Mecklenburg-Vorpommern Zentralabitur 2016 Mathematik ohne CAS Prüfungsaufgaben

Seite 2 von 7 Abitur 2016 Mathematik ohne CAS Hinweise              fü r   Sc hü  le ri   nn   en   u  n d  Sc  hü  le  r Aufgabenwahl:                 Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von  de n  Au fg ab en A1 , A2  un d A3  si nd zw ei  au sz uwäh le n. Prüfungsteilneh    mer ,      die     die       Prü fun g      auf       er hö ht  em Anforderungsniveau ablegen, wählen zusätzlich eine der Aufgaben B1 oder B2 zur Bearbeitung aus. Bearbeitungszeit:            Allen    Prü fun  gst eil nehmer n   ste ht    ein e    Bea rbe itu ngs zei t     von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Den Prüfungsteilnehmern, die die                     Prüfung auf erhöhtem Anforderungsniveau ablegen, stehen                   zusätzlich 60 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung. Hilfsmittel:                  Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: e   das an der Schule eingeführte Tafelwerk, e    der an der Schule zugelassene, nicht programmierbare und nicht grafikfähige Taschenrechner ohne CAS, e    Zeichengeräte, ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. e    Schülerinnen und Schüler, deren Muttersprache nicht die deutsche Sprache ist, können als zusätzliches Hilfsmittel ein zweisprachiges Wörterbuch in gedruckter Form verwenden. Näheres regelt die Schule. Hinweis:                     Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbarsein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges:                   Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei e guter Notation und Darstellung, e   eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, e   vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal      zwei     Bewertungseinheiten         können       bei    mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

Abitur 2016 Mathematik ohne CAS Seite 3 von 7 A1           Analysis                                                                                  35 BE Gegeben ist-eine Funktion f mit der Gleichung f(x)=x* -8x? +7 mitxeR. Der Graph von ist G. 1.1          Nennen Sie die Art der Symmetrie von G. Begründen Sie. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G mit den Koordinatenachsen. BerechnenSie die Koordinaten der Extrem- und der Wendepunkte von G. WeisenSie die Art der Extrema und die Existenz der Wendepunkte nach. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen an. 1.2           Skizzieren        Se    G   im   Intervall  -2,85<x<285      in  einem   geeigneten Koordinatensystem. 1.3           Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente t an G im Punkt P(1 0) } ZeichnenSie t in das Koordinatensystem. Es existieren weitere Stellen, an denen jeweils die Tangente an G parallel zut verläuft. Geben Sie diese Stellen näherungsweisean. 1.4           Der     Graph      einer  quadratischen    Funktion p verläuft  durch  die   Punkte P,(0]7), P,(-1]0) und P, (1]0). Bestimmen Sie eine Gleichung fürp. 1.5           Im Intervall -1<x<1 wird die Funktion q mit q(x)=-7x?+7mit xeR als Näherungsfunktion für f verwendet. Skizzieren Sie den Graphen von q im Koordinatensystem aus Aufgabe 1.2. Bestimmen Sie die Stellen x,, an denen die Differenz q(x.)-f(x.) maximal wird. Geben Sie die maximale Differenz an. 1.6          Betrachtet wird die Funktionenschar f, mit der Gleichung ,(x)=x'-8x?+amitxeR,acR, 0<a<7 Für jeden Wert von a begrenzen der Graph von f,, die x-Achse und die Geraden x=0 und x =1 zweiTeilflächen. Bestimmen Sie den Wert von a so, dass die Inhalte der beiden Teilflächen übereinstimmen.

Seite 4 von 7 Abitur 2016 Mathematik ohne CAS 35 BE A2           Analytische Geometrie ist da  s  Dr  ei  ec k  AB C.   Di  e Pu  nk te   ha  be n Gegebenist eine Pyramide ABCS. Ihre Grundfläche in einem kartesisch         en  Ko  or di  na  te   ns ys te m  di e  Ko or  di na  te n A(6|2|1), B(            6]  8]   1)  ,    C(  2|     5|  3)    un  d  s(   8|  5|  10  ). 2.1          Stellen Sie di     e Py  ra   mi de    AB  CS    in  ei ne  m  Ko or  di  na te  ns  ys te  m da r. 2.2          Prüfen Sie, ob folgende Aussagen wahr sind. e Das Dreieck ABCist rechtwinklig. e Das Dreieck ABCist gleichschenklig. e De    r Pu  nk t  P(  0   |  6, 5  |  4)  liegt   au f de  r Dr ei  ec ks se  it e  Ad  , Geben Sie eine Koordinatengleic                    hu ng  für   di e  Eb  en e   &,   an ,  in de r da  s  Dr ei ec  k AB   C 2.3 liegt. 2.4          Der Punkt S wird an e, gespiegelt. Bestim    me  n Si  e  di e  Ko or  di  na te n  de  s  Bi ld pu  nk te s   S' . Ermitteln Sie den Neigungswinkel de                     r  Se it en  fl äc he  AB   S  ge  ge  nü be  r  de r Gr un  df lä  ch  e 2.3 der Pyramide. 2.6           Eine zur xy-Ebe      ne pa  ra  ll   el e Eb  en  e   e,  ver  läu ft  du  rc h  de  n  Pu  nk t C. BestimmenS      ie    de  n   Inh alt   de r Sc  hn it tf lä ch e vo  n   e,   mi t  de r  Py ra mi de . 2.7          Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. 2.8          Der Punkt D liegt auf der Kante sc. Bestimmen Sie die Koordi                 na te  n  vo  n  D   so,   da  ss   die    Eb en  e  du  rc h  die   Pu nk  te   A,   B und D die Pyramide in zwei volumengleiche Körper teilt.

