Strecke QS bestimmt eine Diagonale des Quadrates PQRS. Dieses Quadrat PQRSliegt in der xy-Ebene. BerechnenSie die Koordinaten der Punkte P und R. zur Kontrolle: P 1313|, ıR zn 212         22 2.3.2        Berechnen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfes. 2.3.3        Die Gerade k verläuft durch die Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Geraden k, der zu allen Eckpunkten des Stumpfes denselben Abstand besitzt.