Abitur 2016 Mathematik ohne CAS                                                     Seite 5 von 7 A3          Analysis und Stochastik                                                                 35 BE 3.1         Gegebenist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = (2x? +8x)-e* mit xeR. Ihr Graphist G. xy 3.1.1       Berechnen Sie die Nullstellen von f, die                                G Koordinaten derlokalen Extrempunkte von G. Weisen Sie jeweils die Art der lokalen Extrempunkte nach. Geben Sie die benötigten Ableitungsfunktionen an. Begründen Sie, dass sich die Art der Krümmung von G im Intervall -6<x<-2 nicht ändert. Zeigen Sie, dass die Funktion F mit der Gleichung F(x) =(2x? +4x-4).e* (xeR) eine Stammfunktion vonf ist. Der Graph G und die x-Achse begrenzeneine Fläche A vollständig. BerechnenSie den Inhalt von A. 0 Ermitteln Sie den Wert von a (aeR,-4<a<0), für den gilt: [fo dx =e? -4. 3.2         An der Hauptstraße einer Ortschaft regeln drei voneinander unabhängige Ampeln den Durchgangsverkehr. Jede der Ampeln zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 beim Heranfahren „grün“ an. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Ampeln bei einer Ortsdurchfahrt an, die „grün“ zeigen. X wird als binomialverteilt angenommen. 3.2.1        BerechnenSie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten in einem Diagramm grafisch dar. 3.2.2        Bestimmen Sie die Anzahl von „grün“ anzeigenden Ampeln, mit denen man durchschnittlich bei dieser Ortsdurchfahrt rechnen muss. BerechnenSie die StandardabweichungvonX. 3.2.3        Ein Autofahrertrifft an keiner der drei Ampeln auf „grün. Entscheiden Sie, ob der Fahrer damit hätte rechnen müssen. BegründenSie Ihre Entscheidung. 3.2.4       Zusätzlich und unabhängig wird hinter den bestehenden Ampeln eine vierte Ampel im Ort errichtet. Berechnen Sie, mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit die vierte Ampel „grün“ anzeigen muss, damit die Wahrscheinlichkeit einer Ortsdurchfahrt ohne Halt mindestens 0,3 beträgt.

Abitur 2016 Mathematik ohne CAS                                                             Seite 6 von 7 Analysis und Stochastik                                                                     30 BE B1 1.1         Gegebenist eine Funktionenscharf, durch die Gleichung 48 {= (X)      wm mitxeR;aeR;a>0;x’»a. Die zugehörige Kurvenschar ist G,. GebenSie die Gleichungenaller Asymptoten von G, an. Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes von G, in Abhängigkeit von a und begründenSie mit Hilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von G, im gesamten Definitionsbereich. Für jeden Wert von a schneidet G, die x-Achse für x > O0 im Punkt A. Betrachtet werden in A die Tangente t und die Normalen an G,. BestimmenSie je eine Gleichung für t und n in Abhängigkeit von a. Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen das Dreieck D,.. Die Normale n und die Koordinatenachsen begrenzendas Dreieck D,. D, und D, rotieren um die x-Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina V, bzw. V,. Ermitteln Sie den Wert von a so, dass V, neunmal so groß ist wie \.. Zeigen Sie, dass rd = Sa nfx+va)-Sva in(x-Ja)+x eine Stammfunktion von f, mit a>O und x> Ja ist. 1.2          Eine Urne enthält eine rote Kugel, zwei blaue, drei grüne und vier schwarze Kugeln. Bei einem Spiel zahlt ein Spieler zunächst einen Einsatz in der Höhe e an den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln aus der Urne. e   Haben alle gezogenen Kugeln die gleiche Farbe, so erhält der Spieler das Achtfacheseines Einsatzes vom Spielleiter zurück. e Sind zwei Kugeln blau, so erhält der Spieler das Vierfache seines Einsatzes zurück. e \NWurde eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel gezogen, so erhält der Spieler das Doppelte seines Einsatzes zurück. e Bei allen anderen Ausgängenverliert der Spieler seinen Einsatz. GebenSie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn desSpielers an. Entscheiden Sie, ob das Spielfair ist und begründenSie.

Abitur 2016 Mathematik onne CAS                                                           Seite 7 von7 B2           Analytische Geometrie                                                                    30 BE In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Spat ABCDEFGH betrachtet. Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte A(6|2|0), B(5]5|1), C(1151|1), E(4lo|e), F(3|3|7) und H(0|0]6). 2.1           Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte D und G. Zeichnen Sie den Körperin ein kartesisches Koordinatensystem. 2.2           Berechnen Sie das Volumendes Spates. 3        1 2.3           Die    Gerade     g mit  der   Gleichung   x=|-1|+t|     3 |;teR     durchstößt      die a         1 Seitenflächen ADHE und BCGF. Zeigen Sie, dass der Punkt P 4 IE 2 auf g und innerhalb des Spates liegt. 2.4          Berechnen Sie den Abstand der Kante AE zur Kante BF. (zur Kontrolle: Abstand: 330 ) 2.5          Für jeden Wert von a (ae R, 1<a<6) schneidet die Ebene mit der Gleichung z =a die Kante AE im Punkt R, und die Kante BF im Punkt $,. Berechnen Sie den Wert von a so, dass der Inhalt der Fläche ABS,R, A=2.,0 ist.